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三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
三重积分的常用计算方法1直角坐标系法：适用于被积区域不含圆形的区域 2柱面坐标法：适用被积区域的投影为圆时3球面坐标系法：适用于被积区域包含球的一部分第三节 三重积分一、三重积分的概念设f x y z (,,)是空间闭区域Ω上的有界函数,将Ω任意地分划成n 个小区域 ∆∆∆v v v n12,,,其中∆v i表示第i 个小区域,也表示它的体积.在每个小区域∆v i 上任取一点(,,)ξηζi i i,作乘积 f v i i i i(,,)ξηζ∆作和式 f v i i i i i n(,,)ξηζ∆=∑1以λ记这n 个小区域直径的最大者, 若极限lim (,,)λξηζ→=∑01f v i i i i i n∆ 存在,则称此极限值为函数f x y z (,,)在区域Ω上的三重积分,记作f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰,即 f x y z dv f v i i i i i n(,,)lim (,,)Ω∆⎰⎰⎰∑=→=λξηζ01其中dv 叫体积元素.自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz .二、三重积分的计算1、利用直角坐标计算三重积分假设积分区域Ω的形状如下图所示Ω在xoy 面上的投影区域为D xy , 过D xy 上任意一点, 作平行于z 轴的直线穿过Ω内部, 与Ω边界曲面相交不多于两点. 亦即, Ω的边界曲面可分为上、下两片部分曲面.S z z x y 11:(,)= , S z z x y 22:(,)=其中z x y 1(,), z x y 2(,)在D xy 上连续, 并且 z x y z x y 12(,)(,)≤.如何计算三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰呢?不妨先考虑特殊情况f x y z (,,)≡1,则[]dv dxdydz z x y z x y d D xyΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-21(,)(,)σ即 dvdxdydz z x y z x y D xyΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=12(,)(,)一般情况下,类似地有dv dxdy f x y z dz z x y z x y D xyΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=(,,)(,)(,)12显然积分f x y z dzz x y z x y (,,)(,)(,)12⎰只是把f x y z (,,)看作z 的函数在区间[(,),(,)]z x y z x y 12上对z 求定积分, 因此,其结果应是x y ,的函数, 记F x y f x y z dz z x y z x y (,)(,,)(,)(,)=⎰12那么 f x y z dv F x y dxdy D xy(,,)(,)Ω⎰⎰⎰⎰⎰=如上图所示, 区域D xy 可表示为a xb y x y y x ≤≤≤≤,()()12从而F x y dxdy dx F x y dy D aby x y x xy(,)(,)()()⎰⎰⎰⎰=12综上讨论, 若积分区域Ω可表示成a xb y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)1212则 f x y z dv dx dyf x y z dz aby x y x z x y z x y (,,)(,,)()()(,)(,)Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1212这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z , 次对y ,最后对x 的三次积分.如果平行于 z 轴且穿过Ω内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将Ω剖分成若干个部分,(如ΩΩ12,),使在Ω上的三重积分化为各部分区域( ΩΩ12,)上的三重积分,当然各部分区域 (ΩΩ12,) 应适合对区域的要求.例如,求f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰,其中Ω为 14222≤++≤x y z .将面将区域剖分成上下两个部分区域Ω1222014=≥≤++≤{(,,)|,}x y z z x y zΩ2222014=≤≤++≤{(,,)|,}x y z z x y z则 fdv fdv fdv ΩΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+12例1计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为球面x y z 2221++=及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体. 解:(1)、画出立体的简图(2)、找出立体Ω在某坐标面上的投影区域并画出简图Ω在xoy 面上的投影区域为 D x y x y xy :,,22100+≤≥≥(3)、确定另一积分变量的变化范围在已知积分变量x y ,的变化范围为D xy 的情况下, 再确定另一积分变量z 的变化范围. 在D xy 内任取一点, 作一过此点且平行于z 轴的直线穿过区域Ω, 则此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标即为z 的变化范围.0122≤≤--z x y(4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==222210221101010)1(21x y x x dy y x xy dxxyzdzdy dxxdydzxyzddxx x x x x x dx xy y x xy dy xy y x xy dxx x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(224812462481246224124241cos sin 81cos sin 41cos sin 41cos cos sin 81cos sin 41cos sin 412052033320204232=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰⎰⎰ππππtdt t tdt t dt t tdtt t t t t t2、利用柱面坐标计算三重积分 （1）、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标.规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面； z =常数,即与xoy 面平行的平面.点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ（2）、三重积分f x y z dv(,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r =常数,θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体.考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ (2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式.(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定. 3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之； (2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数 )即为z 的变化范围.例1求下述立体在柱面坐标下的表示形式Ω1: 球面x y z 2221++=与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分.Ω2: 由锥面z x y =+22与平面z =1所围成的立体.Ω1在xoy 面上的投影区域为 D x y x y xy ():,,122100+≤≥≥, 其极坐标下的表示形式为 0201≤≤≤≤θπ,rz 在Ω1的变化范围是 0122≤≤--z x y ,即012≤≤-z rΩ12020101:,,≤≤≤≤≤≤-θπr z rΩ2在xoy 面上的投影区域为 D x y xy ():2221+≤, 其极坐标下的表示形式为 0201≤≤≤≤θπ,r z 在Ω2的变化范围是 x y z 221+≤≤即 r z ≤≤1故 Ω202011:,,≤≤≤≤≤≤θπr r z三、利用球坐标计算三重积分 1. 球面坐标如图所示,空间任意一点),,(z y x M 也可用三个数θφ,,r 唯一表示。
