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电磁场理论课件 3-1 矢势及其微分方程

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电动力学三一(矢势及其微分方程)

电动力学三一(矢势及其微分方程)

15 8
2a2
(z2 a2
)2
取A的旋度，得
B
A z
30Ia 2z
4(z2 a2 )5/ 2
1
O
z
2
2 a
2
45
BZ
1
(
A
)
4( z 2
0I a2 a2)3/2
1
2
z2 a2
15 a2 4(z2 a2
)
3
O
2
z2 a2
2
上式对任意z处的近轴场成立。若求 近原点处的场,z<<a ，可把上式再 对z/a展开，得
]
此式的适用范围是 2Ra sin R2 a2
包括远场 R a
和近轴场 Rsin a
44
我们计算近轴场。这种情况下用柱坐
标(,,z) 较为方便。展开式实际上是
对 2 /(z2 a2 ) 的展开式。 取至3项，有
A
(
,
z)
0Ia 2
4(z2 a2 )5/
2
1
3 2
2(z2 a2
)
B
30 Iz
4a 3
BZ
0I
2a
1
3 4a
(2z2
2 )
46
磁场边值关系可以化为矢势A的边值
关值系关，系对为于非铁磁介质， 矢势的边 n ( A2 A1 ) 0
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
26
上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。
在分界面两侧取 一狭长回路，计
算A对此狭长回路
的积分。回路短 边长度趋于零
27
A dl ( A2t A1t )l

021-3第3章 静磁场-1-矢势及其微分方程

021-3第3章 静磁场-1-矢势及其微分方程

A JedV
Wi
1 2
Ae
JdV
1 2
A JedV
J AedV
₪静 电 场
4.静磁场的能量
(4) 举例应用一
例1：无限长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁 感应强度。
解：建立如图柱坐标系，由矢势方程的特解可得
A(x)
4
J(x ')dV r
'
Az
4
JdSdz R
4
I
ln
展开，有
B
30I z
4a3
Bz
0I
2a
1
3 4a2
2z2 2
₪静 电 场
谢谢聆听！
₪静 电 场
第3章
静磁场
3.1 矢势及其微分方程 1. 矢势 2. 矢势微分方程 3. 矢势边值关系 4. 静磁场能量
1.矢势
(1) 磁矢势 A 的引入
根据恒定电流磁场的基本方程
有旋性
H
J
无源性 B 0
由于磁场的有旋性，不能引入一个标势来描述整个
空间的磁场，但由于磁场的无源性，可以引入另一个矢
对于全空间，第二项为无穷远界面上的积分趋于 零，此时静磁场的总能量
Wm
1 2
A
JdV
₪静 电 场
4.静磁场的能量
（2） 静磁场的能量的说明
Wm
1 2
A
JdV
对于静磁场的能量公式，积分需要遍及电流分布
区域V，因此公式仅对总能量有意义，不能把
1
A
J
2
看作能量密度，因为能量分布于磁场内，而不仅仅存
Φ’ Q
₪静 电 场
4.静磁场的能量
(5) 举例应用二

【电动力学课件】3-1 矢势及其微分方程

【电动力学课件】3-1 矢势及其微分方程
用球坐标 (R,θ, φ ) ，由对称性可知A只有φ 分量， Aφ 只依赖于 R,θ, 而与 φ 无关。因此 我们可以选定在xz面上的一点P来计算，在 该点上 Aφ = Ay 。取y分量。由于
dl y = a cos φ ′dφ ′ r = x − x′ = R 2 + a 2 − 2 x ⋅ x′ = R 2 + a 2 − 2 Ra sin θ cos φ ′
2 ψ ∇ 取 为泊松方程 ψ = −u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 ∇ ⋅ A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
7
二、矢势微分方程 1. A的微分方程 在均匀线性介质内。B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
∇ × (∇ × A) = µJ
可把上式再对z/a展开，得
3µ 0 Iρz Bρ = 4a 3
3 2 2 BZ = 1 − (2 z − ρ ) 2a 4a
20
µ0 I
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨 论真空情形，令μ=μ0即可。
9
3. 根据A求B
J ( x ′)dV ′ µ B = ∇× A = ∇× ∫ 4π r 1 µ = (∇ ) × J ( x ′)dV ′ ∫ 4π r µ J ×r = dV ′ 3 ∫ 4π r
2
∇× Η = J
∇⋅B = 0
但由于 ∇ ⋅ B = 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即
B = ∇× A
A称为磁场的矢势。 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得

静磁场.

静磁场.

A1(r)

1 r
r
(r
A1 r
)


J
aຫໍສະໝຸດ r A1 J r2 b; r 2
A1


J 4
r2

b ln
r

c;
考虑：
A1 r0 ;
b 0;
A1


J 4
r2

c;
当r>a时：
2
A2
(r)

1 r
r
(r
A1 r
)

0;

r A2 d; r
(A
H)dS
考虑场分布：
A 1; r
H

1 r2
;
S r2;
(AH)dS 0
S
r
计算场磁能的表示式：
W

V
1 2
A
JdV
设V中有电流分布J和Je， 则总能量：
WA
1 2
(A Ae ) (J J e )dV
V
其相互作用能：
Wi

WA

1 2
)

Q0a2 12 r2
sin
e
;
B1

A1

1 r sin

(sin A1)er

1 r
r
(rA1 )e

Q0 6 a
(cos er
sin e )

Q0 6 a
ez

Q0 6 a
B2
A2

Q0a2 6 r3
cos er

矢势及微分方程

矢势及微分方程

第三章 静磁场§3.1 矢势及其微分方程1、矢势（1）稳恒电流磁场的基本方程0=⋅∇B （3.1.1）或 ⎰=⋅S S d B 0 （3.1.2）J H =⨯∇ （3.1.3）或 ⎰=⋅L I l d H (3.1.4)式中J 是自由电流密度，I 是被闭合环路L 套住的自由电流的代数和。

（2）稳恒磁场的矢势由0=⋅∇B 知，存在空间矢量势函数A ，它满足A B ⨯∇= （3.1.5）对于一个确定的磁场B ，由（3.1.5）式确定的矢势A 不是唯一的，可以有一个附加的任意空间函数的梯度。

通常用条件0=⋅∇A （3.1.6） 来对这个任意函数加以限制。

（3）矢势A 的物理意义⎰⎰⎰Φ=⋅=⋅⨯∇=⋅L S SS d B S d A l d A （3.1.7） 即矢势A 沿任一闭合环路L 的积分等于通过以L 为边界的曲面S 的磁通量。

2、矢势A 的微分方程和边值关系在均匀介质内，矢势A 满足泊松方程J A μ-=∇2（3.1.8） 矢势的边值关系21A A =在均匀介质内，该方程的特解是()⎰-=V r r dV r J A '''4 πμ （3.1.9） 式中的积分遍及电流所分布的空间V 。

3、矢势的近似电流分布在区域V （线度为l ）内，电流密度为()'r J 。

这电流在远处（即l r >>）产生的磁场其矢势可近似为 34rr m A ⨯=πμ （3.1.10） 式中()'''21dV r J r m V ⨯=⎰ （3.1.11） 叫做这电流的磁矩。

对于一个载流为I 的小线圈L ，其磁矩为⎰⨯=Ll d r m ''21 (3.1.12) 4、稳恒电流磁场的能量（1）自具能电流分布在区域V 内，密度为()'r J ，所具有的能量为 ⎰⋅=V dV A J W 21 （3.1.13） 这能量分布在磁场中，因此 ⎰⎰=⋅=VV dV H dV B H W 22121μ （3.1.14） 式中H 是上述电流所产生的磁场，积分遍及H 不为零的全部空间V 。

电磁场基本方程ppt课件

电磁场基本方程ppt课件
2
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
两点电荷间的作用力
其中，K是比例常数，r是两
点 电 荷 间 的 距 离 ， r 为 从 q1 指向q2的单位矢量。若q1和 q2同号，该力是斥力，异号 时为吸力。
3
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
35
第二章 电磁场基本方程
2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指 0 即无欧姆损耗的简单媒质。在两种 理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即
s 0，Js
两种理想介质间的边界条件
36
第二章 电磁场基本方程
理想介质和理想导体间的边界条件
37
第二章 电磁场基本方程
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.5.1 坡印廷定理的推导和意义
E D E E
t
t
Ex
Ex t
Ey
E y t
Ez
Ez t
1 2
E
2 x
t
1 2
E
2 y
t
1 2
E
2 z
t
t
1 2
E 2
Ñs (E
H ) dS
t
V
1 2
E2
1 2
H
2
dV
V
E
JdV
其中，
we
1 E2 2
为电场能量密度
wm
1 2
H 2
为磁场能量密度
39
第二章 电磁场基本方程
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为

3.1失势及其微分方程


陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 静磁场
1、失势及其微分方程
2、磁标势 3、磁多极矩 4、阿哈罗诺夫－玻姆效应 5、超导体的电磁性质
现代物理导论I
3.1
失势及其微分方程
现代物理导论I
本章我们介绍稳恒电流激发的静磁场， 静磁场中电场 也同时存在， 但由麦氏方程可见电场和磁场不发生直接关 系，可以把磁场和电场分开来求解。 在给定传导电流附件可能存在磁性物质， 在电流的磁 场作用下， 介质被磁化而出现磁化电流， 它反过来又要激 发附加的磁场。 磁化电流和磁场是互相制约的， 因此解决 这类问题的方法也和静电场一样， 即求微分方程边值问题 的解。 一、失势
3.2 磁标势
一．磁标势
现代物理导论I
磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
H = J
一般情况下磁场不能用标势描述， 而需要用失势。 失 势的描述虽然是普遍的， 但是其求解通常非常复杂。 下面 我们考虑引入标势的可能性。 由磁场环路定理得

L
H dl J dS
S
如果回路链环有电流，则积分不为零，不能引入标势。如 果不必求解整个磁场， 只需求某局部磁场， 在此区域没有 链环电流，则

L
H dl 0
现代物理导论I
二．引入磁标势的条件 显然只能在 H 0 区域引入，且在引入区域中 任何回路都不能与电流相链环。
语言表述：引入区域为无自由电流分布的单 连通域。
用公式表示 讨论：

L
H dl 0
L
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
m 0 M B 0 H 0 M H m 2 m m 0

磁场的矢势及其微分方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件


A B0 yi
还存 在其
A B0 xj 它解
3/24
普通说来，若A是磁场B矢势，那么 A A
也是同一个B矢势（为任意连续可微标量函数） 。
A ( A ) A
因为
0
A’
AB
表明: A
与A对应同一个磁场B，也就是说，对于一个
磁场B，A不是唯一，它能够相差一个任意标量函数梯度。
2.5 磁场矢势及其微分方程
2.5.1 矢势
稳恒磁场基本方程是： 稳恒磁场是无源有旋场
H j B 0
静电场是有源无旋场，因为其无旋性，能够引入标势
来描述（ 0）。而磁场因为其有旋性不能引入一个
标势来描述整个空间磁场。不过依据磁场无源性，我们能 够引入另一个矢量来描述它。
依据矢量场论，若B0，B能够表示为矢量旋度，即 (A) 0， BA，A称为磁场矢势。
另首先, q在移动过程中, 在j’ 处也会产生磁场, j’受到磁场力, 外力克服这个磁场力也要冲量。
A
rA
dl
jdl
R
rB
B
把这两部分冲量加到起来, 就得到
需要结果。
18/24
j’在q处产生磁场为
B
0 jdl R
4πR3
q所受洛仑兹力为 Fq qv B
在q处外力在dt时间内克服洛仑兹力所加冲量为:
0
4π
qj
(dl R)
dl
l
R3
l
(dl R) R3
dl
l
(dl R) R3
( 1 ) dl l R
d 1 0 l R
则: 将电荷q从A到B所加总冲量为:
lB lA
(Fq
Fj )dt

电动力学Chapter31(矢势及其微分方程)


04 电磁场的能量与动量
电磁场的能量守恒
定义
电磁场能量是指场中所有电荷和电流的能量总 和。
表达式
电磁场能量的变化率等于场中电荷和电流的能 量密度的时间变化率。
意义
能量守恒是电磁场的基本性质之一，它反映了场中能量的传递和转化过程。
电磁场的动量守恒
定义
电磁场动量是指场中所有电荷和电流的动量 总和。
表达式
电磁场动量的变化率等于场中电荷和电流的 动量密度的变化率。
意义
动量守恒是电磁场的基本性质之一，它反映 了场中力的传递和转化过程。
能量与动量守恒的应用
在电磁场理论中，能量与动量守恒是 描述电磁场行为的重要工具，它们可 以用来推导和验证电磁场的各种性质 和规律。
在实际应用中，能量与动量守恒可以 用来分析电磁波的传播、散射、吸收 等过程，以及电磁场对物质的作用力 和力矩等。
电动力学第31章：矢势及其微分 方程
目 录
• 矢势的定义与性质 • 矢势的微分方程 • 矢势的散度与旋度 • 电磁场的能量与动量 • 矢势在物理问题中的应用
01 矢势的定义与性质
矢势的物理意义
描述磁场和电场的相互影响
01
矢势描述了磁场和电场之间的相互作用，是电磁场理论中的一
个重要概念。
揭示场的源和流的关系
揭示场的拓扑结构
矢势可以揭示电磁场的拓扑结构，如奇点、涡旋等特殊结构。
矢势的物理量纲
矢势具有长度量纲
矢势是一个向量，具有长度量纲，表 示了空间中某一点处的场强大小和方 向。
与速度和加速度相关联
矢势与物体的速度和加速度相关联， 描述了物体在电磁场中的运动状态。
02 矢势的微分方程
矢势的微分方程推导

第三章 静磁场


r r r r n × (H 2 − H1 ) = α f
r r r n ⋅ ( B 2 − B1 ) = 0
r r 1 r 1 r n×( ∇× A − ∇× A ) = α 2 1
µ2
µ1
或
r r A =A 2 1
r r r r r ∂ r ( A − A ) = −µ0[α f + n×(M2 − M1 )] 磁 材 性 料 2 1 ∂n
位函数的场方程
r r r n×(E2 − E1) = 0 r r r n ⋅ (D2 − D ) =σ 1
r r D =εE
静电场 r ∇× E = 0 r ∇⋅ D = ρ
恒定磁场 r ∇⋅ B = 0r r ∇× H = J r r r r n ×(H2 − H1) = α f
r r r n ⋅ (B2 − B1) = 0
qm = Ids （磁 磁矩（ 磁矩 dl
电矩 荷 r
r ） P = ql
r r r Pm = IdS = q m dl
r r 电势 标势 P ⋅ r ϕ=
4πε0r
3
r r r µ0P × r A= m 3 4πr
P ⋅r ϕm = m 3 4π r
矢势 r r
基本方程 边界 条件 本构关系式 位函数
l
r r ∇× H = J
r ∇⋅ B = 0
r 即 ∇× H = 0
引入 磁标势
∇×(∇ϕ) = 0
显然在此区域， 显然在此区域，磁场满足方程
r r r B = µ0 (H + M)
r ∇× H = 0
r r r ∴ ∇⋅ B = µ0∇⋅ (H + M) = 0
Байду номын сангаас
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13
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质中 W 1 B HdV
磁场总能量为
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
② 1 A J 不是能量密度。 2
14
③ 导出过程
B H ( A) H
( f g) ( f ) g f ( g)
( f ) g ( f g) f ( g)
Байду номын сангаас
Ay z
)ex
( Ax z
AZ x
)e y
( Ay x
Ax y
)ez
B0 e z
5
• 可选择 AZ AY 0 , AX B0 y ， 即 A B0 yex
•即也A可 选B择0 xAeZy Ax 0， AY B0 x ，
• 还可有多种选择，即有多种 ，而描述同一 磁场
6
7
dz ↑I z oR P
19
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
解：设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的距离为
R2 z2
A(x) J (x' )dV '
4 r
dz ↑I z oR P
Az
I 4
dz I ln z R2 z2 4
M
z2 R2
M
A=0
A1n A2n
S A dS AdV 0
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
12
（b） n (H2 H1)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定V内传导电流 J和V边界S上的 A或t Bt
V 内稳恒电流磁场由 2 A J和边界
条件唯一确定。
17
W 1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
Je
1 2
( A Je Ae J )dV
J
可以证明：
V ( A Je )dV V ( Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为 Wi，
Wi (Ae J )dV
18
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
8
二．矢势满足的方程及方程的解 1．A 满足的方程
B H
H J
A 0
B 1 B 1 ( A) 1 [( A) 2 A] J
2A J
2 Ai Ji i 1, 2, 3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2） 与静电场中2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
B A ( J (x))dV 1 J (x)dV
4 V
r
4 V r
4
V
J
( x) r3
r
dV
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
11
4．A 的边值关系
（a）n (B2 B1) 0 n ( A2 A1) 0
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
23
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
1.选坐标系，参考点 2.分析对称性，分区，求通解 3.定解（边界条件）
A A (R, )e
24
A A (R, )e
25
此式可变换为椭园积分，求出结果。
26
27
28
作业：3-1,3,4
（c）物理意义
A dl B dS
L
S
矢势沿任一闭合回路的环A 量代A 表通过由该回路为边界的任 一曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
３、矢势的不唯一性 B A
4
用矢势
A(x)
描写沿z轴方向均匀磁场
B( x ) B0 ez
A Axex Ayey Azez
令
A B
，有
( Az y
( A H ) A ( H )
(A H) A J
W
1 2
B HdV
1
1
2 ( A H )dV 2 A JdV
15
1
1
W 2 (A H )dV 2 A JdV
?0 V (A H)dV (A H )dS
无穷远界面上的矢势和磁场都趋于0,
W
1 2
A JdV
16
积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散 。 20
M
A(R)
A(R0 )
lim
M
I 4
ln
z z
z2 R2 z2 R02 M
lim
I
ln
1
1 R2 M 2 1
1 R02
M2
M 4 1 1 R02 M 2 1 1 R2 M 2
若取R0点的矢势为零，计算可得
A
I 4
ln
R02 R2
I 2
ln
R R0
↑I dz
z
o R
P
21
取A的旋度得磁感应强度
er
r
e
1 r
ez
z
B A
(I 2
ln
R R0
ez
)
( I 2
ln
R R0
) ez
I 2 R
eR
ez
I 2 R
e
er e
ez
B 1
r r z
I R
00
ln
22
2 R0
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
2.电流分布在外磁场中的相互作用能
设 Je 为外磁场电流分布，Ae为外磁
Je
场的矢势； J 为处于外磁场Be 中的电
流分布，它激发的场的矢势为 A。
J
总 能 量 ： W 1 2
( A Ae ) (J Je )dV
1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
1 2
( A Je Ae J )dV
第三章
静磁场
Static magnetic field
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。
基本方程
H J
边值关系
n
(H2
H1)
B 0
n (B2 B1) 0
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
2
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J
B 0
物理意义：
（a）B 与 A 的关系
A B A
dS
B
S B dS S ( A) dS L A dl
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形 状无关
9
2A J
2
J (x)dV
A 4 V r
A |r 0
1
4
V
( x)dV
r
|r 0
电流分布在有限空间内 电荷分布在有限空间内
10
2．矢势的形式解
A
4
V
J (x)dV r
1
4
V
(x)dV
r
通过类比
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，
3．B的解