习 题
8-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应
力状态。
解：(a) 在任意横截面上，任意一点
σ
σ
2
4
P
d
σπ=
(b) 在BC 段的外表面处
2
4
P
d
σπ
=
3
316
M
d
τπ
=
τ
σ
(c)A 截面的最上面一点
σ
τ
σ
3
32
Pl
d
σπ=
3
16
M
d
τπ=
8-2 图示悬臂粱受载荷P =20kN 作用，试绘单元体A 、B 、C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。
解：
σ
σ
2
6
20100060520106
A M MPa W σ--⨯=
==-⨯⨯
B
σB στ2
3
8
6
2
82
2000051030520106
20000557.5102250 2.25520
105106
B B B M y MPa J
KPa MPa στ-----⨯⨯===-⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯
C
τ40
20000 1.5
1.5
320510
C C Q MPa A στ-=⨯===⨯⨯
3σ
1
σσ
τ
A <>点130
60
σσ==o
1
σ3σσ
τ
B <>
点130.16830.16885.7σσα==-=o
σ
τ
1
σ3σC <>
点133345σσα==-=-o
8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa ）。
解：(a) ()()
1212
205205cos 2cos 6013.752222
MPa ασσσσσα+---+-=
+=+=o ()12
205sin 2sin 6010.82522MPa ασστα---===o
()max 20512.52
MPa τ--==
45α=o （与120σ=方向夹角）
(b)
()()
()12
12
20102010cos 2cos 135 5.60622
22
MPa ασσσσσα+---+-=
+
=
+-=-o ()()12
2010sin 2sin 13510.60622MPa ασστα---==-=-o
()
max 2010152
MPa τ--=
= 45α=o （与1σ方向夹角）或135o （与水平方向交角）
(c)
()12
12
40104010
cos 2cos 12017.52
2
22
MPa
ασσσσσα+-+-=
+
=
+-=o ()12
4010
sin 2sin 12013.02
2
MPa ασστα--=
=
-=-o max 4010
152MPa τ-== 45α=o
（与140σ=方向夹角）
(d)
()12
12
20202020
cos 2
cos 45202
2
22
MPa ασσσσσα+-+-=
+
=
+=o 0ατ= max 0τ=
8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为MPa ），试用解析法和图解法计算主应力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。
解：(a)
2
12
32
2
12
252.426402*********.426222122.52x y
x y xy
xy x y MPa tg σσσσσττασσ-+-⎛⎫=
±+ ⎪⎝⎭
-+⎛⎫=±+= ⎪-⎝⎭
⎛⎫
=-
= ⎪ ⎪-⎝⎭
o
(b)
1312
373020272122070.67
x y
MPa tg σσσ
α-+
=
-==--⨯==-o
(c)
1
21'
2
62.4305017.621220581723050
x y
MPa tg σσσα-+=
±+=±=-⨯==-o
σ
τ
1σ2
σ
(d) ()2
12
32
2
12
2120.71001005020.7222501
22.52100
x y
x y xy
MPa tg σσσσστα-+-⎛⎫=
±+ ⎪⎝⎭
⎛⎫=±+= ⎪-⎝⎭
⨯-==-o
3σ1
σσ
τ
A <>点130
60
90σσα===o
8-5 作出图示单元体的三向应力图，并求出主应力和最大剪应力，画出主单元体。
