下载文档原格式
第 4 章谱分析方法§1 绪论一．时间序列模型：通过分析自相关就获得描述与预测时间序列可能够用模型的第一印象。
如 y t - f y t- 1 = a t 这里 y t 与 y t- 1相关性较大，而与 y t- 2 相关较弱，为什么？二．分析时间序列的两种方法频谱法，时间序列法-Box Jenkins 方法三．时间序列模型的五个特征(最重要的)描述趋势有多种方法1．趋势y t = a + dt+ m t t = 1,2, , n 确定性趋势y t - y t- 1 = d+ m t - m t- 1 随机趋势2．季节性： y t- y t-1= a1D1,t+a2D2,t+...+a s D s,t+ m t t = 1,2, ............... , nD s,t 是季节哑变量，定义为T= 1,2, .. , ND s,t=1，t=(T- 1)S+s， S = 1,2,..., SD s,t = 0 其它3．异常观测值异常观测值：在时间序列中，可能有一个或几个点，会对时间序列的建模与预测起到重要的作用。
这样的数据点称为奇异观测值。
4．条件异方差异常观测值倾向于成群出现，这个现象称为波动性集聚( vilatility clustering ) 条件异方差22(y t- y t-1) =a+r(y t-1- y t-2) +m t t= 3,4,..., n5．非线性：状态依赖——机制转换特征§2 谱分析一．时间序列分析的方法1 时序分析方法：也就是时序建模方法，ARMA 等，也就是原序列的时间顺序不变。
2 频谱建模方法：单变量频谱建模技术就是时间序列看作是有不同频率的正弦和余弦波组成。
其基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期(频率)分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。
做法：对某个时间序列剔除趋势和季节因素后的循环项(平稳)进行谱估计，根据估计出的普密度函数，找出序列中的主要频率分量，从而把 握该序列的周期波动特征。
统计学中的时间序列分解与周期性分析时间序列分解与周期性分析是统计学中的重要概念，它们可以帮助我们理解和预测时间序列数据中的趋势、季节性和周期性变化。
通过对时间序列数据进行分解和分析，我们可以揭示出隐藏在数据背后的规律和模式，为决策提供依据。
本文将介绍时间序列分解和周期性分析的基本原理和方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
1. 时间序列分解的基本原理时间序列是按照时间顺序排列的数据序列，它可以包含多种类型的变化，包括趋势、季节性、周期性和随机性等。
时间序列分解的基本原理是将总体时间序列分解为趋势、季节性和残差三个部分，以揭示出各个成分的变化规律。
1.1 趋势分析趋势分析是时间序列分解的第一步，它用于捕捉时间序列中的长期趋势。
常用的趋势分析方法包括移动平均法、指数平滑法和回归分析等。
移动平均法是一种简单有效的趋势分析方法，它通过计算一定时期内的观测值平均值来揭示出数据的长期趋势。
指数平滑法则是通过给予不同时期的权重来预测未来的趋势，它适用于数据变化较为平稳的情况。
回归分析则可以利用自变量来建立与时间序列相关的回归模型，以预测未来的趋势。
1.2 季节性分析季节性分析是时间序列分解的第二步，它用于捕捉时间序列中的季节性变化。
常用的季节性分析方法包括季节指数法、X-11法和结构分解法等。
季节指数法是一种常用的季节性分析方法，它通过计算不同季节中观测值相对于平均观测值的比例来揭示季节性变化的规律。
X-11法则是一种统计方法，可以识别并调整季节性因素对时间序列的影响。
结构分解法则是一种常用的多元时间序列分析方法，它能够同时考虑趋势、周期性和季节性等因素。
1.3 残差分析残差分析是时间序列分解的最后一步，它用于捕捉时间序列中的随机性变化。
残差是指由于趋势、季节性和周期性等因素无法解释的部分，通过对残差序列的分析，我们可以判断模型是否合适以及是否存在其他影响因素。
常用的残差分析方法包括平稳性检验、自相关函数分析和偏自相关函数分析等。
时间序列分析方法第章谱分析HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§ 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质 假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
时间序列分析方法概述时间序列分析是一种研究时间相关数据的统计方法，它涉及分析数据在一段时间内的趋势和模式，以便预测未来的发展。
时间序列分析方法可应用于各种领域，如经济学、金融学、气象学和市场调研等。
时间序列分析方法的基本步骤包括数据收集、数据预处理、模型选择、参数估计和模型评估。
首先，需要收集时间序列数据，这可以是按照时间顺序排列的一系列观测值，如月度销售额、每日气温或股票价格等。
然后需要对数据进行预处理，如去除异常值、填补缺失值和平滑数据等，以确保数据的可靠性和一致性。
在模型选择阶段，需要根据数据的性质和特征选择适当的时间序列模型。
常用的模型包括平稳ARMA模型、非平稳ARIMA模型、季节性模型和ARCH/GARCH模型等。
平稳ARMA模型适用于平稳数据，可以描述数据的自相关结构和噪声。
非平稳ARIMA模型可以处理非平稳数据，并考虑差分操作来提高平稳性。
季节性模型适用于具有季节性变动的数据，并通过季节性差分操作来消除季节性成分。
ARCH/GARCH模型则用于建模数据的波动性和条件异方差性。
在参数估计阶段，需要使用最大似然估计法或最小二乘法等统计方法来估计模型的参数。
这些参数对于分析和预测时间序列数据非常关键，因为它们决定了模型的准确度和可靠性。
最后，在模型评估阶段，需要使用残差分析、模型诊断和模型比较等方法来评估选定模型的拟合优度和质量。
如果模型拟合不好，则需要对模型进行修改和改进。
时间序列分析方法在预测未来的趋势和模式方面具有广泛的应用。
例如，经济学家可以使用时间序列分析方法来预测国内生产总值（GDP）、通货膨胀率和失业率等经济指标。
金融学家可以利用时间序列分析方法来预测股票价格、汇率和利率等金融变量。
气象学家可以使用时间序列分析方法来预测气温、降水量和风速等气象数据。
市场调研人员可以利用时间序列分析方法来预测销售额、用户行为和市场趋势等。
总之，时间序列分析是一种基于统计方法的数据分析技术，可用于研究历史数据的趋势和模式，并预测未来的发展。
时序预测中的时间序列分解方法介绍时序预测是指根据历史数据的趋势和周期性，对未来的数据进行预测。
时间序列分解方法是一种常用的时序预测方法，通过将时间序列数据拆分成趋势、季节性和随机成分来进行预测。
本文将介绍时间序列分解方法的基本原理和常见的应用场景。
一、时间序列分解方法的基本原理时间序列分解方法的基本原理是将时间序列数据拆分成趋势、季节性和随机成分三个部分。
趋势成分反映了数据的长期趋势变化，季节性成分反映了数据的周期性变化，而随机成分则是数据中的随机波动部分。
通过对这三个成分进行分解，可以更好地理解数据的规律和特点，从而进行准确的预测。
时间序列分解方法的常见模型包括加法分解模型和乘法分解模型。
加法分解模型适用于季节性波动相对稳定的时间序列数据，而乘法分解模型适用于季节性波动随趋势变化而变化的时间序列数据。
两种模型的基本原理相似，只是对季节性成分的处理方式有所不同。
二、时间序列分解方法的应用场景时间序列分解方法适用于各种领域的时序数据预测，包括经济、金融、气象、交通等。
以经济数据为例，通常可以通过时间序列分解方法来预测未来的经济走势。
通过分解出趋势、季节性和随机成分，可以更好地把握经济数据的发展规律，为政府和企业的决策提供参考依据。
在金融领域，时间序列分解方法也有着重要的应用价值。
通过对股票和期货等金融数据进行分解，可以更好地理解市场的波动规律，从而进行更准确的投资决策。
此外，时间序列分解方法还可以应用于气象数据的预测、交通流量的预测等领域。
三、时间序列分解方法的实现方式时间序列分解方法的实现方式通常包括两种：基于统计模型和基于机器学习模型。
基于统计模型的实现方式包括传统的统计方法，如移动平均法、指数平滑法等。
这些方法通常依赖于对数据特征的假设，需要对数据具有一定的了解和分析能力。
而基于机器学习模型的实现方式则更加灵活和高效。
通过构建时间序列预测模型，可以更好地发现数据中的规律和特点，从而进行更准确的预测。
第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)exp (ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：利用三角函数的奇偶性，可以得到：假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
时间序列分析法概述时间序列分析是指对时间序列数据进行统计建模和预测的一种方法。
时间序列数据是指按照一定时间顺序排列的数据，通常是在相等时间间隔下连续观测到的数据。
时间序列分析的目的是从数据中发现特定模式或趋势，并利用这些模式和趋势进行预测。
它通常用于经济学、金融学、气象学等领域，例如股票价格预测、销售量预测、天气预测等等。
时间序列分析方法主要包括以下几个步骤：1. 数据处理：首先需要对时间序列数据进行预处理，包括去除趋势、季节性和不稳定性等因素，以使数据满足稳定性和平稳性的假设。
这通常可以通过差分、平滑和变换等方式来实现。
2. 模型选择：根据时间序列数据的特性，选择合适的模型来进行建模和预测。
常用的模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
模型的选择通常需要借助统计指标和图形分析的方法来确定。
3. 参数估计：在选择好模型之后，需要对模型的参数进行估计。
参数估计可以通过最大似然估计、最小二乘估计或贝叶斯估计等方法来实现。
估计得到的参数可以用于模型的建立和预测。
4. 模型诊断：对模型进行诊断，检查模型是否符合数据的统计特性和假设。
常用的诊断方法包括自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析，以及白噪声检验等。
如果模型存在问题，则需要对模型进行修正或调整。
5. 模型预测：根据已经估计好的模型和参数，对未来的数据进行预测。
预测可以基于滚动窗口逐步预测，也可以直接进行多步预测。
常用的预测方法包括常规预测、指数平滑预测和季节性预测等。
总的来说，时间序列分析是一种基于时间序列数据的统计建模和预测方法。
通过对时间序列数据进行处理、模型选择、参数估计、模型诊断和模型预测等步骤，可以得到对未来数据的预测结果，并用于决策和规划。
然而，需要注意的是，时间序列分析方法需要满足一定的数据假设和模型假设，以及对模型的合理性和可靠性进行评估。
时间序列的预处理与分析一、时间序列的预处理步骤1. 数据清洗：首先，我们需要对时间序列数据进行清洗，去除可能存在的异常值、缺失值和异常数据。
异常值可以通过异常检测方法识别和处理，缺失值可以通过插值方法填补。
2. 数据转换：有时候，时间序列数据在原始尺度上的波动很大，难以进行分析。
这时，我们需要进行数据转换，常见的方法有对数变换、差分变换和平滑变换等，以使数据更平稳或更趋于正态分布。
3. 数据平滑：平滑是一种常用的数据预处理方法，可以消除噪声和随机波动，揭示时间序列的长期趋势。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
4. 季节性调整：如果时间序列数据存在季节性变化，那么我们需要进行季节性调整。
常见的方法有季节差分法、季节指数法和回归模型法等，以便更好地分析和预测数据。
5. 数据分解：有时候，时间序列数据可能包含趋势、季节性和残差三个成分，我们需要将其分解出来，分别进行分析和建模。
分解方法有经典分解法和小波分解法等。
二、时间序列的分析方法1. 描述统计分析：描述统计分析是时间序列分析的基础，可以通过计算均值、方差、相关系数和自相关系数等指标，揭示数据的基本特征和变化规律。
2. 自相关分析：自相关分析是一种常用的时间序列分析方法，可以识别和度量数据内部存在的自相关关系。
自相关系数图和自相关函数图可以帮助我们判断数据是否存在自相关性，并确定合适的滞后阶数。
3. 谱分析：谱分析是一种用于分析时间序列数据频率特征的方法，可以揭示时间序列数据随时间变化的周期和频率成分。
常见的谱分析方法有周期图、功率谱图和谱密度图等。
4. ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列建模方法，包括自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分。
通过对时间序列数据进行模型识别、参数估计和模型检验，可以进行预测和预测误差分析。
5. 指数平滑模型：指数平滑模型是一种简单且有效的时间序列预测方法，常用于对平稳或趋势性变化的数据进行预测。
时间序列的分解分析一、时间序列分解分析的原理时间序列分解分析的原理是基于时间序列数据的两个基本特征：长期趋势和短期季节变动。
长期趋势是指时间序列数据在长期内呈现的整体上升或下降趋势，而短期季节变动则是指时间序列数据在每个季节内的周期性变动。
时间序列分解分析将时间序列数据分解成长期趋势、季节性、循环和随机成分，以便更好地理解和分析时间序列数据。
二、时间序列分解分析的步骤时间序列分解分析的步骤通常包括以下几个步骤：数据获取、数据处理、分解分析、模型建立和预测。
1. 数据获取：从相应的数据源获取需要分析的时间序列数据。
对于涉及的时间序列数据，通常需要有一定的历史数据，以便进行分析和建模。
2. 数据处理：对获取的时间序列数据进行数据处理，例如数据清洗、缺失值填补、异常值处理等。
这一步骤的目的是确保数据的准确性和完整性。
3. 分解分析：对经过数据处理的时间序列数据进行分解分析。
通常使用的方法有移动平均法、指数平滑法和加法模型等。
这些方法可以将时间序列数据分解成长期趋势、季节性、循环和随机成分。
4. 模型建立：基于分解分析的结果，建立合适的模型。
常用的模型有ARIMA模型、指数平滑模型、回归分析等。
模型的选择需要根据具体的时间序列数据和分析目的来确定。
5. 预测：利用建立的模型对未来的时间序列数据进行预测。
根据建立的模型，可以得到未来一段时间内的长期趋势、季节性、循环和随机成分的预测值，从而提供决策参考。
三、实例分析为了更好地理解时间序列分解分析的步骤和应用，我们以某公司销售额数据为例进行分析。
假设该公司的销售额数据具有长期增长趋势和季节性变动。
1. 数据获取：从公司的销售系统中获取过去几年的销售额数据，包括每个月的销售额。
2. 数据处理：对获取的销售额数据进行数据清洗，排除异常值和缺失值。
3. 分解分析：利用加法模型对销售额数据进行分解分析。
加法模型将销售额数据分解成长期趋势、季节性、循环和随机成分。
通过分析过去几年的销售额数据，可以得到相应的分解结果。
时间序列分析时间序列数据的特点是观测值之间存在时间上的依赖关系，即一个观测值的取值可能与之前的多个观测值存在相关性。
时间序列分析主要考虑以下几个方面：1. 趋势分析：时间序列数据中存在的长期增长或下降趋势可以通过趋势分析来判断。
趋势分析可以采用移动平均法、指数平滑法等方法来拟合趋势线，从而预测未来的趋势。
2. 季节性分析：时间序列数据中的季节性波动是一种按照固定的季节循环出现的规律变动。
季节性分析可以通过季节性指数、分解法等方法来对季节性波动进行分析和预测。
3. 周期性分析：周期性是指时间序列数据中存在的较长周期的波动。
周期性分析可以通过傅里叶分析、自相关函数等方法来分析和预测周期性波动。
4. 随机性分析：时间序列数据中的随机变动是指除趋势、季节性、周期性之外的不可预测的波动。
随机性分析可以通过残差项的分析来判断数据中是否存在随机波动。
时间序列分析的方法包括统计方法和经典时间序列分析方法。
统计方法主要包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
经典时间序列分析方法主要包括指数平滑法、趋势法、季节性指数法等。
时间序列分析的应用领域广泛。
在经济学中，时间序列分析可以用来预测经济指标的变动趋势，为政府决策提供依据。
在金融学中，时间序列分析可以用来预测股市的走势，帮助投资者制定投资策略。
在气象学中，时间序列分析可以用来预测天气变化，为农民和旅行者提供参考。
在医学中，时间序列分析可以用来预测疾病的传播趋势，为疾病防控提供支持。
然而，时间序列分析也存在一些挑战和限制。
首先，时间序列数据的质量和可靠性对分析结果的影响很大，因此数据的采集、清洗和处理是很重要的。
其次，时间序列数据的非线性和非平稳性使得分析方法的选择和应用更为复杂。
此外，时间序列数据同时受到多种因素的影响，如外部环境、政策变化等，这些因素需要合理地加以考虑。
总的来说，时间序列分析是一种重要的统计分析方法，可以用来揭示时间序列数据内部的潜在规律和特征，并通过对过去数据的观察和分析来预测未来的趋势。
时间序列分析法概述时间序列分析(Time Series Analysis)是一种对时间序列数据进行统计分析和预测的方法。
时间序列数据是以时间顺序排列的、按一定时间间隔收集到的一系列数据观测值。
时间序列分析通过对过去的数据进行分析，揭示出数据内部的规律和变化趋势，从而对未来的数据进行预测和模拟。
时间序列分析方法广泛应用于经济学、金融学、工程学、气象学等领域，可以用于分析和预测股票价格、销售数据、气温变化等各种现象。
时间序列分析方法包括描述性统计分析、平稳性检验、自相关与偏相关分析、谱分析、移动平均模型和自回归模型等。
描述性统计分析是时间序列分析的起点，其目的是对时间序列数据的基本特征进行描述和总结。
描述性统计分析通常包括计算数据的均值、方差、极值等指标，以及绘制数据的线图、直方图等图形。
通过对描述性统计分析的结果进行观察和比较，可以初步了解数据的分布和趋势。
平稳性检验是时间序列分析的基础，其目的是判断时间序列数据是否具有平稳性。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，即均值和方差不随时间的变化而变化。
常用的平稳性检验方法有ADF检验和KPSS检验。
如果时间序列数据不具有平稳性，需要进行平稳化处理，以满足时间序列分析的前提条件。
自相关与偏相关分析是时间序列分析中的重要内容，其目的是研究时间序列数据之间的相关性和连接性。
自相关是指时间序列数据与其在不同时间点上的滞后值之间的相关性，反映了时间序列数据的时间间隔相关性。
偏相关是在控制其他变量的影响下，研究两个时间序列数据之间的相关性。
通过自相关与偏相关分析，可以揭示时间序列数据内部的规律和关系。
谱分析是时间序列分析的重要方法之一，其目的是研究时间序列数据的频率特征和功率谱密度。
谱分析基于傅里叶变换，将时间序列数据转换到频域分析。
谱分析可以揭示时间序列数据的周期性和趋势性，为进一步的数据分析和预测提供依据。
移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，它基于过去若干个时间点的数据，预测未来一个时间点的数据。
什么是时间序列分解法时间序列分解法是数年来一直非常有用的方法,这种方法包括谱分析、时间序列分析和傅立叶级数分析等。
时间序列分解模型时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：Y= f(T t,S t,C t,I t)t时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。
加法模型为：Y t = T t + S t + C t + I t乘法模型为：时间序列的分解方法（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。
然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。
（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。
（3）计算周期因素C。
用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。
（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：时间序列的模式时间序列一般包括四类因素，长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。
四种因素的组合形式一般有以下几类, 其中记Xt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动，它总是存在着的。
1）乘法模式，其中，a) X t与T t有相同的量纲，S t为季节指数，C t为循环指数，两者皆为比例数；b)c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。
2）加法模式X t = T t + S t + C t + I t这种形式要求满足条件：a) X t，T t，S t，C t，I t均有相同的量纲；b) ,k为季节性周期长度；c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。
3) 混合模式a) X t与T t，C t，I t有相同的量纲，St是季节指数，为比例数；b)c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。
时间序列分解法试图从时间序列中区分出这四种潜在的因素，特别是长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)和循环变动因素(C)。
显然，并非每一个预测对象中都存在着T、S、C这三种趋势，可能是其中的一种或两种。
第六章谱分析Spectral Analysis到目前为止，时刻变量的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，那个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启发。
这种方法被称为在时刻域(time domain)上分析时刻序列的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时刻序列数值的方法，那个地点表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于推断不同频率的周期在解释时刻序列性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示能够描述的任何数据性质，都能够利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来讲，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设是一个具有均值的协方差平稳过程，第个自协方差为：假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j jj Y z z g γ)(那个地点z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)(注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都能够计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们能够将j i e ω-表示成为：)sin()cos(j i j e j i ωωω-=-因此，谱函数能够等价地表示成为：∑+∞-∞=-=j j Y j i j s )]sin()[cos(21)(ωωγπω注意到关于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧----++-=∑+∞=10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(j j Y j i j i j j i s ωωωωγπγπω 利用三角函数的奇偶性，能够得到：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑+∞=10)cos(221)(j jY j s ωγγπω 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则能够证明上述谱函数)(ωY s 存在，同时是ω的实值、对称、连续函数。
第六章 谱分析 S p e c t r a l A n a l y s i s到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质 假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为： 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为：注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为： 利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：∑∞=-+=0j j t jt Y εψμ我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：ωωωδωωωαμππd t d t Y t )sin()()cos()(0⎰⎰++=上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为： )])([(),cov(μμγ--==--j t t j t t jY Y E Y Y假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j j j Y z z g γ)(这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)e xp (ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j ji j i Y Y eeg s ωωγππω21)(21)(注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
