【高考真题】2016年高考真题--北京卷数学(理)(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

理科数学（含解析）

第Ⅰ卷

一、选择题本大题共8个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2016·北京，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝( )

A．{0,1} B．{0,1,2}

C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}

2．(2016·北京，2)若x，y满足 2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为( )

A．0 B．3 C．4 D．5

3．(2016·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．(2016·北京，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．(2016·北京，5)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则( )

A.1x－1y＞0 B．sin x－sin y＞0

C.12x－12y＜0 D．ln x＋ln y＞0

6．(2016·北京，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

A.16 B.13 C.12 D．1

7．(2016·北京，7)将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )

A．t＝12，s的最小值为π6

B．t＝32，s的最小值为π6

C．t＝12，s的最小值为π3

D．t＝32，s的最小值为π3

8．(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(共6个小题每小题5分)

9．(2016·北京，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.

10．(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．

11．(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________.

12．(2016·北京，12)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

13．(2016·北京，13)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.

14．(2016·北京，14)设函数f(x)＝ x3－3x，x≤a，－2x，x＞a.

(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；

(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

15．(2016·北京，15)(本小题满分13分)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.

(1)求∠B的大小；

(2)求2cos A＋cos C的最大值．

16．(2016·北京，16)(本小题满分13分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

A班 6 6.5 7 7.5 8

B班 6 7 8 9 10 11 12

C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

(1)试估计C班的学生人数；

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)．

17．(2016·北京，17)(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.

(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M；使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．

18．(2016·北京，18)(本小题满分13分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

19．(2016·北京，19)(本小题满分14分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

20．(2016·北京，20)(本小题满分13分)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

(1)对数列A：－2,2，－1,1,3，写出G(A)的所有元素；

(2)证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G(A)≠∅；

(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2,3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.

答案解析

1.解析 A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－2＜x＜2}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．

答案 C

2.解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由 2x－y＝0，x＋y＝3，得 x＝1，y＝2，所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.

答案 C

3.解析 k＝0，b＝a＝1，

第一次循环：a＝－11＋1＝－12≠1，k＝0＋1＝1；

第二次循环：a＝－11－12＝－2≠1，k＝1＋1＝2；

第三次循环：a＝－11－2＝1，满足a＝b，输出k＝2.

答案 B

4.解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．

答案 D

5.解析 函数y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1x＜1y，即1x－1y＜0，A错；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不是单调函数，B错；函数y＝12x在(0，＋∞)上单调递减，所以12x＜12y，即12x－12y＜0，所以C正确；ln x＋ln y＝ln xy，当x＞y＞0时，xy不一定大于1，即不一定有ln xy＞0，D错．

答案 C

6.解析 由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h＝1，

又底面积S＝12×1×1＝12.

所以体积V＝13Sh＝16.

答案 A

7.解析 点Pπ4，t在函数y＝sin2x－π3的图象上，

则t＝sin2×π4－π3＝sinπ6＝12.

又由题意得y＝sin2x＋s－π3＝sin 2x，

故s＝π6＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为π6.

答案 A

8.解析 取两个球往盒子中放有4种情况：

①红＋红，则乙盒中红球数加1；

②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；

③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；

④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上选B.

答案 B

9.解析 (1＋i)(a＋i)＝a＋i＋ai＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，由复数对应点在实轴上得a＋1＝0，解得a＝－1.

答案 －1

10.解析 展开式的通项Tr＋1＝Cr6·16－r·(－2x)r＝Cr6(－2x)r.令r＝2得T3＝C26·4x2＝60x2，即x2的系数为60.

答案 60

11.解析 直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.

圆心坐标为(1,0)，半径r＝1.

点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.

答案 2

12.解析 ∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.

又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6.

答案 6

13.解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．

∵四边形OABC为正方形且边长为2，

∴c＝|OB|＝22，

又∠AOB＝π4，

∴ba＝tanπ4＝1，即a＝b.

又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

答案 2

14.解析 (1)当a＝0时，f(x)＝ x3－3x，x≤0，－2x，x＞0.

若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．

由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.

所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1,0]上单调递减，所以f(x)最大值为f(－1)＝2.

若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0.

所以f(x)的最大值为2.

(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图．

由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.