高中数学必修一集合教案

集合的概念

（一）有关概念:

1、集合的概念

（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.

（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

2、元素与集合的关系

[

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa

要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.

3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.

（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.

（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.

4、集合分类

根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：

…

（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

注：应区分，}{，}0{，0等符号的含义

5、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合.记作Z

]

（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q

（5）实数集：全体实数的集合.记作R

注：（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

集合的表示

几种特殊的数集

]

常用数集 简称 记法

全体非负整数的集合 非负整数集(或自然数集) N

非负整数内排除0的集合 正整数集 ·

NN或*

全体整数的集合 整数集 Z

全体有理数的集合 有理数集 Q

全体实数的集合 ！

实数集 R

（5）元素与集合之间的关系

（6）集合的表示方法

①列举法 如：｛a,b,c｝

|

注意：元素之间用逗号隔开，列举时与元素的次序无关

比较集合｛a,b,c｝和｛b, a,c｝引出集合相等的定义

定义：集合相等

②描述法 格式：｛x|p(x)｝的形式

如：｛x| x﹤-3，xR｝

`

观察下列集合的代表元素

Ⅰ、｛x|y=x2｝ Ⅱ、｛y |y=x2｝ Ⅲ、｛(x, y) |y=x2｝

③Venn图示法 如：“book中的字母” 构成一个集合

(7)集合的分类：按元素个数可分为

3、例题

例1.⑴求不等式2x-3＞5的解集

、

⑵求方程组10yxyx解集

⑶求方程012xx的所有实数解的集合

⑷写出012x的解集

例2.已知集合A=｛2,22aaa｝，若4A，求a的值

例3. 已知M=｛2,a,b｝N=｛2a,2,2b｝且M=N，求a,b的值

例4.已知集合A=｛x|Raxax,0122｝,若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素。

变题：若A中至多只有一个元素，求a的值

巩固练习

1. !

2. 已知-3A，且A=｛1,3,12mmm｝（*Nm），求m的值。

3. 设Rba,，若集合｛aba,,1｝=｛bab,,0｝，求ab的值

4. 设集合P=｛1，2，3，4｝，Q=｛Rxxx,2|｝，求由P与Q的公共元素组成的集合集合间的基本关系

集合的基本关系

一、 新课教学

（一） 集合与集合之间的“包含”关系；

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

-

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 b,o,k

记作：)(ABBA或

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A

当集合A不包含于集合B时，记作A B

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

)(ABBA或

（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；

ABBA且，则BA中的元素是一样的，因此BA

即

ABBABA

—

练习

结论：

任何一个集合是它本身的子集

（三） 真子集的概念

若集合BA，存在元素AxBx且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。

记作：A B（或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

)

举例（由学生举例，共同辨析）

（四） 空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：

规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五） 。

（六） 结论：

○1AA ○2BA，且CB，则CA

（七） 例题

（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；

提高作业：

○1 已知集合}5|{xaxA，xxB|{≥}2，且满足BA，求实数a的取值范围。 

》

B A

○2 设集合}{}{}{矩形平行四边形四边形，C，BA，}{正方形D，试用Venn图表示它们之间的关系。

?

集合的基本运算

1. 并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）

记作：A∪B 读作：“A并B”

即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

:

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题（P9-10例4、例5）

(

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

2. 交集

考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗

（1）A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8};

(2) A={x|x是我校在校的女同学},

B={x|x是我校的高一级同学},

C={x|x是我校的高一级女同学}.

】

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。

记作：A∩B 读作：“A交B”

即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

【

A∪B B A

例题（P9-10例6、例7）

|

拓展：并集与交集的性质

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，

记作：CUA

即：CUA={x|x∈U且x∈A}

补集的Venn图表示

AUCUA 说明：补集的概念必须要有全集的限制

例题（P12例8、例9）

4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

集合基本运算的一些结论：，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

若A∩B=A，则AB，反之也成立

若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

练习：判断正误

（1）若U={四边形}，A={梯形}，

则CUA={平行四边形}

（2）若U是全集，且AB，则CUACUB

（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=

2. 设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3}

且CBA={5}，求实数a的值。

3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，

非空集A={xU|x2-5x+q=0}，

求CUA及q的值。