人教B版必修一第三章《 基本初等函数(I)》练习题

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作单元测评(三) 基本初等函数(Ⅰ)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．化简[3(－5)2]34 的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5D ．－5解析：[3(－5)2]34 ＝(352)34 ＝523×34 ＝512＝ 5. 答案：B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A ．9 B.19 C ．25D.125解析：由换底公式，得lg 13lg5·lg6lg3·lg xlg6＝2， ∴－lg xlg5＝2.∴lg x ＝－2lg5＝lg 125，∴x ＝125. 答案：D 3．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：f (x )要有意义，需log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0. 答案：A4．函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |＞1 B ．|a |＞2 C ．a ＞ 2D ．1＜|a |＜ 2解析：由0＜a 2－1＜1得1＜a 2＜2，∴1＜|a |＜ 2. 答案：D5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：y ＝512－x 的值域是(0,1)∪(1，＋∞)；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x 的值域为(0，＋∞)；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的值域为[0，＋∞)；y ＝1－2x 值域为[0,1)，故选B.答案：B6．函数y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x |x |的图像的大致形状是( )A.B.C.D.解析：原函数式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ＞0)，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ＜0).答案：D7．函数y ＝⎩⎨⎧3x －1－2，(x ≤1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2，(x ＞1)的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析：当x ≤1时，0＜3x －1≤31－1＝1， ∴－2＜3x －1－2≤－1.当x ＞1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫131，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，∴－2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2＜1－2＝－1.答案：D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )A. B.C. D.解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x －1) (x ≥2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 (x ＜2)，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：当x 0≥2时，∵f (x 0)＞1，∴log 2(x 0－1)＞1，即x 0＞3；当x 0＜2时，由f (x 0)＞1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0＜－1，∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( )A ．0＜a ＜1，b ＞1B ．a ＞1,0＜b ＜1C ．a ＞1，b ＞1D ．0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：由于函数单调递增，∴a ＞1， 又f (1)＞0，即log a b ＞0＝log a 1，∴b ＞1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若函数y ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ， x ∈[－1，0]，3x ， x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝__________.解析：∵－1＝log 313＜log 312＜log 31＝0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 312 ＝3－log 312＝3log 32＝2. 答案：212．已知函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]的最大值比最小值大2，则它的反函数在[1,4]上的最大值为__________．解析：当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上是减函数． 由题意a －a 2＝2，无解．当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上是增函数． 由题意a 2－a ＝2, 解得a ＝2，a ＝－1(舍去)． ∴函数y ＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，最大值为log 24＝2. 答案：213．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像求b 的取值范围为__________．解析：如图．当－1≤b ≤1时，此三函数的图像无公共点．答案：[－1,1]14．已知f (x )＝log 3x 的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为__________．解析：∵－1≤log 3x ≤1， ∴log 313≤log 3x ≤log 33，∴13≤x ≤3.∴f (x )＝log 3x 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3， ∴f (x )＝log 3x 的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)设函数y ＝2|x ＋1|－|x －1|. (1)讨论y ＝f (x )的单调性，作出其图像； (2)求f (x )≥22的解集．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧22， (x ≥1)，22x， (－1≤x ＜1)，2－2 (x ＜－1).(2分)当x ≥1或x ＜－1时，y ＝f (x )是常数函数不具有单调性， 当－1≤x ＜1时，y ＝4x 单调递增，(4分)故y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1)，其图像如图．(6分)(2)当x ≥1时，y ＝4≥22成立，当－1≤x ＜1时，由y ＝22x≥22＝2×212＝232，得2x ≥32，x ≥34，∴34≤x＜1.当x ＜－1时，y ＝2－2＝14≥22不成立，(10分)综上，f (x )≥22的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(12分) 16．(12分)设a ＞1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，求a 的取值范围．解：∵log a x ＋log a y ＝3， ∴log a (xy )＝3.(4分)∴xy ＝a 3，∴y ＝a3x .(6分)∴函数y ＝a 3x (a ＞1)为减函数．(8分)又当x ＝a 时，y ＝a 2，当x ＝2a 时，y ＝a 32a ＝a22，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22，a 2⊆[a ，a 2]． ∴a 22≥a .(10分)又a ＞1，∴a ≥2.∴a 的取值范围为a ≥2.(12分)17．(12分)当1≤x ≤64时，求y ＝(log 2x )4＋12(log 2x )2·log 28x 的最大值． 解：y ＝(log 2x )4＋12(log 2x )2·log 28x＝(log 2x )2[(log 2x )2－12log 2x ＋36] ＝(log 2x )2(6－log 2x )2 令log 2x ＝t ，则y ＝t 2(6－t )2. ∵1≤x ≤64，∴0≤log 2x ＝t ≤6，t (6－t )≥0. 当t ＝3时，t (6－t )取最大值9， ∴y 的最大值为81.18．(14分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)证明函数f (x )是R 上的增函数； (2)求函数f (x )的值域；(3)令g (x )＝xf (x )，判定函数g (x )的奇偶性，并证明．解：(1)证明：f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.设x 1，x 2是R 内任意两个值，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1) ＝22x 1＋1－22x 2＋1 ＝2·2x 2－2·2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 当x 1＜x 2时，2x 1＜2x 2，∴2x 2－2x 1＞0. 又2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴y 2－y 1＞0，∴f (x )是R 上的增函数．(5分) (2)f (x )＝1－22x ＋1.∵2x＋1＞1，∴0＜22x ＋1＜2，即－2＜－22x ＋1＜0，∴－1＜1－22x ＋1＜1.∴f (x )的值域为(－1,1)．(10分)(3)由题意知g (x )＝x f (x )＝2x＋12x －1·x ，易知函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (－x )＝(－x )·2－x ＋12－x －1＝(－x )·1＋2x 1－2x ＝x ·2x ＋12x －1＝g (x )，∴函数g (x )为偶函数．(14分)。

人教B 版必修一第三章基本初等函数（Ⅰ）综合测试题一、单选题1．已知()()3545log log log log 0a b ==，则ab的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．5D ．152．函数()()lg 31f x x =+的定义域是（ ） A ．13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，C ．113⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()1+∞， 3．在函数①1y x=，②33y x =， ③21y x =+， ④1y =， ⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是（ ） A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥4．已知()32xf x =+，则()3log 2f -= （ ） A ．0B ．32C ．52D ．45．函数()22()1x f x a -=+恒过定点（ ） A ．（-1,2）B ．（1,-2）C ．（1,2）D ．（-1,-2）6．若20.52log [log (log )]0x =，则x 的值是（ ）AB ．2C ．12D ．17．设1ln 3a =，0.32b =，213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞10．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断11．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当2(]0,x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =--，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．[5,2]--C ．[2，3]D ．[]5,3--12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：35]4[--．＝，[]2.12＝，已知函数21()12xx e f x e =++，()[()]g x f x =，则下列叙述正确的是（ ）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数 1⎛⎫二、填空题13．若f (x )＝1132,(,1],32,(1,),x x x x --⎧-∈-∞⎨-∈+∞⎩则f (x )的值域为________．14．函数()()x 8log 23a f x =+-()01a a >≠，的图象恒过定点_________. 15．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()12120f x f x x x ->-，()12x x ≠，若对x ∀∈R ，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2log 3f =______．16．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③若1log 12a >，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()xy x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.三、解答题17．已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x的增大而减小. （1）求m 值. （2）若满足()()22132m ma a +<-，求a 的取值范围.18．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0． （1）求a ，b 的值； （2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22xy g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．19．已知函数f （x ）＝log a （x 2﹣x +1）（a ＞0且a ≠1）（1）当a 变化时，函数y ＝f （x ）的图象恒过定点，试求定点坐标； （2）若f （2）＝12，求a 的值； （3）若f （x ）在区间[0，2]上的最大值为2，求a 的值．20．设f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1）且f （1）＝2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域； （2）求f （x ）的单调增区间.21．已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+． （1）当5a =-时，解关于x 的不等式f （x ）＞0； （2）设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a 的取值范围．22．已知函数3()3x x af x b+=+，且f (x )是定义域为R 的奇函数.（1）求a 和b 的值，并判断f (x )的单调性（只用写结论）；（2）若对任意实数m ，不等式f (m -1)+f (m 2+t )≥0恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据1的对数为0,底数的对数为1可得,a b 的值,再求ab可得答案. 【详解】由()35log log 0a =得5log 1a =，得5a =， 由()45log log 0b =得5log 1b =，得5b =， 故1ab=. 故选:A. 【点睛】本题考查了对数的性质, 1的对数为0,底数的对数为1是两个常用性质,一定要牢记,属于基础题 2．D 【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零列不等式组，解出即可. 【详解】解：由已知得10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得：1x >，故选：D. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域，一般根据以下几个方面列不等式：分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零. 3．B 【分析】由题意利用幂函数的定义：幂函数是形如,)(y x R 为常数 的函数，逐一判断得出结论． 【详解】解：根据幂函数的定义：幂函数是形如,)(y x R 为常数 的函数。

本章测评(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集I ＝R ，集合M ＝{y |y ＝2|x |，x ∈R }，N ＝{x |y ＝lg(3－x )}，则(I M )∩N 等于( ) A ．(－∞，1) B ．[1,3) C ．[3，＋∞) D ．2设函数f (x )＝log 2(4－x 2)，下列命题中正确的是 …( ) A ．f (x )有最小值4，无最大值 B ．f (x )有最小值2，无最大值 C ．f (x )无最小值，有最大值2 D ．f (x )无最小值，有最大值23设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是…( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a4某人2008年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2011年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )3元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x 3)元5为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移3个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移3个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移3个单位，再向下平移1个单位6已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )7已知a ＝log 23，那么log 38－2log 29用a 表示为( )A ．－aB ．－1a C.3a －4a D.3a －2a 28幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是 ( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤9函数f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定10设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11若f (2x )＝log 3(7－x )，则f (14)＝__________.12已知函数f (x )＝log 12x ，则方程f －1(x )＝4的解x ＝__________.13函数f (x )＝log a (x －3)＋2无论a 取什么值时，恒过定点__________．14已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，f (x ＋2)，x <1，则f (log 232)＝__________.15如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆形纸板P 2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8分)不用计算器求下列各式的值： (1)(214)12－(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2；(2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 17(10分)已知函数f (x )＝2＋log 3x (181≤x ≤9)，求函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值和最小值．18(10分)科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的碳14含量P ；(2)湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．19(12分)对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并说明理由．参考答案1解析：由M ＝{y |y ≥1}，N ＝{x |x ＜3}，I M ＝{y |y ＜1}，所以(I M )∩N ＝{x |x ＜1}． 答案：A 2答案：C3解析：∵a ＞1，∴log 0.2a ＜0,0.2a ∈(0,1)，a 0.2＞1. 答案：B4解析：若2009年7月1日取款，有a (1＋x )元； 若2010年7月1日取款，有a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2元； 若2011年7月1日取款，有a (1＋x )2(1＋x )＝a (1＋x )3元． 答案：A5解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴只需把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到y ＝lg x ＋310的图象．答案：C6解析：由题意可知a ∈(0,1)，b ＜－1， ∴结合选项易判断只有A 符合． 答案：A7解析：log 38－2log 29＝3log 32－4log 23＝3log 23－4log 23＝3a －4a .答案：C8解析：对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，在区间(0,1)上，其图象在直线y ＝x 的上方，在区间(1，＋∞)上，其图象在直线y ＝x 的下方，且图象经过点(1,1)．∴y ＝x 12的图象经过①⑤两个“卦限”．答案：D9解析：由f (x )为偶函数得b ＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴0＜a ＜1.∴b －2＝－2,1＜a ＋1＜2. ∴|b －2|＞|a ＋1|＞0. ∴f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C10解析：函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图易知 f (x )≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案：D11解析：∵f (14)＝f (2－2)，∴f (14)＝log 3[7－(－2)]＝log 39＝2.答案：212解析：根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得x ＝f (4)＝log 124＝－2，∴方程f －1(x )＝4的解为x ＝－2.答案：－213解析：由y ＝log a x 过定点(1,0)可知y ＝log a (x －3)过定点(4,0)， ∴f (x )＝log a (x －3)＋2过定点(4,2)． 答案：(4,2)14解析：f (log 232)＝f (log 232＋2)＝f (log 232＋log 24)＝f (log 26)＝2log 26＝6. 答案：615解析：由已知可得r 1＝(12)0，r 2＝(12)1，r 3＝(12)2，r 4＝(12)3，依次类推，r n ＝(12)n －1.答案：(12)n －116解：(1)原式＝(94)12－1－(278)－23＋(32)－2＝(32)2×12－1－(32)－3×23＋(32)－2. ＝32－1－(32)－2＋(32)－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.17解：g (x )＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[181，9]，∴⎩⎨⎧181≤x ≤9，181≤x 2≤9，解得⎩⎨⎧181≤x ≤9，－3≤x ≤－19，或19≤x ≤3.∴19≤x ≤3，即g (x )的定义域为[19，3]． ∴－2≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝－2，即x ＝19时，[g (x )]min ＝－2；当log 3x ＝1，即x ＝3时，[g (x )]max ＝13.18解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系：因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝x t .由于大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730，于是x ＝(12)15 730，这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝(12)t5 730.(2)由对数与指数的关系，指数式P ＝(12)t 5 730可写成对数式t ＝5 730log 12P .湖南长沙马王堆女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5 730log 120.767，由计算器可得t ≈2 193.所以马王堆古墓约是2 100多年前的遗址． 19解：(1)取x 1＝x 2＝0，可得f (0)≥f (0)＋ff (0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．理由如下：显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．。

第三章 基本初等函数(1)一、选择题．1．对数式log (2＋3)的值是( )． A ．－1B ．0C ．1D ．不存在2．函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3a x －1在［0，1］上的最大值是( )．A ．6B ．1C ．3D ．233．函数y ＝a x －2＋1(a ＞0，a ≠1)的图象必经过点( )． A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，0)D ．(2，2)4．设f (x )＝(21)|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )． A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数5．设a ＞0，a ≠1，函数y ＝lo g a x 的反函数和y ＝lo g a x 1的反函数的图象关于( )．A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称6．函数y ＝log a (1－x 1)的定义域为( )． A ．{x | x ＜0}B ．{x |x ＞1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＜0或x ＞1}7．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)8．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )． A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜032 (第8题)9．如图是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取 ±2，±21四值. 则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )．A ．－2，－21，21，2B ．2，21，－21，－2C ．－21，－2，2，21D ．2，21，－2，－2110．若函数f (x )＝121+x ，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值二、填空题．1．函数y ＝－2－x 的图象一定过____象限．2．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则a 的取值范围是_________． 3．函数f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是 ．4．函数y ＝3 是增函数的区间是 ．5．函数y ＝)2(log 121x -的定义域是 ．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f (x )＝lo g 3(1＋x )，则f (－2)＝_____． 三、解答题．1．如果函数 y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)在区间［－1，1］上最大值为14，求a 的值．2．求函数y ＝123-x 的定义域及单调递增区间．(第9题)254x x --3．不等式x 2－log m x ＜0在(0，21)内恒成立，求实数m 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x23212++-p p (p ∈Z )在(0，＋∞)上是增函数，且在其定义域上是偶函数. 求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．参考答案一、选择题． 1． A【解析】log 32-(2＋3)＝log 32-(2－3)－1＝－1． 2．C【解析】由于函数y ＝a x 在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝13-x a 在［0，1］上是单调递增函数，最大值当 x ＝1时取到，即为3．3．D【解析】由于函数y ＝a x 经过定点(0，1)，所以函数y ＝a x －2经过定点(2，1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2，2)．4．D【解析】因为函数 f (x )＝(21|x | )＝⎪⎩⎪⎨⎧ ，图象如下图．由图象可知答案显然是D ． 5．B【解析】解法一：y ＝log a x 的反函数为y ＝a x ，而y ＝log a x1的反函数为y ＝a －x ，因此，它们关于 y 轴对称．解法二：因为两个原函数的图象关于x 轴对称，而互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称，因此y ＝log a x 的反函数和y ＝log ax1的反函数的图象关于y 轴对称． 6．D【解析】由题意，得1－x 1＞000x x x-->⇔>x 1-＞0，∴x ＜0或x ＞1．7．C【解析】∵0＜a ＜1，f (x )＜0，∴a 2x －2a x －2＞1，解得a x ＞3或a x ＜－1(舍去)， ∴x ＜log a 3．8．D(第4题)(21)x(x ≥0)2x (x ＜0)【解析】从曲线走向可知0＜a ＜1，从曲线位置看，是由y ＝a x (0＜a ＜1)向左平移|－b |个单位而得到，故－b ＞0，即b ＜0．9．B【解析】在第一象限，在直线x ＝1的右侧，逆时针方向幂指数是由小到大，由负到正．观察x ＞1时图象，可知C 1，C 2，C 3，C 4对应的n 依次从大到小. 10．A【解析】由于2x ＋1在(－∞，＋∞)上大于0单调递增，所以f (x )＝121+x 单调递减，(－∞，＋∞)是开区间，所以最小值无法取到． 二、填空题． 1．三、四【解析】y ＝－2－x ＝－(21)x ，它可以看作是指数函数y ＝(21)x 的图象作关于x 轴对称的变换，因此一定过第三象限和第四象限．2．a ＞2或a ＜－2【解析】所给函数为指数函数f (x )＝A x ，由指数函数的性质结合图象可以得到A ＞1， 即a 2－1＞1，解得a ＞2或a ＜－2．3．(1，2)∪(－2，－1)【解析】由已知得0＜a 2－1＜1，即1＜a 2＜2． 4．(－∞，－25) 【解析】即求二次函数y ＝4－5x －x 2的增区间．5．{x |1＜x ＜2}【解析】x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧--0＞20 )＞(2log 21x x 即⎩⎨⎧--0＞21＜2x x 解得1＜x ＜2．故函数的定义域为{x |1＜x ＜2}． 6．－1【解析】因为x ≥0时，f (x )＝log 3(1＋x )，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，设(第9题)(第4题)x ＜0，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 3(1－x )，所以f (－2)＝－log 33＝－1．三、解答题．1．a ＝3或31【解析】令 t ＝a x ，y ＝t 2＋2t －1 ∵t ＞0，且y (t )在(0，＋∞)上单调递增，解方程t 2＋2t －1＝14得正根为t ＝3．当a ＞1时，a 1＝3，a ＝3；当 0＜a ＜1时， a -1＝3，a ＝312．定义域为x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)；单调递增区间为[1，＋∞)． 【解析】要使函数有意义必须x 2－1≥0，∴x ≤－1或x ≥1，定义域为x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．令u ＝12-x ，则y ＝3u .由于y ＝3u 是增函数，故只须求u ＝12-x 的递增区间即可，当x ∈[1，＋∞)，u ＝12-x 单调递增，故y ＝123-x 的单调递增区间为[1，＋∞)．3．[161，1) 【解析】由x 2－log m x ＜0得x 2＜log m x ．在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的图象，要使x 2＜log m x 在(0，21)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，21)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0＜m ＜1， ∵x ＝21时y ＝x 2＝41， ∴只要x ＝21时y ＝log m 21≥41＝log m m 41．∴21≤m 41，即161≤m ， 又0＜m ＜1，∴161≤m ＜1．故所求m 的取值范围是[161，1)． (第3题)4．p ＝1，f (x )＝x 2【解析】①若y ＝x在x ∈(0，＋∞)上是递增函数，则有α＞0． ∵ f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－21p 2＋p ＋23＞0． 解得：－1＜p ＜3，而p ∈Z ， ∴ p ＝0，1，2．当p ＝0或2时，f (x )＝x 23不是偶函数，故p ＝1，此时f (x )＝x 2．。