本科实验报告
课程名称： 数值计算方法B
实验项目： 线性方程组的迭代解法
实验地点： ZSA401
专业班级： 软件 学号： ******
学生姓名：
指导教师： **
2012年 4月 5日
线性方程组的迭代解法
一、实验目的和要求
实验目的：使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对方程组进行求解。
实验要求：选择上述方法中的一种方法求方程组：
的解。
二、实验内容和原理
实验内容：用雅克比迭代法编写求解方程组 ：
的根的程序。
实验原理：使用牙科比的迭代公式：X^(k+1)=B1X^(k)+f1 ,用向量的分量表示为：
Xi^(k+1)=1/aii([bi-aijXj^(k)]{i=1,2,3,…,n;k=0,1,…}
三、主要仪器设备
使用的计算机：HP ProBook 6450b、软件环境:Win-TC
四、操作方法与实验步骤
#include "Stdio.h"
#include "math.h"
#define N 3
main()
{
double a[N][N+1],b[N],b1[N];
int i,j;
for(i=0;i
{
for(j=0;j<=N;j++)
{ 2.453.82102.7210321321321xxxxxxxxx2.453.82102.7210321321321xxxxxxxxx scanf("%lf",&a[i][j]);
}
第２９卷第５期
２０１３年１０月 大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２９。№．５
０ｃｔ．２０１３
病态线性方程组新的Ｊａｃｏｂｉ迭代解法
孔祥强
（菏泽学院数学系，山东菏泽２７４０００）
［摘 要］给出了解病态线性方程组的一种新的Ｊａｃｏｂｉ迭代算法，并证明了算法的收敛性；通过具体算例
说明了算法的实用性和有效性．
［关键词］迭代法；病态方程组；广义严格对角占优矩阵 ［中图分类号］Ｏ２４１．６ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１３）０５—００５０—０５
Ｊａｃｏｂｉ迭代法是解线性方程组的一种有效方法，它具有存储量小、程序简单的特点．但当方程组的
系数矩阵为病态时，该方法不再适用．本文给出了一类全新的Ｊａｃｏｂｉ迭代算法，从而改进和推广了一些
已有的结果．
１ Ｊａｃｏｂｉ迭代法
设Ａ∈ ，且Ａ为非奇异矩阵，ｂ Ｅ ，线性代数方程组Ａｘ—ｂ有解的一阶定常迭代法 ”
一Ｂｘ ＋ｆ ，其中Ｂ一（６ ）Ｅ ．记Ｊ为Ｊａｃｏｂｉ法的迭代矩阵，则Ｊ—Ｄ （Ｌ＋【，），式中
Ｄ＝＝ ． ］，
Ｊａｃｏｂｉ迭代法的矩阵形式为
分量形式为 Ｌ＝：—— ａ２ｌ ０ ｉ
ａ ．１ … ａ 一ｌ ０
ｘ‘蚪 ）一Ｄ一 （Ｌ＋Ｕ）ｘ ＋Ｄ～ｂ， ０ ａ１２ … ａｌ
一（６ 一∑ｎ ｚ ）／ｅ （ ，Ｊ：１，２，…， ）． Ｊ≠ｉ
２新的Ｊａｃｏｂｉ迭代法及收敛性证明
变为 ｎ，广１．”１ ０ ｌ
（１）
（２）
设Ａｘ—ｂ，其中Ａ非奇异且病态．令Ａ—Ｄ＋Ｍ，则Ｄｘ＋ 一ｂ，在两边同时加上ｏｊＦｘ，∞＞０，
迭代格式为
其中Ｄ同前， （Ｄ＋ｃ ） 一ｂ＋（ｃ 一Ｍ）Ｘ．
抖 一（Ｄ＋ｏｏＦ）１［ ＋（ｏＪＦ—Ｍ）ｘ ］， （３）
［收稿日期］２０１１－１２—２９ ［基金项目］２０１１年山东省统计局重点课题项目（ＫＴｔ１０４８）；２０１１年山东省教育科学“十－－／５１”规划重点课题项目
数值分析复习资料
一、重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法
1）二分法的基本原理，误差：~12kbax
2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，
②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有
则对任意初值0,xab迭代收敛，且：
110111iiiiixxxllxxxl
定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）
4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛
5）Newton迭代法收敛定理：
设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：
①：()()0fafb；
②：'()0,,fxxab；
③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；
则Newton迭代法收敛于根。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx
收敛阶：152P
7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改
①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）
②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。
第７卷第１４期２００７年７月 科学技术与工程 １６７１．１８１９（２００７）１４—３３５７－０８ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ＥＩｌｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．７ Ｎｏ．１４ Ｊｕｌｙ ２００７ ＠２００７ Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．
线性方程组的迭代解法
李爱芹
（山东交通学院数理系，济南２５００２３）
摘要线性方程组的数值求解常见于许多科学与工程计算领域，介绍了求解大型线性方程组的主要迭代算法。首先，对一
些经典迭代法（Ｊａｃｏｂｉ方法、Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ方法、ＳＯＲ方法、ＳＳＯＲ方法和ＣＧ方法等）进行了详细的讨论，并从理论上对收敛性 进行分析。其次，讨论了最新的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ／Ｓｋｅｗ—Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ（ＨＳＳ）迭代理论，给出了迭代公式和收敛性定理。最后，通
过数值实验对所有迭代法的有效性进行了验证。 关键词迭代法 线性方程组 共轭梯度法ＨＳＳ迭代方法
中图法分类号Ｏ２４１．６； 文献标识码Ａ
在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多
的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进
行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ａ
ｂ的大型线性方程组。２０世纪５０年代至７０年
代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在
计算机上用迭代法求线性方程组Ａ ＝ｂ的近似解，
用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多
非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储
单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中
始终不变等优点。例如Ｊａｃｏｂｉ方法、Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ
方法、ＳＯＲ方法、ＳＳＯＲ方法，这几种迭代方法是最
常用的一阶线性定常迭代法。
大量偏微分方程的离散形式是大规模线性代数
方程组，其数值计算是科学工程计算的核心，占有绝
大部分的总体运算时间，解大规模稀疏线性方程组
的Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法显示出与众不同的有效性。
当矩阵是对称正定时，常用的方法是具有短递推的
