【数学】2017年高考真题——北京卷(文)(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1）已知UR,集合{|22}Axxx或,则UA(）

A。(2,2)

B。(,2)(2,)

C.[2,2] D。(,2][2,)

(2）若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）

A。(,1) B。(,1)

C。(1,) D.(1,)

(3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为(）

A.2 B。32

C。53 D.85

（4)若,xy满足3,2,,xxyyx则2xy的最大值为(）

A。1 B.3

C。5 D。9

(5）已知函数1()3()3xxfx，则()fx（)

A.是偶函数，且在R上是增函数

B。是奇函数，且在R上是增函数

C。是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是增函数

（6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（)

A。60 B。30

C.20 D。10

(7)设m， n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n〈0"的(）

A。充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件

(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（）

（参考数据：lg3≈0.48)

A。1033 B。1053C。1073 D。1093

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=13，则sin=_________．

（10）若双曲线221yxm的离心率为3,则实数m=__________．

（11）已知0x,0y,且x+y=1，则22xy的取值范围是__________．

(12）已知点P在圆22=1xy上，点A的坐标为(-2，0）,O为原点，则AOAP的最大值为_________．

（13)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c,则a+b>c"是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．

（14)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:

（ⅰ)男学生人数多于女学生人数;

（ⅱ)女学生人数多于教师人数;

(ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

(15）（本小题13分)

已知等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=1，a2+a4=10,b2b4=a5．

（Ⅰ）求na的通项公式；

（Ⅱ)求和：13521nbbbb．

（16）（本小题13分)

已知函数()3cos(2)2sincos3fxx-xx。

(I）f（x)的最小正周期；

(II）求证：当[,]44x时，12fx．

（17）（本小题13分)

某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），［30，40），…，［80,90]，并整理得到如下频率分布直方图:

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间［40，50）内的人数;

(Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

（18)（本小题14分） 如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点,E为线段PC上一点．

(Ⅰ）求证：PA⊥BD；

（Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

（19）（本小题14分）

已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0），焦点在x轴上,离心率为32．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N,过D作AM的垂线交BN于点E。求证:△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

（20)（本小题13分）

已知函数()ecosxfxxx．

（Ⅰ)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；

（Ⅱ)求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．

参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

（1)【答案】C

【解析】因为22Axxx或，所以22UAxx，故选C.

（2）【答案】B

【解析】1ii11izaaa，因为对应的点在第二象限，

所以1010aa，解得:1a，故选B。

(3）【答案】C

（4)【答案】D

【解析】如图，画出可行域，

2zxy表示斜率为12的一组平行线,当过点3,3C时，目标函数取得最大值max3239z，故选D.

(5）【答案】B

【解析】113333xxxxfxfx，

所以函数是奇函数,并且3x是增函数，13x是减函数，

根据增函数—减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A。

（6）【答案】D

【解析】该几何体是三棱锥，如图:

图中红色线围成的几何体为所求几何体，

该几何体的体积是115341032V,故选D.

(7）【答案】A

【解析】若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，

那么0cos1800mnmnmn，

反过来，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，并不一定反向,

即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A。

(8)【答案】D

【解析】设36180310MxN,两边取对数，

36136180803lglglg3lg10361lg38093.2810x,

所以93.2810x,即MN最接近9310，故选D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9）【答案】13

【解析】1sinsin(π)sin3。

(10）【答案】2

【解析】1321mm。

（11)【答案】[12,1]

【解析】22222(1)221,[0,1]xyxxxxx，

所以当01x或时,取最大值1；当12x时,取最小值12；

因此取值范围为1[,1]2

（12）【答案】6

【解析】||||cos||||2(21)6AOAPAOAPAOAP.

所以最大值是6.

（13）【答案】—1，—2，—3

【解析】123,1(2)3。

(14）【答案】6，12

【解析】设男生数，女生数，教师数为,,abc,则2,,,cabcabcN

第一小问：max846abb

第二小问：min3,635,412.cabababc

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)解：（I)设公差为d，11310dd，所以2d,

所以1(1)21naandn。

（Ⅱ）设nb的公比为q,2b。4b=5a93qq,所以32q

所以2-1nb是以11b为首项,321qq为公比的等比数列，

所以1-2531nbbbb＋＋＋＋21331)31(1nn。

（16)

(17）

（18)证明：(Ⅰ）,PAABPABC，

AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，

PA平面ABC，BD平面ABC,PABD；

（Ⅱ）ABBC，D是AC的中点,

BDAC，

由（Ⅰ）知PA平面ABC，PA平面PAC,

平面PAC平面ABC,

平面PAC平面ABCAC，