第6章 线性方程组迭代解法 参考答案
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第6章 线性方程组迭代解法 参考答案
一、选择题（15分，每小题3分)
1、(3) 2、(4) 3、(4) 4、(1) 5、(2)
二、填空题（15分，每小题3分）
1
、1a<
；2、2
2a<
；3
、1a<
；4、4
23+；5、Axb−
三、（9分）
解：
(1) 19.0
1<=B
，∴迭代法fBxx
kk+=
−1的收敛；--------------------（3分）
(2) B的特征值8.0,5.1=λ
，15.1)(>=Bρ
，∴迭代法fBxx
kk+=
−1发散；（6分）
(3) B的特征值19.0)(<=Bρ
，∴迭代法fBxx
kk+=
−1收敛。 ---------（9分）
四、（14分）
解：（1）Jacobi迭代法的分量形式
1
123
1
213
1
312122
2012
322()()()
()()()
()()();,,,kkk
kkk
kkkxxx
xxxk
xxx+
+
+⎧=−+
⎪
=−−=
⎨
⎪
=−−
⎩L
----------------------------------（2分）
Gauss-Seidel迭代法的分量形式
1
123
11
213
111
312122
2012
322()()()
()()()
()()();,,,kkk
kkk
kkkxxx
xxxk
xxx+
++
+++⎧=−+
⎪
=−−=
⎨
⎪
=−−
⎩L
---------------------------------（4分）
（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
1022
101
220()BDLU−−⎡⎤
⎢⎥
=+=−−
⎢⎥
⎢⎥−−
⎣⎦， --------------------------------（6分）
1230λλλ===
，01()Bρ=<
，Jacobi迭代法收敛 ------------------------（8分）
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
1022
023
002()GDLU−−⎡⎤
⎢⎥
=−=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦， --------------------------------（10分）
12302,λλλ===
，21()Bρ=>
，Gauss-Seidel迭代法发散------------------（12分）
（3）SOR迭代法的分量形式 11
1123
11
2213
111
33120515122
05152012
0515322()()()()
()()()()
()()()()..()
..();,,,
..()kkkk
kkkk
kkkkxxxx
xxxxk
xxxx+
++
+++⎧=−+−+
⎪
=−+−−=
⎨
⎪
=−+−−
⎩L
----------------------（14分）
五、（10分）
证明：由**
xBxg=+
与(1)()kk
xBxg+
=+
相减得()
(1)*()*kk
xxBxx+
−=−
反复递推得 ()
(1)*1(0)*kk
xxBxx++
−=−
---------------------------------（4分）
设矩阵B的对应于特征值λ
的特征向量为y，若取初始向量(0)*
xxy=+
，则
(1)*11kkk
xxByyλ+++
−==
--------------------------------（6分）
从而有
1
(1)*k
k
xxyλ+
+
−=
--------------------------------（8分）
因为1λ<
，所以(1)*lim0k
kxx+
→∞−=
，即(1)k
x+
收敛到*
x
。 --------------（10分）
六、（14分）
解：容易验证系数矩阵A是正定矩阵。取解的初始近似向量为()
T
x0,0,0)0(
=
，用共轭梯度法
迭代，计算结果如下：
00
113()()
(,,)T
rbAx=−=
，00
113()()
(,,)T
pr==
-------------------------------（2分）
第1次迭代：
()
()00
0
001
3()()
()(),
,rr
pApα==
100
011
, , 1
33()()()T
xxpα⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎝⎠
100
0242
, , -
333()()()T
rrApα⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
()
()11
0
008
33()()
()(),
,rr
rrβ==
110
010522
, ,
113333()()()T
prpβ⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎝⎠-----------------------------------------（6分）
第2次迭代：
()
()11
1
1111
25()()
()(),
,rr
pApα==
2211
1117777
, ,
157575()()()T
xxpα⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎝⎠
211
11482
, -, -
252525()()()T
rrApα⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
()
()22
1
1199
625()()
()(),
,rr
rrβ==
221
1884444
, -, -
125625625()()()T
prpβ⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎝⎠ --------------------------------（10分）
第3次迭代：
()
()22
2
2225
66()()
()(),
,rr
pApα==
()
322
21, 1, 1()()()T
xxpα=+=
()
322
20, 0, 0 ()()()T
rrApα=−=
迭代结束，得到方程组的解：()
1.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000T
x=
。------（14分）
七、（10分）
证明：λ
是H的任一特征值，u
是相应的特征向量，则Huuλ=
，从而
()()()
()()()
2
1TTTT
T
TTuAHAHuuAuuHAHuuAuHuAHu
uAuuAuuAuλλλ−=−=−
=−=−---------------（4分）
由于A和AHAH−
都正定， --------------------------------（6分）
所以()()
2
10TT
uAHAHuuAuλ−=−>
，0T
uAu>
-----------------------（8分）
故2
10λ−>
，1λ<
，()
1Hρ<
，所以题中结论成立。---------------------------（10分）
八、（15分）
解：(1) ()
1BDLU−=+
， --------------------------------（2分）
B的特征方程为
()()()()
()
11
detdetdetdet0IBIDLUDDLUλλλ−−
−=−+=−−=
即()
det0DLUλ−−=
. --------------------------------（5分）
(2) ()1
GDLU−
=−
， --------------------------------（7分）
G的特征方程为
