2导数与不定积分

定积分和不定积分的历史联系

这两个东西在概念上的联系我困扰了我好一阵子，因为他们在高数书上的反映这两个部分完全是两个概念，不定积分只是一种运算方式，而定积分是微分的逆向思维。

后来，看到这么一个帖子内容才有所明白其中的缘由~~

定积分和不定积分在几何意义上没有任何关系，但有牛顿莱布尼茨公式中所表示的代数关系。为什么？难道是一种巧合吗？

历史的发展应该是这个样子的，先是黎曼提出了黎曼积分，也就是定积分的概念。然后牛顿和莱布尼茨发现了那个公式，揭示了定积分和原函数之间的关系。下面的问题是怎么计算原函数，牛顿和莱布尼茨又根据原函数提出了不定积分的概念。之所以命名为不定积分就是根据那个公式。所以定积分和不定积分并不是共同出生的一对孪生兄弟，只是后人根据牛莱公式给原函数族起了一个和定积分相似的名字。

微分思想是无限分割，积分思想是无限累加。但这指的应该是定积分，不定积分体现不出来这种思想，因为它根本就不是积出来的。从数学思想上，微分和定积分才是互逆的。不定积分和导数是互逆运算，不表示它和微分也是互逆运算。微分用导数来表示，只是一个计算得出的结果，从定义中推不出来。所以说微分是不定积分的逆运算并不准确，它们形似而神非。

第二章 导数与不定积分

1．若函数)(xfy有21)(0xf，则当0x时，在点0xx处的微分dy是（ ）

（A） 与x等价无穷小；（B）与x同阶无穷小；但不是等价无穷小；

（C） 比x高阶无穷小；（D）比x低阶无穷小

2．若)()(xgxfdxd，2)(xxh，则)(xhfdxd（ ）

（A） )(2xg； （B）)(2xxg； （C）)(22xgx； （D）)(22xxg

3．设函数f (x)在x = a处可导，则函数| f (x)|在x = a处不可导的一个充分条件是 。

(A) f (a) = 0, 且f (a) = 0； (B) f (a) = 0, 且f (a)  0；

(C) f (a) > 0, 且f (a) > 0； (D) f (a) < 0, 且f (a) < 0.

4．设xaxxf，而axx在)(连续但不可导，则axxf在)(处（ ）。

（A）连续但不可导； （B）可能可导，也可能不可导；

（C）仅有一阶导数； （D）可能有二阶导数。

5．设f(x), g(x)都是可导函数,且)()(xgxf,则当x>a时,有( ).

(A) ).()()()(agxgafxf (B) ).()()()(agxgafxf

(C) ).()()()(agafxgxf (D) ).()()()(agafxgxf

6．设2)(aaf，0ax 则axafxfaxlnln)()(lim

7． 设0x，则22()2xxeed______________()dx

8．设2arcsin22tancostyttxt求dxdy在0t处的值。

9．1111xxxxy 求y

高等数学导数、微分、不定积分公式

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一、基本导数公式：

''1'''''''2'2'''2'2'21.2.3.ln4.15.logln16.ln7.sincos8.cossin9.tansec10.cotcsc11.secsectan12.csccsccot113.arcsin1114.arccos1115.arctan11nnxxxxakxkxnxaaaeexxaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'216.acot1rcx 二、基本微分公式：

12221.2.3.ln4.15.ln16.logln7.sincos8.cossin9.tansec10.cotcsc11.secsectan12.csccsccot113.arcsin114.arccosnnxxxxadkxkdxnxdxdaaadxdeedxdxdxxdxdxxadxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdxdxdxxdx22211115.arctan1116.cot1dxxdxdxxdarcxdxx高等数学导数、微分、不定积分公式

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三、不定积分基本公式：

11.2.13.14.ln15.ln||6.sincos7.cossin8.tanln|cos|9.cotln|sin|10.cscln|csccot|11.secln|sectan|nnxxxxkdxkxcxxdxcnedxecadxacadxxcxxdxxcxdxxcxdxxcxdxxcxdxxxcxdxxxc

2232121311xdxxcxdxxcdxcxx

专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系

注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数为区间上的连续函数，设()fx[,]ab

为区间上的一定点，积分，（这里的积分变量用表示而没有用表

0x[,]ab

0()x

xftdt[,]xabtx

示，主要是为了避免与积分上限产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，x

即）定义了一个函数，令为，，且

000()()()xxx

xxxftdtfudufxdx

0()()x

xxftdt[,]xab

有

0()(())()x

xxftdtfx

由原函数的定义及可知，函数即为在区间

0()(())()x

xxftdtfx()x

0()x

xftdt()fx

上的一个原函数，那么在区间上的不定积分（即在区间上的全体原函[,]ab()fx[,]ab()fx[,]ab

数）可以表示为：，，为任意常数。

0()()x

xfxdxftdtC[,]xabC

所以，求函数在区间上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()fxI

求出，也可以用定积分的方法求出。()fxdx

0()x

xftdtC