3 一元二次方程的解法配方法1

解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。

在这里，我们将介绍三种基本的解法。

一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。

例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。

（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。

例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。

二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。

例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。

三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。

例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。

总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。

配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。

公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。

图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。

知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1

x

=
.


4
16

3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )

解：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
x2－6x＋8＝0，
(x－3)2＝1，
∴x1＝4，x2＝2.
返回
方法 3 用公式法解方程
6．x2＝6x＋1
解：x2＝6x＋1， x2－6x－1＝0， ∴x1＝3＋ 1 0 ，x2＝3－ 1 0 .
返回
7． 2 x－2＝2x2
解： 2 x－2＝2x2，2x2－ 2 x＋2＝0， Δ＝b2－4ac＝2－4×2×2<0， ∴原方程无实数根．
返回
方法 4 用因式分解法解方程
8．(x－1)2－2(x－1)＝0
解：(x－1)2－2(x－1)＝0， (x－1)(x－3)＝0， ∴x1＝1，x2＝3.
返回
9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0)2＝0，(x－3)2＝0， ∴x1＝x2＝3.
返回
方法 5 用适当的方法解方程
10．3(x－5)2＝x2－25
解：3(x－5)2＝x2－25， 2(x－5)(x－10)＝0， ∴x1＝5，x2＝10.
返回
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2
解：(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2，
4x2＋4x－5＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝16＋80＝96.
择决定命运，环境造就人生！
第21章 一元二次方程
双休创新练(一) 方法技巧训练3 一元二次方程的解法
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方法 1 用直接开平方法解方程
1．(4x－1)2＝225
解：(4x－1)2＝225，
4x－1＝±15，
∴x1＝4，x2＝

(x+a)2=b
xa b
x a b
攀登高峰
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
解方程 (2x+5)2=(1-x)2
知识 升华
解下列方程
1.(x+5)2=26 2.(x+5)2-26=0 2+10x+25-26=0 3.x
2+10x-1=0 4.x
你能解:
2+10x=1 x
结束寄语
下课了!
直接开平方法是一种较简单的 数学方法，它是配方法的最 终目标。
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(1)一元二次方程的解法
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” 吗
如果x2=a,那么x=
a.
1. 解方程 (1)
x2=5
解 : 1.x 5. 老师提示:
这里是解一元二次方程的 x 5 , 基本格式,要按要求去做.
2. 9(x -1)2 = 25;
随堂练习 1
解下列方程
1. 49x2=25
2.0.5x2-32=0
随堂练习 1
解下列方程
1.(x+1)2=16
2.(6x-1)2=81
小结
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拓展