常用傅里叶变换表

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1

时域信号 弧频率表示的

傅里叶变换 注释

G⑴三3-叫

1 a • g(t) + b ・ h(t) iGV) + b・H(f) 线性

2 g(f — Q) 「如叮G(f) 时域平移

3 广勺(t) W) 频域平移，变换2的频域对应

4 g(at)

如果hl值较大，则g(m)会收缩

到原点附近，而间 丿会扩

散并变得扁平.当丨$丨趋向 无穷时，成为Delta函数。

5 G(t) 9(-f) 傅里叶变换的二元性性质。通过

交换时域变量t和频域变量3 得到.

6 別曲) dtn (i2nf)nG(f) 傅里叶变换的微分性质 百度文库•让每个人平等地捉升口我

2

7 ®t) ^yd-G(f)

(2开丿盼 变换6的频域对应

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3

8 (g * © (t) G(fW) g *九表示g和力的卷积一这 就是

9 red(at) R -诚(0 和归一化的

10 sine (at) M rec, (0 变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，是这类滤波器对冲 击的响应。

11 sine2 (at) 右'trl (0 tri是

12 tri (at)

变换12的频域对应

13 e~°^ /7T (“2

低•… exp( - a r)的傅里叶变换是他 本身.只有当Re(a) > 0时，这是 可积的。

14 cos(al2) W)

15 sin (at2) 卜(卓)

16 e-a|t| 2a 3>0 a2 H-47T2/2

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4

17 1 丽 1

丽 变换本身就是一个公式

18 1 6(f) 6（3）代表分布.这个变换展示了 狄拉克6函数的重要性：该函数是常 函数的傅立叶变换

19 5(0 1 变换23的频域对应

20 严 心） 由变换3和24得到.

21 cos(at) 灯-知+幻+刼

G⑴

1

2

3

g(M) 4 a a

5

6

7 2TT dtn 注释

5(0=|

盘・g⑴+ b・h(t\ 线性

QT如吋G(f) 曲一。） 时域平移

频域平移，变换2的频域对应

如果Ml值较大，则ggt）会收缩到原

会扩散并变得

b(-f)

阳刀切 傅里叶变换的微分性质

变换6的频域对应 弧频率表示的

傅里叶变换

傅里叶变换的二元性性质。通过交换

时域变量f和频域变量 3得到.

'用 G(f) 时域信号

「gg叫才

J _8

点附近，而kl

扁平.当| a |趋向无穷时，成为 Delta函数。

18 S ( 3 )代表狄拉克S函数分布• 这个变换展示了狄拉克S函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶变换

19 变换23的频域对应

20 由变换3和24得到.

21 cos(at)

22

23

24

25

26 sgn(t)

27 u(f) 咐-卸+刃十知 由变换1和25得到，应用了欧拉公

式：cos( at) = ( eiat + e - iat) / 2.

卩(于一薛)一d"十盏) 2i

-仙 *

Sgll：/)

一卅黑；

'唧(f)

"(刀 由变换1和25得到

这里,n是一个自然数.S (n)( 3 ) 是狄拉克S函数分布的n阶微分。 这个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。

此处sgn( 3)为符号函数；注意此变

换与变换7和24是一致的.

变换29的推广.

变换29的频域对应.

此处u(t)是单位阶跃函数；此变换

根据变换1和31得到. 28 厂％(幼 1

a + i2ir/

u(t)是单位阶跃函数，且a > 0.

34 £ - nT)

m=—ae

1 十E 6 丄

fe=— N)

狄拉克梳状函数 有助于解释或

理解从连续到离散时间的转变.

表6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系

连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对

重要 连续时间函数)(tf 傅里叶变换)(F 连续时间函数)(tf 傅里叶变换)(F 重要

√ 1 1 √

√

√

√ √

√ √

√

√

√

√

√

√

√

连续傅里叶变换性质及其对偶关系

连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对

重要 名称 连续时间函数)(tf 傅里叶变换)(F 名称 连续时间函数)(tf 傅里叶变换)(F 重要

√ 线性

√ 尺度比例变换

对偶性 √

√ 时移 频移 √

时域微分性质 频域微分性质 √

时域 频域 积分性质 积分性质

√ 时域卷积性质 频域卷积性质 √

√ 对称性 奇偶虚实性质 )(tf是实函数

希尔伯特变换

√ 时域抽样 频域抽样

√ 帕什瓦尔公式

取反----------取反

共轭----共轭取反

共轭取反---

简述傅里叶变换

傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。

一、 傅里叶变换的定义

傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。其定义是：

$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$

其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。

分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：

1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；

2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；

3. 积分变量是虚数u，表示频率； 4. 傅里叶变换是线性的。

二、傅里叶变换的性质

1. 时间移位性质

该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：

$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$

2. 频率移位性质

该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。

$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$

其中T是一个常数，表示频域移位的量。

3. 线性性质

傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：

$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$

其中a和b是任何常数。

4. 傅里叶变换的共轭对称性

傅里叶变换具有共轭对称性，即：

$$F^*(u) = F(-u)$$

5. 卷积定理

该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。即： $$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$