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1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。
有条件9可知a>0,故1q。
311a。
故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。
〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。
文科数学数列专项训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为（ ）． A ．2015 B ．2013 C ．1008 D ．1007 【答案】C 【解析】试题分析：当2n ≥时，12n n a S n -+=，所以1112n n n n n S S S n S S n ----+=⇔+=……①；121n n S S n --+=-……②，①-②可得2111n n n n S S a a ---=∴+=，所以201512345201420151...10071008S a a a a a a a a =++++++=+=.考点：数列的递推关系.2．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是 A ．若30a >，则20150a < B ．若40a >，则20140a <C ．若30a >，则20150S >D ．若40a >，则20140S > 【答案】C 【解析】试题分析：若03>a ，则0213>=q a a ，因此01>a ，当公比0>q ，任意0>n a ，故有02015>S ， 当公比0<q ，02015<q，则()011201512015>--=qq a S ，故答案为C.考点：等比数列的性质.3．等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ）A. 120B.70C.75D. 100【答案】C. 【解析】试题分析：由21,n a n =+得等差数列{}n a 中，31=a ，2=d ；则2)1(3+=-+=n nn n n n S n ；即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等差数列，首项为3，公差为1，则其前10项和为7512910310=⨯⨯+⨯.考点：等差数列的通项公式与求和公式. 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211008=a ，则2015S 的值是（ ） A ．22015 B ．22017C ．2015D ．2016 【答案】A 【解析】()120152015100820152015201522a a S a +===，故选A ．考点：等差数列的性质.5．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则 =++987a a a （ ） A.81 B. 81- C. 857 D. 855【答案】A 【解析】试题分析：因{}n a 是等比数列，所以69363,,S S S S S --也成等比数列，故()()236693S S S S S -=-,所以8169=-S S 987a a a ++= 考点：等比数列的性质6．已知()1f x bx =+为关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且满足()g n =⎩⎨⎧≥-=)1( )]1([)0(1n n g f n 设()*()(1)n a g n g n n N =∈－－,则数列{}n a 为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列 D ．递减数列 【答案】B 【解析】 试题分析：依题意可得，，，所以，因为是不等于0且不等于1的常数，所以数列是等比数列，故选B.考点：数列与函数之间的关系.7．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为（ ）A.154 B.152 C.74 D.72【答案】A 【解析】试题分析： 由题意可知43S a 4121(1)1514a q qa q --==. 考点：等比数列的性质.8．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，则251254a a a d +=+= ①711767721212S a d a d ⨯=+=+= ② 由①②得13,2a d =-=，所以7169a a d =+=，故选D 考点：等差数列的性质及前n 项和.9．在数列{n a }中，若11=a 且对所有n N *∈, 满足212n a a a n =，则=+53a a（ ） A ．1625 B ． 1661 C ．925 D ．1531【答案】B【解析】试题分析：当1>n 时，22121121)1(-==--n n a a a a a a a a n n n n ，故493=a ，16255=a ，所以356116a a +=考点：数列及其通项10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且27320a a +=，则52S S =（ ） A ．11 B ．5 C ．8- D ．11- 【答案】D【解析】由27320a a +=，得57232a q a ==-，故2q =-，所以51552212(1)1111(1)11a q S q q a q S q q---===----，选D ． 【命题意图】本题考查等比数列的性质和前n 项和公式等基础知识，意在考查基本运算能力．11．已知数列}{},{n n b a 满足nn a b 2lo g =，*N n ∈，其中}{n b 是等差数列，且21138=⋅a a ，则=++++20321b b b b （ ） A ．10- B ．10 C ．5log 2 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：由n n a b 2log =，N n ∈，得2n b n a =，又因为}{n b 是等差数列，可得}{n a 是等比数列，21138=⋅a a ，=++++∴20321b b b b 10)(log )(log 10138220212-=⋅=⋅a a a a a .考点：等比数列的性质.12．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则2014s （ ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 【答案】D 【解析】试题分析：因为20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，所以220132=+a a ，数列{}n a 是等差数列，所以20142)(20142)(201420132201412014=+=+=a a a a s ，答案为D.考点：等差数列的性质及求和公式.13．（本题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得n n T S >成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）n a n =，13n nb =；（2）存在；2。
高三文科数学数列测试题一、选择题〔5分×10=50分〕1．等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，那么其公差是〔 〕 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．在等差数列{}n a 中，1232,13,a a a =+=那么456a a a ++等于〔 〕A ．40B ．42C ．43D ．45 3．等差数列{}n a 的公差为2，假设1a 、3a 、4a 成等比数列，那么2a 等于〔 〕 A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 {}n a 中,11253,4,33,n a a a a n =+==则为( )5．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，那么公比q 为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．8 6.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么〔 〕A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则〔 〕A ．(1)2n n + B. (1)2n n - C.(2)(1)2n n ++ D.(1)(1)2n n -+8．a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，那么ad 等于〔Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，假设数列{}1n a +也是等比数列，那么n S 等于〔 〕A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n-10．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，那么()f n 等于〔 〕A ．2(81)7n - B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +-二、填空题〔5分×4=20分〕11.数列的通项52n a n =-+，那么其前n 项和n S = ．12．数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，假设119a =，那么36a =13．数列｛a n ｝中，假设a 1=1，2a n +1=2a n +3 〔n ≥1〕，那么该数列的通项a n = . 14．数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将数列{}n a 中的各项排成如下图的一个三角形数表，记 A 〔i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A 〔4，3〕 =9a ,那么A 〔10，2〕=三、解答题〔本大题共6题，共80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 15、〔本小题总分值12分〕等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ，求以下问题:(1)求前n 的和n s 〔2〕当n 是什么值时, n s 有最小值，最小值是多少？16、〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥ 〔1〕求{}n a 的通项公式;〔2〕求n S17、〔本小题总分值14分〕实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …).18、〔本小题总分值14分〕数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+〔c 是常数，123n =，，，〕，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． 〔1〕求c 的值；〔2〕求{}n a 的通项公式．19、〔本小题总分值14分〕设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S20．〔本小题总分值14分〕设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． 〔1〕求数列{}n a 的通项； 〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三文科数学数列测试题答案1~5 CBBCA 6~10 BABCD 11.(51)2n n +-12.4 13.3122n a n =- 14. 93 15.略解〔1〕略〔2〕由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩得10n =，10910210(17)2260s ⨯=⨯--⨯=-16.解：〔1〕设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，由6711a a q ==，得61a q -=，从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==． 因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+， 即3122(1)q q q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．所以12q =．故116111642n n n n a a q q q ----⎛⎫=== ⎪⎝⎭．〔2〕116412(1)1128112811212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-17．〔1〕由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. (2) 1(13)311322n nnS ⨯--==-18.解：〔1〕12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． 〔2〕当2n ≥时，由于 21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．19.解：〔1〕设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，那么依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．〔2〕1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，①3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．20．(1)2112333...3,3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈(2) 3n n b n =⋅，23132333...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅..........(1) .. (2)(1)-(2)得:231233333nn n S n +-=+++-⋅23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅所以11332313n n n S n ++--=-⋅-， 111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
数列测试题一、选择题（5分×10=50分）1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．453．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ）A ．－4B ．－6C ．－8D ．－104.在等差数列{}n a 中,已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.515．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．86.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=-7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ）A ．(1)n n + B. (1)n n - C. (2)(1)n n ++ D. (1)(1)n n -+ 8．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．31n -10．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ） A ．2(81)7n - B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +-二、填空题（5分×4=20分）11.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．12．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，2a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记A （i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A （4，3）=9a ,则A （10，2）=三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分12分）等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ，求下列问题:(1)求前n 的和n s （2）当n 是什么值时, n s 有最小值，最小值是多少？16、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{}n a 的通项公式;（2）求n S17、（本小题满分14分）已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …).18、（本小题满分14分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式．19、（本小题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S20．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项；（2）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．。
文科数学数列高考题及答案数列是数学中重要的知识点，它是指一个数字依次出现的有规律的序列，几何数列是按正确的顺序由若干数组成的一类数列。
在数学高考中，对数列的考查也是很重要的，下面就来看看数学高考几何数列题目及答案。
1、若等比数列{an}的前5项依次为3，-6，12，-24，48，则第6项的值为（）A. -96B. -92C. 96D. 92答案：A. -96证明：由题意，可得等比数列an的前五项为3，-6，12，-24，48，该数列的公比为$q=\frac{-6}{3}=-2$，故题中第六项的值为：$a_6=a_5\times q^2=48\times(-2)^2=-96$。
所以选项A为正确答案。
2、若复数等比数列{z1，z2，z3，…}的前两项为z1=1+2i，z2=2+i，则第五项的共轭复数z5?（）A. 2-3iB. -2+3iC. -2-3iD. 2+3i答案：C. -2-3i证明：由题意可知，等比数列的公比$q=\frac{z2}{z1}=\frac{2+i}{1+2i}=\frac{2-i}{1-2i}=-2-i$，故第五项的值为：$z_5=z_1\times(q)^4=(1+2i)\times(-2-i)^4=-2-3i$，该数列的共轭复数为$\overline{z_5}=-2+3i$。
所以正确答案为C。
3、已知等腰三角形的两条直角边分别为x，y，若直角边x，y成等比数列，则该数列的公比的值是（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{-1}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. $\frac{2}{1}$答案：B. $\frac{-1}{2}$证明：由直角边构成的等腰三角形，有$y=\frac{1}{2}x$，故x、y构成的等比数列公比为$q=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}x}{x}=\frac{1}{2}$。
由于x、y是等比数列，故公比$q$为负数，即$q=-\frac{1}{2}$。
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分 （2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
高三文科数学复习资料——《数列》专题1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a .（1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n ；（3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n S b n n =，求数列}{n b 的前n 项和n T .3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(2111>+=--n a a a n n n ，记nn a b 1=. （1）求证:数列}{n b 为等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式.4.在数列{}n a 中，0≠n a ，211=a ，且当2≥n 时，021=⋅+-n n n S S a . （1）求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）当2≥n 时，设n n a nn b 1--=，求证：n b b b n n n 1)(12)1(2132<+⋅⋅⋅++-<+.5.等差数列}{n a 中，2,841==a a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；（3）设*)()12(1N n a n b n n ∈-=，*)(21N n b b b T n n ∈+++= ，是否存在最大的整数m 使得对任意*N n ∈，均有32m T n >成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a .（1）求}{n a 的通项公式；（2）证明：11...1112312<-++-+-+n n a a a a a a .7.数列{}n a 满足*1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b n =，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 211-=.（1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；（2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有32≤n c .9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.。
高考文科数学数列专题复习题及答案专题复习题可以很好地巩固学生对高考文科数学的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高考文科数学数列专题复习题，希望对大家有所帮助!高考文科数学数列专题复习习题及答案：一、选择题1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1等于 ( ).A.13B.-13C.19D.-19解析设等比数列{an}的公比为q，由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1，即a3=9a1，q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=19.答案 C2.在等差数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10等于( ).A.9B.10C.11D.12解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4+a5)-(a2+a3)=4d=2，所以d=12.又(a9+a10)-(a4+a5)=10d=5，所以a9+a10=(a4+a5)+5=11.答案 C3.在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2013+a2014a2011+a2012等于 ( ).A.3或-1B.9或1C.1D.9解析依题意，有3a1+2a2=a3，即3a1+2a1q=a1q2，解得q=3，q=-1(舍去)，a2013+a2014a2011+a2012=a1q2012+a1q2013a1q2010+a1q20 11=q2+q31+q=9.答案 D4.(2014•郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2-4x+3=0的两根，则a6的值是 ( ).A.3B.-3C.±3D.±3解析依题意得，a4+a8=4，a4a8=3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6=a4a8=3.答案 A5.(2014•济南模拟)在等差数列{an}中，a1=-2 014，其前n项和为Sn，若S1212-S1010=2，则S2 014的值等于 ( ).A.-2 011B.-2 012C.-2 014D.-2 013解析根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2 014，公差d=1，故S2 0142 014=-2 014+(2 014-1)×1=-1，所以S2 014=-2 014.答案 C6.(2013•辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列;p2：数列{nan}是递增数列;p3：数列ann是递增数列;p4：数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为 ( ).A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4解析设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d，它是递增数列，所以p1为真命题;若an=3n-12，则满足已知，但nan=3n2-12n并非递增数列，所以p2为假命题;若an=n+1，则满足已知，但ann=1+1n是递减数列，所以p3为假命题;设an+3nd=4dn+a1-d，它是递增数列，所以p4为真命题.答案 D7.(2013•新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m等于 ( ).A.3B.4C.5D.6解析由Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，得am=2，am+1=3，所以d=1，因为Sm=0，故ma1+m(m-1)2d=0，故a1=-m-12，因为am+am+1=5，故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5，即m=5.答案 C高考文科数学数列专题复习习题及答案：二、填空题8.(2013•新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn=23an+13，则数列{an}的通项公式是an=________.解析当n=1时，a1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23an-23an-1，所以anan-1=-2，∴{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=(-2)n-1.答案(-2)n-19.(2013•北京卷)若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________;前n项和Sn=________.解析由题意q=a3+a5a2+a4=2，又a2+a4=20，故a1q+a1q3=20，解得a1=2，所以Sn=2n+1-2.答案 2 2n+1-210.(2014•新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an+1=11-an，a8=2，则a1=________.解析先求出数列的周期，再进一步求解首项，∵an+1=11-an，∴an+1=11-an=11-11-an-1=1-an-11-an-1-1=1-an-1-an-1=1-1an-1=1-111-an-2=1-(1-an-2)=an-2，∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.而a2=11-a1，∴a1=12.答案1211.设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1且a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn=________.解析设公差为d，由a1，a3，a6成等比数列，可得(1+2d)2=1×(1+5d)，解得d=14，所以Sn=n+n(n-1)2×14=18n2+78n.答案18n2+78n12.(2014•天津卷)设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn 为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________.解析根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解.等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+n(n-1)2d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1-1,4a1-6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1-1)2=a1•(4a1-6)，解方程得a1=-12.答案-12高考文科数学数列专题复习习题及答案：三、解答题13.(2014•北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d=a4-a13=12-33=3，所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2，…).设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2，…).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2，…).数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n-1}的前n项和为1-2n1-2=2n-1.所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1.14.(2013•浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d，an;(2)若d<0，求|a1|+|a2|+…+|an|.解(1)由题意得5a3•a1=(2a2+2)2，即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d=-1，an=-n+11.当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n.当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-12n2+212n，n≤11，12n2-212n+110，n≥12.15.(2014•杭州模拟)已知数列{an}是首项为133，公比为133的等比数列，设bn+15log3an=t，常数t∈N*.(1)求证：{bn}为等差数列;(2)设数列{cn}满足cn=anbn，是否存在正整数k，使ck，ck+1，ck+2按某种次序排列后成等比数列?若存在，求k，t的值;若不存在，请说明理由.(1)证明an=3-n3，bn+1-bn=-15log3an+1an=5，∴{bn}是首项为b1=t+5，公差为5的等差数列.(2)解cn=(5n+t) •3-n3，则ck=(5k+t)•3-k3，令5k+t=x(x>0)，则ck=x•3-k3，ck+1=(x+5)•3-k+13，ck+2=(x+10)•3-k+23.①若c2k=ck+1ck+2，则x•3-k32=(x+5)•3-k+13•(x+10)•3-k+23.化简得2x2-15x-50=0，解得x=10，x=-52(舍去);进而求得k=1，t=5;②若c2k+1=ckck+2，同理可得(x+5)2=x(x+10)，显然无解;③若c2k+2=ckck+1，同理可得13(x+10)2=x(x+5)，方程无整数根.综上所述，存在k=1，t=5适合题意.。
高三文科数学数列专题练习1. 已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和.1. 解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2q ∴== 又()0,22n a q >∴=分∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=⨯=分.()123231111211111112221222212nn n a a a a ++++-⨯=++++=- ()11,2n=-6分()11,117,2n n ≥∴-<分()123111118.na a a a ∴++++<分 ()()()(){}()2132log 21219,212112,,n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=⎡⎤⎣⎦∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分 ∴数列{}n b 的前100项和是()100100991003210200122S ⨯=⨯+⨯=分2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++， (3) 12||||||n n T a a a =+++,n N +∈2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－1256125671251256720520(2)||||||||| =(+a )=2()(++a ) =2S S =260n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++++｜－－－(3)229 , 5409, 5n n n n T n n n ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩－－3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ⎧⎨⎩为奇数；－为偶数；， 求2n S12321352124621352-12()()2(14)(-1 2222)(3711)341422(41) 23n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a n n n n n =+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=++⋅=++－3.解：－）（＋＋＋－－4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求证: 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .4 .解：证法1: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a由nn n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. 证法2: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a∵nn n n nn n n n a a a a 2312312231231111⨯-⨯--=⨯-⨯-+++1231231-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=n n n n a a , 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. (2)解: 由(1)得()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. ∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . ∴n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．111213515561355132131323322522111(1),,1,0,{}, log , 01,1,0.60,6,log 6,264,1 64,8.81,. 16.2n n n n n n n a a q a q a b a b b b a a b b b b b b b a a a a a a a a q q q a a q a a a q --=>>∴==>==++==+==∴===∴=∴===∴===∴=7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得115214116()2log 5. (6)2()(9)(2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;111345678,91010974,421,248n n n n n n n n n n n n n n n n n b a n n b b n n b n S n S a a S n S a a S n S a a S --====-+-=-==>∴>===∴>===∴<；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.,129,; 345678,.(13)n n n n n n n a S n a S =>=<综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1， 点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。
（1）求a 1和a 2的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。
8. 解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2 a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4 ···3分 （2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2， 又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∈≥ ∴a n =2a n -2a n -1，∵a n ≠0，∴*),2(21N n n a a n n∈≥=-，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P (b n ，b n +1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n +1+2=0，∴b n +1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1， ···8分（3）∵c n =(2n -1)2n ∴T n =a 1b 1+ a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n -1)2n ， ∴2T n =1×22+3×23+····+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1 因此：-T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n -1)2n +1， 即：-T n =1×2+(23+24+····+2n +1)-(2n -1)2n +1， ∴T n =(2n -3)2n +1+69. 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++， 数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且． （１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值．9. 解： (1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+, 112n n a a --=……2分 ∴111(1)24n a a n d n =+-=- ……………………………………4分 (2)∵13n n b b n --=,∴11133n n b b n -=+,∴1111111111113()3324364324n n n n n b a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+;11111113(1)2424n n n n b a b n b n -----=--+=-+∴由上面两式得1113n n n n b a b a ---=-,又1111913044b a -=--=-∴数列{}n n b a -是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分 (3)由(2)得1130()3n n n b a --=-⨯，∴11111130()30()3243n n n n b a n --=-⨯=--⨯12111111130()(1)30()243243n n n n b b n n ----=--⨯--++⨯ =221111130()(1)20()023323n n --+⨯-=+⨯> ，∴{}n b 是递增数列 ………11分 当n =1时, 11194b =-<0；当n =2时, 23104b =-<0；当n =3时, 351043b =-<0；当n =4时, 471049b =->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且31101(135)3010414312S =++---=-…………………………13分10. 已知等差数列{}a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n . 10. 解：（1）15392292)(955919==⨯=+=a a a a S175=∴a………5分（2）设数列 {}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+==+=35174811512d a d a a d a a23+=∴n a n ………9分S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n - …12分11.已知曲线C ：xy e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）求1ni ii x y =∑．11.解：（Ⅰ）∵xy e '=，∴曲线C ：xy e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：xy e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()nn x x n y ee x x -=-， ……4分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列．∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ） ……8分（Ⅱ）∴1122331......... ni in n i x yx y x y x y x y ==++++∑1234101232122112234 ........(1) (1)234 ........(1) (2)(1)(2)(1)1........(1)1(1) [1](1)(1n n n n nn S e e e e n e eS e e e e n e e S e e e n e e n e S e e ==∴=++++∴=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－－－)e ……14分12. 在数列{})0,(2)2(,2111>∈-++==*++λλλλN n a a ，a a n n n n n 中（1） 求证：数列2{()}n nna λλ-是等差数列；（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ；12. 解：（1）由1*1(2)2,(,0)n n n n a a n N λλλλ++=++-∈>，可得11122()()1n n n n n na a λλλλ+++-=-+所以2{()}n nna λλ-是首项为0，公差为1的等差数列.（2）解：因为2()1n nna n λλ-=-即*(1)2,()n n n a n n N λ=-+∈设2312(2)(1)n nn T n n λλλλ-=++⋅⋅⋅+-+-……①3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++⋅⋅⋅+-+-……②当1λ≠时，①-②得2341(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++⋅⋅⋅+--211(1)(1)1n n n λλλλ-+-=---21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---13. 在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =， （1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅， 使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，当32a =时， 用t 表示t n13. 解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，则546462a a a , a a 12=+∴+= …………………… 3分 （2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a =则()11233014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=⎧⇒=∴=-⎨+=⎩ n N *∈又235m a a a = 则 ()3631m 3a , 12=m , m=92=∴-∴……… 7分 （3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2=则1124461n a d 2d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=⎧⇒=-∴=-∈⎨+=⎩ 又因为公比53632a q , a ===首项32a =，123t t n a +∴=⋅ 又因为 112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=⋅=+ n N *∈………… 12分14. 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =; ②()f x 的最小值为18-. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的 值最小? 求出这个最小值.14.解: (1) 由题知: 200148a b a b a⎧⎪+=⎪⎪>⎨⎪⎪-=-⎪⎩ , 解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ , 故211()22f x x x =-. ………2分 (2) 221245n n n n T a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 2(1)(1)211214(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭, 114(2)5n n n n T a n T --⎛⎫∴==≥ ⎪⎝⎭,又111a T ==满足上式. 所以14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭……………7分(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ⨯=+,从而21110()22n n n n a a b a -=+, 得2239565()55n n n n b a a a =-=--. 因为14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数, 所以 当35n a ≥, 即3()n n N *≤∈时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ; 当35n a <, 即4()n n N *≥∈时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .又343355a a -<-, 所以34b b <, 即数列{}n b 中3b 最小, 且2223442245655125b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. …………12分15. 已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1, 0）（n ∈N +），（Ⅰ）用x n 表示x n+1；（Ⅱ）若x 1=4，记a n =lg 22n n x x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛n x ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.15. 解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． 从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=- （Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>-∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++11[1()]3113n b -=-133()33n =-⋅<． 综上，3n T <(*)n N ∈．。
