常用函数傅里叶变换

419

附录A拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1拉氏变换的基本性质

1

线性定理 齐次性 L[af(t)] =aF(s)

叠加性 L[ fι (t)±f2(t)] =Fi(S) ±F2(s)

L[f¾ =sF(s) f(0) dt

2 L[d f2(t)] =S2F (s) Sf (0) f( 0) dt2

2 微分定理 一般形式 -

LIdf(t)] = snF(s)_£ Snrg(O) dt k」

ff=ddTt) dt 一

初始条件为 0时 dn f(t) n L[-^]=s F(S) dt

. F(S) [ IL f (t)dt]t J0 L[ jf(t)dt]_ F(S) + J S S

一般形式

2 F(S) [Jf(t)dt]y [ f (t)(dt)2]y L["f(t)(dt)] — V + 2 + S S S

3 积分定理

共n个 九个

L[ $叮 f (t)(dt)n]=卑 +∑ 召[J…Jf (t)(dt)n]y

S k 二 S

初始条件为 0时 共H

L[ □f(t)(dt)n] _F(nS) 'f S

4 延迟定理（或称t域平移定理） L[f(t—T)1(t—T)]=e=sF(s)

5 衰减定理（或称S域平移定理） L[f (t)e∙"t] = F(s + a)

6 终值定理 Iimf (t) =∣sim SF(S)

7 初值定理 lim f (t) = lim SF (S) t—⅛0 s—JC

8 卷积疋理 L[ f f1(t —引 f2 (0d可=L[ [ f1 (t) f2(t —E)d 可=F1 (S) F2 (S)

2

.表A-2常用函数的拉氏变换和 Z变换表

420

序

号 拉氏变换E(S) 时间函数e(t) Z变换E(Z)

1 1 δ (t) 1

2 1

1 —eJTS QQ

务T(t)=迟务(t _nT)

n 2 Z

几种常见函数的傅里叶变换及推导

傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。

1. 方波函数的傅里叶变换

方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：

f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...

其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：

F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...

其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。

2. 高斯函数的傅里叶变换 高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。根据高斯函数的定义，可以得到：

f(t) = e^(-αt^2)

其中，α是常数。根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：

F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))

高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。

3. 矩形函数的傅里叶变换

矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。假设矩形函数为f(t)，其宽度为2a，傅里叶变换为F(ω)。根据矩形函数的定义，可以得到：

常用傅里叶变换表

弧频次表示的 时域信号 说明 傅里叶变换

1 线性

2 时域平移

3 频域平移 , 变换 2 的频域对应

假如 值较大，则 会缩短

4 到原点邻近， 而 会扩

散并变得扁平 . 当 | a | 趋势

无量时，成为 Delta 函数。

傅里叶变换的二元性性质。 经过

5 互换时域变量 和频域变量获得 .

6 傅里叶变换的微分性质

7 变换 6 的频域对应 常用傅里叶变换表

表示 和 的卷积—这 8 就是卷积定理

9 矩形脉冲 和归一化的 sinc 函数

变换 10 的频域对应。矩形函数是理

10 想的低通滤波器， sinc 函数是这种滤波器对 反因果冲击的响应。

11 tri 是三角形函数

12 变换 12 的频域对应

高斯函数 exp( - αt 2) 的傅里叶

13 变换是他自己 . 只有当 Re(α) > 0

时，这是可积的。

14

15

16 a>0 常用傅里叶变换表

17 变换自己就是一个公式

δ( ω) 代表狄拉克 δ 函数散布 .

18 这个变换展现了狄拉克 δ 函数的重

要性：该函数是常函数的傅立叶变换

19 变换 23 的频域对应

20 由变换 3 和 24 获得 .

21 由变换 1 和 25 获得，应用了 欧拉公

式: cos( at ) = ( eiat + e - iat ) / 2.

22 由变换 1 和 25 获得

这里 , n 是一个自然数 . δ ( n) ( ω)

是狄拉克 δ 函数散布的 n 阶微分。

23 这个变换是依据变换 7 和 24 获得的。

将此变换与 1 联合使用，我们能够变

换全部多项式。

此处 sgn( ω) 为符号函数 ；注意此变

24

换与变换 7 和 24 是一致的 . 常用傅里叶变换表

25

26

27

28

34

变换 29 的推行 .

傅里叶变换常用公式

1.傅里叶变换定义：

F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt

2.傅里叶逆变换定义：

f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)

傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。

3.单位冲激函数的傅里叶变换：

F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dt

δ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为1

4.周期函数的傅里叶级数展开：

f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]

f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。

5.周期函数的傅里叶变换：

F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]

周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。

6.卷积定理：

FT[f*g]=F(w)G(w) f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。

卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。

7.积分定理：

∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw

积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。

8.平移定理：

g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)

平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。

9.缩放定理：

g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)

缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。

除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。