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2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
高二数学圆的方程解题技巧
圆是我们高中数学中经常遇到的一种几何形体，也是我们必须掌握的一种解题技巧。
在高二数学中，我们需要学习如何找到圆的方程，从而解决各种圆的问题。
以下是一些常用的圆的方程解题技巧：
1. 根据已知条件确定圆心和半径
在解题之前，我们需要根据已知条件确定圆的位置和大小。
通常情况下，我们可以通过已知的两个点或者一个点和切线来确定圆心，再根据圆心到已知点的距离来确定半径。
2. 利用圆的标准方程
圆的标准方程是(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
如果我们知道圆心和半径，就可以用这个公式求出圆的方程。
3. 利用圆的一般方程
圆的一般方程是x+y+Ax+By+C=0，其中A、B、C分别是常数。
我们可以通过配方法把一般方程转化为标准方程。
4. 利用直线与圆的交点求解
当圆与直线相交时，可以通过求解交点来确定圆的方程。
一般情况下，我们可以用直线的方程代入圆的方程，解出交点坐标，从而得到圆的方程。
5. 利用圆的性质求解
除了上述方法，我们还可以利用圆的性质来求解问题。
例如，如果两个圆相切，则它们的圆心距离等于两个圆的半径之和或差。
如果一个点在圆上，则它到圆心的距离等于圆的半径。
以上是一些高二数学圆的方程解题技巧，希望能对大家在学习圆的相关知识时有所帮助。
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
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［知识点］1、圆的方程：①标准方程：()22)(r b y a x =-+-，c （a 、b ）为圆心,r 为半径。
②一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，2422FE D r -+=当0422=-+F E D 时，表示一个点。
当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。
③参数方程: θcos r a x +=θsin r b y +=（θ为参数）注：以A(x 1,y 1)，B(x 2，y 2）为直径的两端点的圆的方程是： （x-x 1)（x-x 2）+(y —y 1）（y —y 2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与r 比较大小。
3、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离判定：①代数法：联立方程组，消去一个未知量,得到一个一元二次方程： △＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离②几何法:利用圆心c (a 、b ）到直线Ax+By+C=0的距离d 来确定:d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的Rt △） 4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程：①与圆222r y x =+相切于点(x 1、y 1）的切线方程是211r y y x x =+②与圆222)()(r b y a x =-+-相切于点（x 1、y 1）的切线方程为：211))(())((r b y b y a x a x =--+--③与圆022=++++F Ey Dx y x 相切于点(x 1、y 1）的切线是：0)2()2(1111=++++++F y y E x x D y y x x （2)过圆外一点切线方程的求法:已知：P 0(x 0，y 0)是圆222)()(r b y a x =-+-外一点。
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
高二数学圆的方程知识点圆是几何中的重要概念之一，它在数学中有着广泛的应用。
在高二数学中，我们需要掌握圆的方程及相关的知识点。
本文将介绍高二数学圆的方程知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本概念圆是由平面上距离一个固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的一般方程圆的一般方程形式为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
三、圆的标准方程圆的标准方程形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为常数，表示圆心及半径的信息。
四、圆的参数方程圆的参数方程形式为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度，θ为参数。
五、圆的切线方程圆的切线方程与切点的坐标有关，一般可以通过求导数来得到。
切线方程的一般形式为：y - y₀ = k(x - x₀)其中，(x₀, y₀)为切点的坐标，k为切线的斜率。
六、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆外切：直线与圆相切，且切点位于圆的外部。
3. 直线与圆内切：直线与圆相切，且切点位于圆的内部。
4. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
七、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆没有交点，且它们的圆心间的距离大于两个圆的半径之和。
2. 外切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之和。
3. 相交：两个圆有两个交点，且它们的圆心间的距离小于两个圆的半径之和。
4. 内切：两个圆有且仅有一个切点，且它们的圆心间的距离等于两个圆的半径之差。
5. 内含：一个圆完全包含在另一个圆的内部。
八、圆的相关性质1. 直径垂直于弦：如果一条弦的两个端点都在圆的直径上，那么这条弦垂直于直径。
2. 弦的性质：如果两条弦相交于圆上的一个点，那么这两条弦的交点到各自弦上任意一点的线段长度相等。
