高一数学上学期期末复习
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C 【解析】：试题分析：如图，由题可知矩形
11
AA C C的中心O为该三棱柱外接球的球心，()2
2
123
OC=+=，∴该球的表面积为()2
4312
ππ
=，故选C．
8、在ABC
∆中，E、F分别是AB、AC的中点，若AB a
=，AC b
=，则EF等于（）
A.()
1
2
a b
+ B.()
1
2
a b
- C.()
1
2
b a
- D.()
1
2
a b
-+
二、填空题
9、设
12
,e e是两个不共线向量，若
12
b e e
λ
=+，与
12
2
a e e
=-共线，则实数λ的值为.
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．
60°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B 和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连结A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
11.在ABC
∆中,1
a=,0
30
A=,0
45
C=，则ABC
∆的面积为________．
4
1
3+
【解析】：由
sin sin
a c
A C
=得
1
2
sin30sin45
c
c
=∴=()
1131
sin12sin3045
224
S ac B
+
∴==⨯⨯⨯+=.
12．若数列{}n a的首项12
a=，且()*
1
32
n n
a a n N
+
=+∈；令()
3
log1
n n
b a
=+，
则
123100
b b b b
++++=_____________．5050【解析】：由()*
1
32
n n
a a n N
+
=+∈可知
()1
1
1
131,3
1
n
n n
n
a
a a
a
+
+
+
+=+∴=
+
，所以数列{}1
n
a+是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13,31
n n
n n
a a
+=∴=-，所以()
3
log1
n n
b a n
=+=，因此
()
123100
1001100
5050
2
b b b b
+
++++==.
三、解答题
13、已知()
3,4
a=-，()
2,
b x
=，()
2,
c y
=，且//
a b，a c
⊥，求：（1）b c⋅；（2）b、c的夹角.
14
．记S n为等差数列{}
n
a的前项和，已知15
,7
3
1
-
=
-
=S
a．（1）求{}n a的通项公式；
（2）求S n，并求S n的最小值．
【答案】解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d= –15．由a1= –7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
15．如图，在四棱锥ABCD
E-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，⊥
EC底面ABCD，F为BE的中点. （1）求证：DE∥平面ACF；（2）求证：AE
BD⊥.
【解析】：（1）连接OF.由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.又F为BE的中点，所以OF∥DE.
又⊂
OF平面⊄
DE
ACF,平面,
ACF所以DE∥平面ACF.
（2）证明：由⊥
EC底面⊂
BD
ABCD,底面ABCD，所以BD
EC⊥，
由ABCD是正方形可知, BD
AC⊥，所以⊥
BD平面ACE，又⊂
AE平面ACE，所以AE
BD⊥. 16.在C
∆AB中，角,,B C
A所对的边分别为,,
a b c，且满足3cos C sin0
a c
-A=．
（1）求角C的大小；（2）已知4
b=，C
∆AB的面积为63，求边长c的值．
【解析】：（1）在ABC
∆中，因为3cos C sin0
a c
-A=，由正弦定理得：0
sin
sin
cos
sin
3=
-A
C
C
A，因为π
<
<A
0，所以0
sin>
A,从而C
C sin
cos
3=，又0
cos≠
C ,所以3
tan=
C，所以
3
π
=
C．（2）在ABC
∆中，3
6
3
sin
4
2
1
=
⨯
⨯
=
∆
π
a
S
ABC
，得6
=
a，由余弦定理得：28
3
cos
4
6
2
4
62
2
2=
⨯
⨯
-
+
=
π
c
所以7
2
=
c．
17．设{}n a是公比大于1的等比数列，n S为数列{}n a的前n项和，已知7
3
=
S，且4
3
3
3
2
1
+
+a
a
a、
、构成等
差数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）令
n
n a
n
b=，求数列{}n b的前n项和n T．
【解析】：（1）由已知得：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
=
+
+
2
3
1
3
2
1
3
2
)4
(
)3
(
7
a
a
a
a
a
a
，解得
2
2
a=．设数列{}
n
a的公比为q，由
2
2
a=，可
得
13
2
2
a a q
q
==
，．又
3
7
S=，可知
2
227
q
q
++=，即2
2520
q q
-+=，解得
12
1
2
2
q q
==
，．
由题意得12
q q
>∴=
，．
1
1
a
∴=．故数列{}
n
a的通项为1
2n
n
a-
=．
（2）
1
=
2
n n
n
n n
b
a-
=,
011
12
+++
222
n n
n
T
-
∴=
121
1121
+++,
22222
n n n
n n
T
-
-
∴=+
两式相减得：
121
111112
12(1)2.
22222222
n n n n n n
n n n
T
-
+
=++++-=--=-
1
2
4.
2
n n
n
T
-
+
∴=-18．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
【答案】解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．。
