两条直线的夹角

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. v . 11.3(2) 两条直线的夹角

教学目标设计

理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力

教学重点及难点

理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.

教学用具准备

多媒体设备

教学流程设计

一、复习引入

1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交点的坐标〔课本p16例1〕．

〔1〕01243:1yxl， 01127:2yxl； 课堂小结并布置作业 两条直线的夹角公式 两条直线夹角的定义 两直线的夹角 复习引入

运用与深化(例题解析、稳固练习) . .

. v . 〔2〕01243:1yxl， 3:2xl；

〔3〕01243:1yxl， 0586:2yxl．

解：〔参考课本p16~17〕

[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.

思考并答复以下问题

1．〔对于上述〔1〕、〔2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞来描述两条直线的相对位置呢.

教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.

解答：两条直线的夹角.

2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么.

解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形〔如右图〕．

[说明]在复习旧知的根底上引人新课.

二、学习新课

关于两直线的夹角

1、概念形成

两条直线的夹角

如右图，两条直线相交，一共构成几个角.它们有什么关系.怎样定义两条直线的夹角呢.

平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比拟简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.

如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的. .

. v . 夹角的取值围是2,0 ，而两条相交直线夹角的取值围是〔]2,0.

现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢.

[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲

2、夹角公式的推导

分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.

[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.

设两条直线的方程分别为

1l：0111cybxa〔11,ba不全为零〕

2l：0222cybxa〔22,ba不全为零〕.

设1l与2l的夹角为，1l与2l的一方向向量分别为1d与2d，其夹角为，且1d=),(11ab,2d=),(22ab，

当]2,0[时，那么如图甲所示;当],2(时，那么,如图乙所示. . .

. v . 于是得:2222212121212121|||||||||cos|cosbababbaadddd.

即为直线1l与2l的夹角公式.

特别地,当且仅当02121bbaa时,1l与2l的夹角为2,即1l与2l垂直.也就是说:1l2l1d垂直2d1n垂直2n02121bbaa(其中1n,2n分别为1l与2l的一个法向量)

而由02121bbaa,易得当0,021bb时,有12211baba,即当两条直线的斜率都存在时,1l与2l垂直的充要条件是,121kk其中21,kk分别为直线1l与2l的斜率.

[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的围是2,0.后者的围是],0[,因此必须考虑两种情况]2,0[与],2(;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.

3、例题分析

例1：〔回到引例〕求以下各组直线的夹角：

〔1〕01243:1yxl， 01127:2yxl；

〔2〕01243:1yxl， 3:2xl；

解：设1l与2l的夹角为，那么由两条直线的夹角公式得

(1),9651932712743|)12(473|cos2222

96519327arccos即为所求;

(2)53arccos,530143|0)4(13|cos2222即为所求.

[说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉. .

. v . 夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l的倾斜角43arctan,得出1l与2l的夹角为43arctan2〕．

例2：假设直线1l：313xay与2l：01)1(2yax互相垂直，数a的值.〔补充〕

解：先把直线1l的方程化为一般形式1l：013yax.

∵两直线垂直,∴0)1(32aa，∴53a为所求．

[说明]通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．

例3：直线l过点)1,4(P，且与直线013:yxm的夹角为10103arccos，求直线l的方程.(补充)

解：〔方法一〕设l的方程为0)1()4(ybxa〔其中),(ban为l的一法向量〕，那么,10103)1(3|3|2222baba即|3|322baba

化简为0)43(bab 解方程，得bab43,0

当0b时，那么0a，此时方程为4x

当043ba时，方程为0)1(3)4(4yx，即01934yx

综上, l的方程是4x或01934yx.

〔方法二〕设点斜式，按直线l的斜率是否存在分两类讨论

① 假设直线l的斜率不存在，那么过点)1,4(P直线l的方程为4x，设它与直线013:yxm的夹角，那么

10103arccos,101030113|0)1(13|cos2222，满足题意. . .

. v . ②假设直线l的斜率存在，那么设直线l的方程为)4(1xky,即014kykx,设它与直线013:yxm的夹角，那么

那么,10103)1(3)1(|13|2222kk即|13|132kk,解得34k, 所以直线l的方程为)4(341xy,化简得01934yx,

由①②可知,l的方程是4x或01934yx.

[说明]①启发学生探讨“求过某定点P，且与直线夹角为的直线方程〞这类根本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.假设设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢.让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3，本例为10103arccos，目的让学生熟悉反三角的表示.

例4：ABC的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(CBA

(1)求ABC中A的大小;(2)求A的平分线所在直线的方程. 〔补充〕

解:〔1〕方法一:直线AB的方程为:1y，

直线AC的方程为:0534yx,

设它们的夹角为,又A为锐角,所以A=，

那么53arccos,53cosAA即为所求; . .

. v . 方法二:数形结合,因为34arctan,34,0AkkACAB即为所求.

〔2〕方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(ybxa，即02babyax.由角平分线与两边ACAB,成等角，运用夹角公式得

解得 baba22或,由题意,舍ba2

所以角平分线的方程为：02yx.

方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tankAk），舍或, 又它过点〔2，1〕，

所以，角平分线的方程为：02yx

[说明]①稳固提高.因为此题中,直线AB的方程为:1y,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的根本方法.

②小题〔1〕,求三角形的角,一般先求过A的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形角或其补角；

③小题〔2〕,注意结合图形,正确取舍.

三、稳固练习

练习11.3〔2〕----1,3

四、课堂小结

1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；