【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业：8.5 空间中的垂直关系]
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第5讲空间中的垂直关系
基础巩固
1.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β
B.若l⊥α,α∥β,则l⊥β
C.若l∥α,α∥β,则l⊂β
D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
【答案】B
【解析】对于选项A,C,可能l∥β,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l∥β或l⊂β,因此D不正确.故选B.
2.命题(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l⊥α”,命题(2)“若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线”,则( )
A.(1)是真命题,(2)是真命题
B.(1)是真命题,(2)是假命题
C.(1)是假命题,(2)是真命题
D.(1)是假命题,(2)是假命题
【答案】C
【解析】直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l有可能与α斜交;反之若l⊥α,则直线l垂直于平面α内的无数条直线.
3.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定,因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
4.一直线和平面α所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角,它为.
5.(2012·浙江卷,10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【答案】B
【解析】当AC=1时,由DC=1,AD=,得∠ACD 为直角,DC⊥AC,
又因为DC⊥BC,所以DC⊥平面ABC. 所以DC⊥AB.
6.(2012·湖南长沙模拟)设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且Y⊥Z ⇒X ∥Y”为真命题的是( )
①X,Y,Z 是直线 ②X,Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X,Y 是平面 ④X,Y,Z 是平面 A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【答案】C
【解析】因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形②③可使“X⊥Z 且Y⊥Z ⇒X ∥Y”为真命题.
7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是棱AA 1和AB 上的点,若∠B 1MN 是直角,则∠C 1MN= . 【答案】90°
【解析】∵在正方体中,C 1B 1⊥平面ABB 1A 1,
而MN ⊂平面ABB 1A 1,∴C 1B 1⊥MN. 又∠B 1MN 是直角,即MN⊥MB 1, 而MB 1∩C 1B 1=B 1, ∴MN⊥平面MB 1C 1.
故MN⊥MC 1,即∠C 1MN=90°.
8.(2013届·山东青岛阶段测试)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足 时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可). 【答案】DM⊥PC(答案不唯一) 【解析】∵由题意可知BD⊥PC,
∴当DM⊥PC 时,即有PC⊥平面MBD. 又∵PC ⊂平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD.
9.(2012·山东临沂沂水)在直平行六面体AC 1中,四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA 1. (1)求证:C 1O ∥平面AB 1D 1;
(2)求证:平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
【证明】(1)连接A 1C 1交B 1D 1于O 1,连接AO 1.
∵在平行四边形AA 1C 1C 中,C 1O 1∥AO,C 1O 1=AO,
∴四边形AOC 1O 1为平行四边形.从而可知C 1O ∥AO 1. ∵C 1O ⊄平面AB 1D 1,AO 1⊂平面AB 1D 1, ∴C 1O ∥平面AB 1D 1.
(2)∵在直平行六面体AC 1中,A 1A⊥平面A 1B 1C 1D 1, ∴A 1A⊥B 1D 1.
∵四边形A 1B 1C 1D 1为菱形,∴B 1D 1⊥A 1C 1.
∵A 1C 1∩AA 1=A 1,A 1C 1⊂平面ACC 1A 1,AA 1⊂平面ACC 1A 1,∴B 1D 1⊥平面
ACC 1A 1.∵B 1D 1⊂平面AB 1D 1,∴平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
10.(2012·浙江卷,20)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.
(1)证明:①EF∥A 1D 1; ②BA 1⊥平面B 1C 1EF;
(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.
【解】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,
所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.
又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA=EF, 所以C 1B 1∥EF.故A 1D 1∥EF.
②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1. 又因为B 1C 1⊥B 1A 1,
所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1, 故B 1C 1⊥BA 1.
在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.
所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.
(2)设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.
由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,
所以∠BC
1H是BC
1
与面B
1
C
1
EF所成的角.
在矩形AA
1B
1
B中,AB=,AA
1
=2,得BH=.
在直角△BHC
1中,BC
1
=2,BH=,
得sin∠BC
1
H==.
所以BC
1与平面B
1
C
1
EF所成角的正弦值是.
拓展延伸
11.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(2)证明CD⊥平面ABF;
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
【解】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED,∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,CE==3,于是cos∠CED==.
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明:过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB.从而CD⊥AB.又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.
(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.
因为BC∥AD,所以BC∥EF.过点N作NM⊥EF,交BC于M,则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM.
从而BC⊥GM.由已知,可得GM=.
由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
因此,在Rt△NGM中,tan∠GNM==.
故二面角B-EF-A的正切值为.。
