1 / 12 第一章 绪论
1. x＝n21kaaa.010，如果｜x－x|≤0.5nk10（这里n是使此式成立的最大正整数），则称x为x的具有n位有效数字的近似值。
2．定理：设x的近似值x有（1-1）的表示式：
（１）如果x有n位有效数字，则
n1110a21|x||xx|
（２）如果n1110)1a(21|x||xx|，则x至少有n位有效数字。
第二章 非线性方程根求解
1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使f()=0。
2.二分法的误差： |1k1kkk2ab|xx||xx
3. 局部收敛性：设是f(x)=0的根，若存在的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列{kx}收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。
4. 收敛速度：设ix为第i次迭代值，是f(x)=0的根，令iix，且假设迭代收敛，即iixlim。若存在实数P1，使 c||||limpi1ii0 ，则称此方法关于根具有P阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。
5.牛顿迭代法：)x(f)x(fxxkkk1k
定理3：如果方程f(x)=0的根是单根，且在的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的
且 )(f2)(flim2i1ii（即具有二阶收敛速度）
定理4：如果是方程f(x)=0的r重根（r>1），且f(x)在的某邻域内具有r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。
1 第一章 绪论
习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算.
1 若误差限为5105.0，那么近似数0。003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算)
3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值,问ba，ba有几位有效数字?（有效数字的计算)
4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差?（误差的计算)
5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r时允许的相对误差限为多大？(函数误差的计算）
8 设101dxexeIxnn，求证：
（1）)2,1,0(11nnIInn
(2）利用（1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值）
2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若),...1,0(njxj为互异节点,且有
)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl
试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj.（拉格朗日插值基函数的性质)
1 第一章 绪论
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？（有效数字的计算）
4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？（误差的计算）
5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）
6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）
8 设101dxexeIxnn，求证：
（1）)2,1,0(11nnIInn
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）
2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
3 若),...1,0(njxj为互异节点，且有
)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl
试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）
1
数值分析知识点总结
说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论
1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？
相对误差限：**rre的一个上界。
有效数字：如果近似值*x的误差限是某一位的半个单位，该位到*x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。即x*=±10m×(a1+a2×10-1+…+an×10-(n-1))，其中a1≠0，并且*11102mnxx。其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m值为0，n值为3，绝对误差限*211102。
2. 一个比较好用的公式：
f(x)的误差限：***()'()()fxfxx
例题：
2
二、第2章 插值法
例题：
3
4
5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？
6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
5
7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？
8. 三弯矩法：
为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：
对于第一种边界条件，可导出两个方程：
6 ，那么写成矩阵形式：
公式 1
对于第二种边界条件，直接得端点方程：
，则在这个条件下也可以写成如上公式 1的形式。
对于第三种边界条件，可得：
也可以写成如下矩阵形式：
公式 2
求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）
例题：数值分析 第5版 清华大学出版社 第44页例7
7
三、第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
3. 什么是[a,b]上带权()x的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？
8
4. 什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
5. 用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?
