2017-2018学年北师大版八年级数学下册课件：5.1 认识分式 第2课时

3
10
3÷4= 4 , 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
90
⑴ 90÷x 可以用式子
x 60 来表示。
60÷(x-6)可以用式子 x 6 来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
m
平均每公顷产量可以用式子 n 吨来表示.
从环境保护说起
③分母不能为零。
分式无意义的条件 分母等于零
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
强调： 中，B 中一定要有字母
作 所以当 x≠- 时，
这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式 例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一起，可以调制成一种混合饮料。 我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？ 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
叫做分式（fraction），其中A是分式的分
子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！
2)分式比分数更具有一般性，如：分数 5 仅表示
x 5÷3的商，而分式 y
则可以表示任意3两个整式
相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)1;(2)x;(3) 2xy;(4)2xy.
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱
200
形容器中,水面的高度为 33
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
V
S
cm.
议一议 分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式:

感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线
相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用 •• •• •• ••
.
2.分式只看形式不看结果，如3aa2 是分式 .
感悟新知
知1－练
例1 [母题教材P109习题T1]下列各式中，哪些是分式？哪
些是整式？
4 m
，－2
x
2， 3 5＋y
y m＋n 9x＋y x－y 2 x , m2－n2 , 45 xy2 , x2－2xy＋y2 .
感悟新知
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解： m＋n m 2－n2
m＋n
m＋n m－n
示成
AB的形式
.
如果B
中含有字母，那么称
A B
为分式，
其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 .
分式的“三要素”：(1)形如AB的式子； (2) A， B为整式；(3)分母B 中含有字母.
感悟新知
知1－讲
2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数， 所以分式比分数更具有一般性.分数是分式中字母取 特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.
的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的
积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，
再找公因式.
感悟新知
知5－讲
3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简 分式.
感悟新知
例7 约分：
－21a 3b5c
x－y
a 2－5a
(1) 56a2b10d ;(2) x－y3 ;(3) 25－a2 ,

m¹ 0
三、典例分析
例1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)
b 2x
=
by 2xy
(
y
?
0)
(2) ax = a 为什么 x ¹ 0 ？ bx b
解:(1)因为 y ¹
0，所以
b 2x
=
b· 2x·
y y
=
by 2xy
；
(2)因为 x ¹ 0，所以 ax = ax ¸ x = a .
bx bx ¸ x b
如果一B中般含的有，用字A母，,B那表么示称两个A 为整分式式，.其A+中B可A称以为表分示子成，BAB称的为形分式母. . B
对于任意一个分式，分母都不能等于零.
二、探究新知
类比
为什么 可类比？
分数的基本性质： 从特殊到一般 分式的基本性质：
3 = 6 的依据是什么？4 = 1 呢？
48
82
分式 a 与 1 相等吗？ n2 与 n 呢？
a b
4 - x2 (4) x2 - 2x
- x- 2 x
五、随堂练习
3.求下列各式的值:
(1)
x2
- 8x +16 x2 - 16
，其中x=100.
因式分解 约分化简
代入求值
解：
(1)
x2 - 8x +16 x2 - 16
=
( x - 4) 2 ( x +4) ( x -
4)
=
x- 4 x +4
14
五、随堂练习
4.拔高训练:已知 1 + 1 = 3 ，求代数式的 a - 3ab +b 值.
ab
a +2ab +b

a 1 11 解:(1)当a=1时, 2. 2a 1 2 1 a 1 2 1 1. 当a=2时, 2a 1 4 1 a 1 1 1 0. 当a=-1时, 2a 1 2 1
(2)当分母的值为零时,分式没有 意义,除此以外,分式都有意义.
b by (1) (y≠0); 2 x 2 xy
〔解析〕
(2)
ax a . bx b
据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到 2 xy .(2)
b (1) 的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根 2x by
得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知 解:(1)因为y≠0,所以
ax 的分子ax除以x bx ax
的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
无意义.试求m,n的值.
x m n1 4.对于分式 ，已知当x=-3时,分式的值为0；当x=2时,分式 m 2n 3m
解:∵当x=-3时，分式的值为0,
3 m n 0， m+n -3， 即 m 2n 9 0， m 2n 9.
问题2
如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影
部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
请看下面的问题:
问题1
如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形
的宽怎么表示呢? 问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起, 它的宽怎么表示呢? 问题3 两图中长方形的宽相等吗?
2.若分式
2x 1 有意义,则x的取值范围是 3x 5

5 3
.
5 解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠- 5 ,因此x的取值范围是x≠5 填x≠- . 3 3

现已给出一个分子，请同学们写出一个分 母使它们组成一个能约分的分式，并进行 约分。
(2()1) m2244xm3ny44n2
1.下列变形中正确的是（ D ）
A.
a b
a2 b2
B.
a b
a b
1 1
C.
a b
ax bx
am D.bm
Hale Waihona Puke a b2、下列分式遇是变最形简，分想式性的质是；（ B ）
4 同乘除7，考虑零。x 1
因式分解
a2 ab b2 ab
a(a b) b(a b)
a b
和
积
化简下列分式：
4x 8 (1) x2 4
(2)
m
2 8m m2 16
16
x2 1 (x 1)(x 1) x 1
x 1 x1
繁
约
简
分
现已给出一个分子， 请同学们写出一个分母 使它们组成一个能约分 的分式，并进行约分。
x 1
A. 2x B. 3y2 C. x2 1 D. 1 x
3、老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分
式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式
子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人， 最后完成化简。过程如图所示：接力中,自己负 责的一步出现错误的是 ( ) D A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
（2） x ， x 与 x 有什么关系？
y y
y
（3）x 1 化简后的结果是 -1 。 1 x
学而不思则惘， 思而不学则殆。
《论语》
作业：P113 1题，3题
1、分式
A B
有这样的性质吗？
2、试着说说是怎么得来的？并尝试用 字母表示这一性质。

典例探究
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）b = by y 0；
2x 2xy
（2）ax = a . bx b
分析：第（1）题没有隐含y≠0,所以括号中指明了y≠0； ax
第（2）题已经隐含着x≠0的条件，否则 没有意义，所以题目中没有特别指明x≠0。 bx
解:（1）因为y ≠0，所以 b = b y = by ； 2x 2x y 2xy
北师大版数学八年级下册
5.1 认识分式 （第二课时）
学习目标
知识目标
技能目标
理解分式的基本性质， 能利用分式的基本性质 对分式进行变形。了解 分式约分的步骤和根据， 掌握分式约分的方法。
使学生了解最简分式的 意义，能将分式化为最 简分式。
素养目标
培养学生在已有数学经 验的基础上得出新知识 的能力。加强事物之间 的联系，激发学生学习 数学的兴趣。
ab
解：（1）a2bc = ab ac = ac；
ab ab
（2） x
2
x2 1 2x
1
.
（2） x
2
x2 1 2x 1
=
x
1 x 1 x 12
=
x x
1. 1
说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ; 在（２)中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)； 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形 称为分式的约分．
（x 3）（x 3) （x 3）2
x 3. x3
若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式 分解因式，然后约去分子、分母所有的公 因式．
归纳总结
约分的基本步骤:
（１）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；

B.
x x2
1 1
D.
x2 x2
xy y2
(B)
2.将分式
x 1
__x__1__.
x2 2x 1化为最简分式,所得结果是
x2 1
【火眼金睛】
化简:
m2 3m 9 m2
.
正解:
m2－3m 9－m2
3
m(m－3)
m(3－m)
－ m m
3
.
【一题多变】 已知x2-4xy+4y2=0,那么分式 x y 的值等于多少?
（1）82aba2
a 1 1 a
（. 2）a
2
4ab 4b2 a2 4b2
.
【自主解答】(1)
2a a 1 8ab2 1 a
1 4b2
.
（2）a 2
4ab 4b2 a2 4b2
a
a 2b2 2ba 2b
a 2b . a 2b
【学霸提醒】 关于约分的三点说明 (1)根据:分式的基本性质. (2)关键:确定分式分子与分母的公因式. 确定公因式的步骤:
－－A －B
－A . B
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧! 1.分式变形 x ＝ A 中的整式A=___x_2-_2_x___,变形
x 2 x2 4
的根据是 _分__式__的__分__子__与__分__母__乘__(_或__除__以__)_同__一__个__不__等__于__0_的__整__式__,_ _分__式__的__值__不__变__.
bm
(2)符号表示: b b m , b =__a___m__(m≠0).
a am a
2.约分 (1)概念:把一个分式的分子和分母的___公__因__式____约 去. (2)约分的关键:找出分子、分母的___公__因__式____; 约分的根据:分式的基本性质;

3
例2、若分式 x 1 有意义 ，则x 的取值范围是什么？
x≠1
例3、若分式
2
6 x
没有意义
1
，则x
的取值范围是什么？
x1
2
例4、若分式 2xx21的值为0 ，则x 的值等于多少？
x=2
一个概念 分式的概念
①分子分母都是整式 ②分母中含有英文字母
③分母≠0。
④分数线具有括号和除号 双重功能。
2
x2 3y2 4
A. 1个
B. 2个 C. 3个
D. 4个
关于分式的几点注意
• 1、满足分数的形式；
• 2、分母含有英文字母；
• 3、分母≠0。
• 4 、分数线有除号和括号的双重作用，如：
x1 x3
可表示为（x
-1)
÷
(x
-3)
.
分式条件
例1、分式 a2a1成立的条件是什么？ a≠0
根据下列文字叙述列出代数式
x
1、x除以x与8的和所得的商；x 8
2、3m加上n和的倒数；
1 3m
n
3、甲乙相距180千米，一辆汽车行驶t 小时从甲地到达乙地，则汽车的速 度是多少？
180
t
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30公顷，结果提前 完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x公顷，那么
2400
（1）原计划完成造林任务需要 x 个月.
2400
（2）实际完成造林任务用了 x 30 个月.
1、上面问题中出现的代数式:
x
1
180 2400 2400
x 8 3m n

第三环节自主探索
• 议一议：对前面出现的代数式如下，它们有什么 共同特征？它们与整式有什么不同？
2400 , 2400 , (n 2) •180 , b
x x3
n
ax
A
• 答：这些式子都可写成 B的形式，分子、分母都 是整式， 分母中都含字母，而单项式和多项式统 称整式，整式分母中不含字母。
• 思维方法小结：观察 、类比、归纳
所以，当a取零以外的任何数时，分式 2a 都有意义。
• 解题方法小结：（1）如果a的取值使的分母的值为零，则
分式没有意义，反之有意义。（2）如果字母的值有意义
则直接代入分式中计算。
• 第五环节课堂反馈 • 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1) b , (2)2a b(3) x 1 (4) 1 xy x2 y
（1）这一问题中有哪些等量关系？
答案：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷 原计划完成一期工程的时间—实际完成一期工程的时间=4个月
2400公顷 每月固沙造林的面积
完成一期工程的时间（月）
（2）如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要
2400
2400
＿x ＿个月，实际完成一期工程用了＿x ＿3 个月，
通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新 知识。
4、我们应该多种树，保护人类生存环境。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
北师大版 八年级 下册
5.1认识分式