2013年历城数学三模试题

山东师大附中2010级高三第三次模拟考试数学（理工类） 2012年12月1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数（Ⅰ）（Ⅱ）、导数及其应用、数列、不等式、向量第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则A35 B 45 C 35- D 45- 3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且101320132013a S ==，则1a =（ ）A. 2012B. -2012C. 2011D. -20114.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C.||||a ba b =D. a b = 5. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A.7B.5C.-5D.-76. 函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ）A.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数B.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数C.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数D.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数7.若实数,x y满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x y +的最大值是( )A ．11B ．23C ．26D ．308.在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列 则B =（ ） A .6πB.4πC.3πD.23π 9. 设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123123,,x x x x x x <<、、且 则下列结论正确的是（ ）A. 11x >-B. 20x <C. 201x <<D. 32x >11.设11cos ,sin ,a xdx b xdx ==⎰⎰下列关系式成立的是( )A a b >B 1a b +<C a b <D 1a b += 12.如图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设()()g x f f x =⎡⎣ 则函数()y g x =的图象为（ ）AC山东师大附中2010级高三第三次模拟考试数学（理工类） 2012年12月第Ⅱ卷（共90分）二．填空题（每题4分，满分16分）13.不等式|21||1|2x x ++-<的解集为14.在ABC ∆中，sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列，则B 的取值范围是 15.()y f x =是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上递增,不等式112x f f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的解集为16下列命题中，正确的是（1）平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a ，1=b ，则=+b a（2）已知()()sin ,1cos ,1,1cos a b θθθ=+=-，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则a b ⊥ （3）O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭， ()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心三 解答题（满分74分）17．(本题满分12分)设函数()sin cos f x x x =+，()()()()2'g x f x f x f x =⋅+⎡⎤⎣⎦ （Ⅰ）求()g x 的周期和最大值 （Ⅱ）求()g x 的单调递增区间18.(本题满分12分) 在ABC ∆中，0120,A ∠=（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列，求ABC ∆的面积（Ⅱ）已知AD 是ABC ∆的中线，若2AB AC ⋅=-，求||AD 的最小值19.(本题满分12分)数列{}n a 的前n 项的和为n S ,对于任意的自然数0n a >，()241n n S a =+（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列，并求通项公式 （Ⅱ）设3nn n a b =，求和12n n T b b b =+++20.(本题满分12分)已知1=x 是函数()()2xf x ax e =-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤21．（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，公比1q >，前n 项和为3427,,4,2n S S a a ==且211{}:,log n n n b b n a +=+数列满足（Ⅰ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证11(*).32n T n N ≤<∈22. (本题满分14分)已知函数()()2ln(1)af x x a R x=-+∈ （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）如果当1,x >且2x ≠时，()ln 12x ax x->-恒成立，求实数a 的范围.山师附中高三第三次模拟考试2012.12.6参考答案(理科)13． 14. 15. 16.①②③三（满分74分）17解：（1），-------------------------------2分----------------------------------4分-------------------------------6分的周期----------------------7分-------------------------8分（2）由得所以 ---------------------10分的增区间为-------------------12分18解：（1），设三边为，--------------1分由余弦定理：---------------2分即 -------------------------3分所以 --------------------------------4分-----------------6分（2） ----------------------7分----------------------------------8分因为，所以---------------10分------------------------------11分所以----------------------------------12分19．解：（1）令------------------1分（2）-(1)--------------------------3分是等差数列 ------------------------5分----------------------------6分（2）---①---------------------8分---②①-②----------10分所以 -------------------------------12分20（Ⅰ）解：，--------------------2分由已知得，解得．当时，，在处取得极小值．所以. ----------------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.当时，，在区间单调递减；当时，，在区间单调递增.所以在区间上，的最小值为.------ 8分又，，所以在区间上，的最大值为. ----------10分对于，有．所以. -------------------12分21解：----------------4分-----------------------------------------5分-----------------------6分（2）设------8分= ----------------------------10分因为，所以 ----------12分22（1）定义域为-----------2分设①当时，对称轴，，所以在上是增函数 -----------------------------4分②当时，，所以在上是增函数 ----------------------------------------6分③当时，令得令解得；令解得所以的单调递增区间和；的单调递减区间------------------------------------8分（2）可化为（※）设，由（1）知：①当时，在上是增函数若时，；所以若时，。

山东省实验中学2013年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件考点：集合关系中的参数取值问题．专题：压轴题．分析：先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．解答：解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件故选A点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．2．（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）= B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2xD．f（x）=﹣tanx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．解答：解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是偶函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．点评：本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，熟练掌握基本初等函数的性质，及函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键3．（5分）（2007•江西）若，则cotα等于（）A．﹣2 B．C．D． 2考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：用两角差的正切公式变形，整理，得到关于tanα的一元一次方程，解方程，得到正切值，根据正切和余切之间的关系，求出余切值．解答：解：由得，∴cotα=﹣2，故选A点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，就能解决我们的问题．4．（5分）函数f（x）=（x+1）lnx的零点有（）A．0个B．1个C．2个D． 3个考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=（x+1）lnx的零点即方程f（x）=0的解，可转化为方程解的个数问题．解答：解：f（x）=（x+1）lnx的定义域为（0，+∞）．令（x+1）lnx=0，则x=1，所以函数f（x）=（x+1）lnx的零点只有一个．故选B．点评：本题考查函数的零点问题，属基础题，往往与方程的解互相转化．5．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣3考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：应用平行关系的判定方法，直接求解即可．解答：解：两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，所以解得a=﹣3，或a=1故选A．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．6．（5分）（2009•海珠区二模）设命题p：曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程是：y=﹣ex；命题q：a，b是任意实数，若a＞b，则．则（）A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p假q真D． p，q 均为假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先求出曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程，判定命题p的真假，然后利用列举法说明命题q是假命题，最后根据复合命题的真值表可得结论．=﹣e解答：解：命题p：y′=﹣e﹣x则y′|x=﹣1∴曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程是y﹣e=﹣e（x+1）即y=﹣ex故命题p为真命题命题q：2＞﹣2而，故命题q是假命题根据复合命题的真假的真值表可知“p或q”为真，“p且q”为假故选A．点评：本题主要考查了复合命题的真假，以及曲线的切线和不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）=x2+sinx，则y=f′（x）的大致图象是（）A．B． C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，求出导函数在x=0处的函数值f′（0），根据f′（0）的符号判断出选项A错；求出f（x）的二阶导数，根据二阶导数的符号判断出导函数的单调性，判断出选项C错；根据二阶导数的单调性，判断出导函数在上递增的快慢，判断出B对D错．解答：解：f′（x）=x+cosx∵f′（0）=1∴选项A错∵f′′（x）=1﹣sinx≥0∴f′（x）递增∴选项C错在上，f′′（x）=1﹣sinx递减∴增的越来越慢∴选项B对D错故选B点评：解决已知函数的解析式选择图象的题目，一般先研究函数的性质，性质有：特殊点、单调性、对称性、周期性等，再根据性质选择图象．8．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2013，其前n项和为S n，若，则S2013的值等于（）A．﹣2012 B．﹣2013 C．2012 D． 2013考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等差数列前n项和为S n=An2+Bn，根据=An+B，可知{}成等差数列，然后求出的值，从而可求出S 2013的值．解答：解：设等差数列前n项和为S n=An2+Bn则=An+B，∴{}成等差数列，∵，=a 1=﹣2013，∴{}是首项为﹣2013，公差为1的等差数列，∴=﹣2013+（2013﹣1）×1=﹣1，即S 2013=﹣2013．故选B．点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．9．（5分）（2011•甘肃一模）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A． 3 B．C．D． 2考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；转化思想．分析：先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，由圆的性质知：S四边形PACB=2∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若a 1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）A．B．C．D．考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解答：解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2∴=∵是正整数，q是小于1的正有理数．令=t，t是正整数，则有q2+q+1=∴q=对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意故选C．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，特别是等比数列混合题，两者的内在联系很重要．11．（5分）（2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A． 3 B．C． 2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．12．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）考点：正弦定理；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．解答：解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x 0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：依题意，2＞m＞0，由e==即可求得m．解答：解：∵焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，∴2＞m＞0，e==，∴m=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用离心率得到关于m的关系式是关键，属于基础题．14．（4分）（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是0＜a＜．考点：指数函数的图像与性质；指数函数综合题．专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x﹣1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．解答：解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜．②：当a＞1时，作出函数y=|a x﹣1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．综上：a的取值范围是0＜a＜．故答案为：0＜a＜点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．15．（4分）若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2，求k的取值范围[﹣3，2）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：解二次不等式x2﹣x﹣2＞0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），由2x2+（5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k），分类讨论k与的大小关系，综合讨论结果，可得答案．解答：解：x2﹣x﹣2＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）∵2x2+（5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k）＜0当k＜时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣，﹣k），此时若不等式组的解集中所含整数解只有﹣2则，﹣2＜﹣k≤3，即﹣3≤k＜2当k=时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为∅，不满足要求当k＞时，2x2+（5+2k）x+5k＜0的解集为（﹣k，﹣），不满足要求综上k的取值范围为[﹣3，2）故答案为：[﹣3，2）点评：本题考查的知识点是不等式的综合应用，集合的运算，熟练掌握集合运算的结果，是解答的关键．16．（4分）当实数x，y满足约束条件（a为常数）时z=x+3y有最大值为12，则实数a的值为﹣12．考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：画出的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z最大，求出最大值列出方程求出a的值解答：解：画出的平面区域，将目标函数变形为y=﹣x+z，画出其相应的直线，由得当直线y=﹣x+z平移至A（3，3）时z最大为12，将x=3，y=3代入直线2x+2y+a=0得：6+6+a=0a=﹣12故答案为：﹣12．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）记f（x）=ax2﹣bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（|t|+8）＜f（2+t2）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知不等式的解集及二次函数的性质，得到f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），且a小于0，二次函数在[2，+∞）是增函数，由所求不等式自变量都大于等于2，利用增函数的性质列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围．解答：解：由题意知f（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0，二次函数在区间[2，+∞）是减函数，又因为|t|+8＞8，2+t2≥2，故由二次函数的单调性知不等式f（|t|+8）＜f（2+t2），等价于|t|+8＞2+t2，∴|t|2﹣|t|﹣6＜0，即（|t|﹣3）（|t|+2）＜0，解得：0＜|t|＜3解得：﹣3＜t＜3，且t≠0．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，以及其他不等式的解法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．18．（12分）（2010•海淀区二模）在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c．（1）求cosA的值；（2）若，求b的值．考点：余弦定理的应用；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据a，b，c成等差数列及a=2c求得b=c代入余弦定理求得cosA的值．（II）由（I）cosA，求出sinA．根据正弦定理及求得c，进而求出b．解答：解：（I）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b又a=2c，可得b=c∴cosA==﹣（II）由（I）cosA=，A∈（0，π），∴sinA==因为若，S △ABC=bcsinA，∴S△ABC=bcsinA==得c2=4，即c=2，b=3点评：本题主要考查余弦定理的应用．利用余弦定理，可以判断三角形形状．解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理，故应重点掌握，灵活运用．19．（12分）设函数．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数f（x）的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x），求g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用和差角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω可得函数的周期，将相位角代入正弦函数的单调递减区间，求出x的范围，可得函数f（x）的单调递减区间（II）由x的范围，可求出相位角的范围，进而根据正弦函数的图象和性质，可求出函数的最值，进而得到a值，求出函数的解析式（III）根据函数图象的平移变换法则，伸缩变换法则，求出g（x）的解析式，代入积分公式，可得g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积．解答：解（Ⅰ）函数==sin（2x+）+a+．∵ω=2，∴T=π由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，（k∈Z）．（II）∵x∈[]∴2x+∈[]∴sin（2x+）∈[，1]∴当x∈[]时，原函数的最大值与最小值的和+a++1+a+=，解得：a=0∴f（x）=sin（2x+）+（3）将满足（Ⅱ）的函数f（x）sin（2x+）+的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x）=sinx的图象∵=﹣cosx=1，即g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积为1点评：本题考查的知识点是三角函数的化简，三角函数的周期性，单调性，最值，及函数图象的变换，是三角函数问题的综合应用，难度中档．20．（12分）已知递增等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）由题意，得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ），S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n），所以数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1，使S n+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．解答：解：（I）由题意，得，…（2分）解得…（4分）由于{a n}是递增数列，所以a1=2，q=2即数列{a n}的通项公式为a n=2•2n﹣1=2n…（6分）（Ⅱ）…（8分）S n=b1+b2+…+b n=﹣（1×2+2×22+…+n×2n）①则2S n=﹣（1×22+2×23+…+n×2n+1）②②﹣①，得S n=（2+22+…+2n）﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1即数列{b n}的前项和S n=2n+1﹣2﹣n•2n+1…（10分）则S n+n•2n+1=2n+1﹣2＞62，所以n＞5，即n的最小值为6．…（12分）点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．21．（12分）（2010•延庆县一模）已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．解答：解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，所以a=2．所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，经验证，此时△=48＞0．所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系．在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意．22．（14分）已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，求a、b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）由函数的导数可确定f（x）的表达式，先确定函数在区间[﹣1，1]上的单调性，从而确定了最值建立了关于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函数的解析式，确定点P（2，1）的位置：在函数的图象上，对P是否为切点讨论，利用导数求切线的斜率，可得切线方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通过对其符号的探讨得函数的单调性，从而确定极值点的个数．解答：解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，∴当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．又，，∴f（﹣1）＜f（1）．，即，得．故，b=1为所求．（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x3﹣2x2+1，f'（x）=3x2﹣4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，∴l的方程为y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），切线l的斜率，∴l的方程为y﹣y0=（3x02﹣4x0）（x﹣x0）．又点P（2，1）在l上，∴1﹣y0=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴1﹣（x03﹣2x02+1）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴x02（2﹣x0）=（3x02﹣4x0）（2﹣x0），∴x02=3x02﹣4x0，即2x0（x0﹣2）=0，∴x0=0．∴切线l的方程为y=1．故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1．（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）（Ⅲ）解：F（x）=（3x2﹣3ax+6x+1）•e2x=[3x2﹣3（a﹣2）x+1]•e2x．∴F'（x）=[6x﹣3（a﹣2）]•e2x+2[3x2﹣3（a﹣2）x+1]•e2x=[6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a]•e2x．二次函数y=6x2﹣6（a﹣3）x+8﹣3a的判别式为△=36（a﹣3）2﹣24（8﹣3a）=12（3a2﹣12a+11）=12[3（a﹣2）2﹣1]，令△≤0，得：．令△＞0，得．∵e2x＞0，1＜a＜2，∴当时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．点评：本题考查导数在最大值，最小值中的应用，学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值及极值，注意分类讨论思想方法的体现．。

2013年济南中考数学模拟试题一、选择题：本大题共12个小题.每小题4分;共48分.1．3-的倒数是（）A．1 3 -B．13C．3- D．32．2007年我市初中毕业生约为3.94万人，把3.94万用科学记数表示且保留两个有效数字为（）Ａ．44.010⨯Ｂ．43.910⨯Ｃ．43910⨯Ｄ．4.0万3．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行．那么，在形成的这个图中与α∠互余的角共有（）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．计算：11|5|20072-⎛⎫-+-⎪⎝⎭的结果是（）A． 5 B．6 C．7 D．85．在平面直角坐标系中，若点()2P x x-，在第二象限，则x的取值范围为（）Ａ．0x>Ｂ．2x<Ｃ．02x<<Ｄ．2x>6．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E的大小为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x-+=的解，则此三角形的周长是（）A. 11B. 13C. 11或13D. 不能确定8．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（）A. B. C. D.ABCF(第06题图)EDα9．北京奥组委从4月15日起分三个阶段向境内公众销售门票，开幕式门票分为五个档次，票价分别为人民币5000元、3000元、1500元、800元和200元．某网点第一周内开幕式门票的销售情况见统计图，那么第一周售出的门票票价．．的众数是（ ） A ．1500元 B ．11张C ．5张D ．200元10．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩，的解为21x y =⎧⎨=⎩，，则23a b -的 值为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．6- Ｄ．4- 11．抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A. 14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD. 3-<x 或1>x12．如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值 是（ ） A ．4.75B ．4.8C ．5D ．42二、填空题：本大题共5个小题.每小题3分;共15分.把答案填在题中横线上.13．分解因式：2233ax ay -= ．14．袋中装有除颜色外其余都相同的红球和黄球共25个，小明通过多次模拟实验后，发现摸到的红球、黄球的概率分别是25和35，则袋中黄球有 个．（第12题）ABCQPy–1 13Ox(第11题图)2 46 81012０2511 5 6 5000 3000 1500 800 200 档（元）第一周开幕式门票销售情况统计图数量（张）第8题A 215．若分式11x x +-的值为零，则x 的值为 ．16．如图，已知△ABC 中，∠A ＝40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1＋∠2＝__________. 17．如图，已知双曲线xky =(x ＞0)经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交 BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝______________.三、解答题： 7个小题，57分.解答应写出文字说明、演算步骤. 18．（本小题满分7分） （1）解方程121x x =- （2）解不等式组：212(1)1x x x -⎧⎨+-⎩≤≥，．19．（本小题满分7分）如图，在ABCD Y 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =．（1）求证：ABC EAD △≌△．（2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =o∠，求AED ∠的度数．20．（本小题满分8分）亲爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有A 、B 、C 三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片A 两面均为红，卡片B 两面均为绿，卡片C 一面为红，一面为绿.（1）从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为0？（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些？请你列出表格，用概率的知识予以说明.AB CEOFxy (第17题图)ABC(第16题图)21．（本小题满分8分）某县在实施“村村通”工程中，决定在A 、B 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A 、B 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队所修道路的长度y (米)与修筑时间x (天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，求该公路的总长度．22．（本小题满分9分）如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ． （1）求证：DF 为O e 的切线；（2）若过A 点且与BC 平行的直线交BE 的延长线于G 点，连结CG ．当ABC △是等边三角形时，求AGC ∠的度数． AG F E CBO（第23题）D 第21题图y (米)x (天840360168412023．如图，所示的直角坐标系中，若ABC △是等腰直角三角形，82AB AC ==，D 为斜边BC 的中点．点P 由点A 出发沿线段AB 作匀速运动，P '是P 关于AD 的对称点；点Q 由点D 出发沿射线DC 方向作匀速运动，且满足四边形QDPP '是平行四边形．设平行四边形QDPP '的面积为y ，DQ x =． （1）求出y 关于x 的函数解析式；（5分）（2）求当y 取最大值时，过点P A P '，，的二次函数解析式；（4分）（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E 使EPP '△的面积为20，若存在，求出E 点坐标；若不存在，说明理由．（4分）24．（本小题满分9分）如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠55CE =，且3tan 4EDA ∠=． （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 23题xy A P BDF P 'Q C OxyCBED A2013年济南市中考数学模拟试题参考答案一、选择题：1. A2. B3. C4. B5. C6. A7. B8. D9. A 10. B 11. B 12. B 二、填空题：13. 3a （x ＋y ）（x －y ） 14. 15 15. －1 16. 220° 17. 2 三、解答题：18．（1）解：去分母，得2(1)x x =- 去括号，得22x x =- 整理，得2x -=- 2x =．经检验：2x =是原方程的根． ∴原方程的根是2x =． （2）解：由①，得1x ≤，由②，得32x -≥． 所以原不等式组的解集为312x -≤≤． 19．（1）证明Q 四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =∥，． ∴DAE AEB =∠∠．AB AE =Q ∴AEB B =∠∠∴B DAE =∠∠．∴ABC EAD △≌△．（2）DAE BAE DAE AEB ==Q ∠∠，∠∠，∴BAE AEB B ==∠∠∠．∴ABE △为等边三角形．∴60BAE =o ∠．25EAC =o Q ∠∴85BAC =o ∠ABC EAD Q △≌△，∴85AED BAC ==o ∠∠．20．解：（1）依题意可知：抽出卡片A 的概率为0；（2）由（1）知，一定不会抽出卡片A ，只会抽出卡片B 或C ，且抽出的卡片朝上的一面是绿色，那么可列下表：朝上 B （绿 1） B （绿 2） C （绿 ）朝下B （绿 2） B （绿 1）C （红 ）可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即：P （绿）=32，P （红）=31，所以猜绿色正确率可能高一些.21．解：设y 乙=kx （0≤x ≤12），∵840=12，∴k =70．∴y 乙=70x ．当x =8时，y 乙=560．设y 甲=mx ＋n （4≤x ≤16），∴4360,8560.m n m n +=⎧⎨+=⎩∴50,160.m n =⎧⎨=⎩∴y 甲=50x ＋160．当x =16时，y 甲=50×16＋160=960．∴840＋960=1800米．故该公路全长为1800米． 22．（1）证明：连结AD OD ，AB Q 是⊙O 的直径 AD BC ∴⊥ABC Q △是等腰三角形 BD DC ∴=又AO BO =OD AC ∴∥ DF AC ⊥Q OF OD ∴⊥ DF OD ∴⊥DF ∴是⊙O 的切线（2）AB Q 是⊙O 的直径BG AC ∴⊥ABC Q △是等边三角形 BG ∴是AC 的垂直平分线 GA GC ∴=又AG BC Q ∥，60ACB ∠=o60CAG ACB ∴∠=∠=oACG ∴△是等边三角形60AGC ∴∠=o第21题图960560乙甲y (米)x (天8403601684120AGFE CBO（第22题）Ｄ23．解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=28，∴AD=BD=CD=8∵四边形QDPP ′是平行四边形，且DQ ＝x ，∴PP ′＝DQ ＝x ，且PP ′∥DQ 。

山东师大附中2010级高三第三次模拟考试数学（理工类）1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数（Ⅰ）（Ⅱ）、导数及其应用、数列、不等式、向量第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞【答案】D【解析】121{|log (21)0}{0211}{1}2x x x x xx ->=<-<=<<,所以1{1}2RA x x x =≥≤或，即1(,][1,)2RA =-∞+∞，选D.2．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则A35 B 45 C 35- D 45- 【答案】A 【解析】由1tan ,47πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11tan()tan 3744tan tan()14441tan()tan 1447ππαππααππα-+-=+-===-+++，所以解得3sin 5α=，选A. 3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且101320132013a S ==，则1a =（ ） A. 2012 B. -2012 C. 2011 D. -2011【答案】D【解析】在等差数列中，1201320132013()20132a a S +==，所以120132a a +=，所以120132220132011a a =-=-=-，选D.4.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b = 【答案】B【解析】要使||||||a b a b -=+成立，则有,a b 共线且方向相反，所以当20a b +=时，满足2a b =-，满足条件，所以选B.5. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） A.7 B.5 C.-5 D.-7 【答案】D【解析】在等比数列中，56478a a a a ==-，所以公比0q <，又472a a +=，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩。