时间序列分析方法第章谱分析

时间序列分析方法第章谱分析This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。

这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。

在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。

如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。

我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。

对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。

§ 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。

6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。

将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。

利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性，可以得到：假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。

由于对任意k π2，有：)()2(ωπωY Y s k s =+，因此)(ωY s 是周期函数，如果我们知道了],0[π内的所有)(ωY s 的值，我们可以获得任意ω时的)(ωY s 值。

§ 不同过程下母体谱的计算假设随机过程+∞∞-}{t Y 服从)(∞MA 过程：这里：∑∞==0)(j j j L L ψψ，∑∞=∞<0||j j ψ，⎩⎨⎧≠==t s t s E s t ,0,)(2σεε 根据前面关于)(∞MA 过程自协方差生成函数的推导：因此得到)(∞MA 过程的母体谱为：例如，对白噪声过程而言，1)(=z ψ，这时它的母体谱函数是常数：下面我们考虑)1(MA 过程，此时：z z θψ+=1)(，则母体谱为：可以化简成为：显然，当0>θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数；当0<θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数。

对)1(AR 过程而言，有：这时只要1||<φ，则有：)1/(1)(z z φψ-=，因此谱函数为：该谱函数的性质为：当0>φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数；当0<φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数。

一般地，对),(q p ARMA 过程而言：则母体谱函数为：如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：则母体谱函数可以表示为：从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列+∞∞-}{j γ，原则上我们就可以计算出任意ω的谱函数)(ωY s 的数值。

反过来也是对的：如果对所有在],0[π内的ω，已知谱函数)(ωY s 的数值，则对任意给定的整数k ，我们也能够计算k 阶自协方差k γ。

这意味着母体谱函数)(ωY s 和自协方差序列+∞∞-}{j γ包含着相同的信息。

其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。

下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题 假设+∞∞-}{j γ是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关系为：上述公式也可以等价地表示为：利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。

解释母体谱函数假设0=k ，则利用命题可以得到时间序列的方差，即0γ，计算公式为：根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[ππ-内的面积就是0γ，也就是过程的方差。

更一般的，由于谱函数)(ωY s 是非负的，对任意],0[1πω∈，如果我们能够计算： 这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为t Y 的方差中与频率的绝对值小于1ω的成分相关的部分。

注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：这个积分表示频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献。

但是，频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献意味着什么为了探索这个问题，我们考虑更为特殊一些的时间序列模型：这里j α和j δ是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t ，有0=t EY 。

进一步假设序列Mj j 1}{=α和M j j 1}{=δ是序列不相关和相互不相关的：⎪⎩⎪⎨⎧≠==k j k j E j k j ,0,)(2σαα，⎪⎩⎪⎨⎧≠==k j k j E j k j ,0,)(2σδδ0)(=k j E δα，对所有的j 和k这时t Y 的方差是：因此，对这个过程来说，具有频率j ω的周期成分对t Y 的方差的贡献部分是2j σ。

如果频率是有顺序的：πωωω<<<<<M 210，则t Y 的方差中由频率小于或者等于j ω的周期形成的部分是：22221j σσσ+++ 。

这种情形下t Y 的k 阶自协方差为：因为过程}{t Y 的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。

但是，可以验证此时的自协方差序列∞=0}{k k γ不是绝对可加的。

虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。

对于一般的情形，着名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。

对任意给定的固定频率],0[πω∈，我们定义随机变量)(ωα和)(ωδ，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：这里需要对随机变量)(ωα和)(ωδ的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。

§ 样本周期图 Sample Periodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程}{t Y ，我们已经定义在频率ω处的谱函数值为：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)(，)])([(μμγ--≡-j t t j Y Y E 注意到母体谱是利用+∞=0}{j j γ表示的，而+∞=0}{j j γ表示的是母体的二阶矩性质。

给定由T y y y ,,,21 表示的T 个样本，我们可以利用下述公式计算直到)1(-T 阶的样本自协方差：⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=---=-+=--∑1,,2,1,ˆ1,,1,0,))(()(ˆ11T j T j y y y y j T j T j t j t t j γγ，∑==T t t y T y 11 对于给定的ω，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为样本周期图： 样本周期图也可以表示成为如下形式：类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。

我们将要说明，对于平稳过程的任意一个容量为T 的观测值序列T y y y ,,,21 ，存在频率M ωωω,,,21 和系数μˆ，M αααˆ,,ˆ,ˆ21 ，Mδδδˆ,,ˆ,ˆ21 使得t 期的y 值可以表示成为：其中：当k j ≠时，)]1(cos[ˆ-t j j ωα与)]1(cos[ˆ-t k k ωα不相关； 当k j ≠时，)]1(sin[ˆ-t jj ωδ与)]1(sin[ˆ-t k k ωδ不相关； 对于所有的j 和k ，)]1(cos[ˆ-t j j ωα与)]1(sin[ˆ-t kk ωδ不相关。

y 的样本方差是∑=--Tt t y y T 121)(，该方差中可以归因于频率为j ω的周期成分的部分由样本周期图)(j Y s ω给出。

我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。

这时t y 可以表示成为由2/)1(-≡T M 个不同频率构成的周期函数，频率M ωωω,,,21 如下：T πω21=，T πω42=，……，TM M πω2= 因此最高频率为：我们考虑t y 基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：将这个回归方程表示成为下述方式：其中：11{1,cos[(1)],sin[(1)],,cos[(1)],sin[(1)]}t M M t t t t ωωωω'=----x ，这是一个具有T M =+)12(个解释变量的回归方程，因此解释变量与观测值是一样多的。

我们将证明解释变量之间是线性无关的，这意味着t y 基于t x 回归的OLS 估计具有惟一解。

该回归方程的系数具有显着的统计意义：2/)ˆˆ(22j j δα+表示t y 中可以归因于频率j ω的周期成分的那部分。

这就是说，任意观测到的序列T y y y ,,,21 ，它都可以利用上述周期函数形式表示，并且不同频率的周期成分对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。

命题 假设样本容量是奇数，定义2/)1(-≡T M ，并设定T i j /2πω=，M j ,,2,1 =，假设解释变量为：则有：进一步，假设T y y y ,,,21 是任意T 个实数，则下述推断成立：(a) 过程t y 可以表示为：这里：y =μˆ，∑=-=T t j t j t y T 1)]1(cos[2ˆωα，∑=-=T t j t j t y T 1)]1(sin[2ˆωδ (b) t y 的样本方差可以表示为：样本方差可以归因于频率为j ω的周期成分的部分为2/)ˆˆ(22j j δα+。

(c) t y 的样本方差中可以归因于频率为j ω的周期成分的部分还可以表示为：其中)(ˆj y sω是样本周期图在频率j ω处的值。