2004—2005学年第1学期A
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2004 — 2005学年 第1学期
课程名称：《概率论与数理统计》 A 卷
一，选择题(本题共10小题, 每小题3分, 满分30分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1. 设,A B 为任意两个事件, 且(),0,A B P B >⊂ 则下列选项必然成立的是
(A) ()();|P A P A B < (B) ()();|P A P A B ≤
(C) ()();|P A P A B > (D) ()()|.P A P A B ≥ [ ]
2. 已知“A 不发生或者B 发生”的概率是0.4，则“A 发生而B 不发生” 的概率是
(A) 0.16; (B) 0.4; (C) 0.6; (D) 0.8. [ ]
3. 设随机变量X 的分布律为{}{}{}10.4,00.2,10.4,P X P X P X =-===== 则 概率{}21P X =等于
(A) 0.2; (B) 0.4; (C) 0; (D) 0.8. [ ]
4. 参数为5的泊松分布的期望和方差是
(A) 5, 25; (B) 11,525; (C) ,155
; (D) 5,5. [ ] 5. 设随机变量X 服从参数为13
的指数分布，则{}1P X ≤等于 (A)13e -; (B)31e -; (C)31e --; (D)13e +. [ ]
6. 设随机变量X 服从正态分布()2,N σμ, 则随着σ的增大, 概率{}P X σμ-<
(A) 增减不定; (B) 单调减小; (C) 单调增大; (D) 保持不变. [ ]
7. 均值为μ, 方差为()20σ>的独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的算术平均值
1
1n
k k X X n ==∑, 当n 充分大时, 近似地服从 (A) 指数分布; (B) 二项分布; (C) 泊松分布; (D) 正态分布. [ ]
8. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2, 则随机变量32X Y -的方差是
(A) 8; (B) 16; (C) 28; (D) 44. [ ]
9. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布, 则
(A) X Y +服从正态分布; (B) 22X Y +服从2χ分布;
(C) 2X 和2Y 都服从2χ分布; (D) 22X Y 服从F 分布. [ ]
10. 设相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布()0,1N 和()1,1N , 则
(A){}102P X Y +≤=
; (B){}112
P X Y +≤=; (C){}102
P X Y -≤=; (D){}112P X Y -≤=. [ ] 二、 计算题(本题共2小题, 每小题5分, 满分10分.) 1. 两两相互独立的三个事件A B C 、、满足条件: ABC ∅=,()()()P A P B P C ==12<,
并且已知()916P A B C = , 求()P A .
2. 袋中有50个乒乓球, 其中20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次从袋中 随机地各取一个球, 取后不放回. 求第二个人取得黄球的概率.
三、 计算题(本题共4小题, 每小题6分, 满分24分.)
1. 设随机变量X 服从正态分布()()20,N σσμ>，二次方程240X y y ++= 无实根的概率为12
, 求μ.
2. 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为601()0, ,,
f else x x y x y ≤≤≤⎧⎨⎩=, 求()X f x .
3. 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为601()0, ,,
else x x y f x y ≤≤≤⎧⎨⎩=, 求{1}X Y P +≤.
4. 设随机变量X 的概率密度为() 0
0 0,,X x e x x f x -⎧⎪⎨≤⎪⎩>=, 求随机变量X Y e =的 概率密度()Y y f .
四、 计算题(本题共5小题, 每小题6分, 满分30分.)
1. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为{}{}00.4,10.6P X P X ====和{}{}{}10.2,00.3,10.5,P Y P Y P Y =-===== 且X 与Y 相互独立. 求随机变量 X 与Y 的联合分布律以及随机变量{},max Z X Y =的分布律.
2. 已知随机变量X 与Y 的联合分布律为求X 与Y 的协方差(),Cov X Y .
3. 设随机变量()8,0.5 X b , 试根据切比雪夫不等式估计(){}2P X E X -≥.
4. 已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布(),1N μ, 从中随机地抽取 16个零件, 得到长度的平均值为()40cm , 求μ的置信度为0.95的置信区间. (注: 标准正态分布函数值.(1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=)
5. 设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体X 的简单随机样本, 试求 参数λ的矩估计量和最大似然估计量.
五、 证明题(本题满分6分.)
设A 、B 是任意二事件, 其中A 的概率不等于0和1. 证明: ()()||P B A P B A = 是事件A 与B 独立的充分必要条件.。
