北师大版八年级数学上册第四章《一次函数》教案

1 / 32 第四章 一次函数

1 函数

1.认识变量、常量，并学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.逐步感知变量之间的关系.

2.了解函数的三种表达方式.

3.经历观察、分析、思考等数学活动，发展合情推理，有条理、清晰地阐述自己的观点.

4.让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

【教学重点】

认识变量、常量，用式子表示变量间的关系.

【教学难点】

用含有一个变量的式子表示另一个变量.

一、创设情境，导入新课

教材第75页内容.

【教学说明】用学习身边熟悉的娱乐活动引入，提出问题引发思考，激发了学生强烈的求知欲望.

二、思考探究，获取新知

函数的概念.

做一做并思考：

教材第76页“做一做”.

【教学说明】学生通过观察、思考、探究的形式，体会当一个变量变化，另一个量也随之发生变化的过程，为下面理解函数的概念做了充分准备.

【归纳结论】在上面的案例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.

一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一2 / 32 个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.

函数的表示方法一般有：列表法、关系式法和图象法.

讨论：上述问题中，自变量能取哪些值？

【教学说明】不同的学生可能答案不一样.但是这是一个实际问题，自变量要符合本题的实际意义，不能认为是任意实数.

【归纳结论】对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的函数值.

三、运用新知，深化理解

1.现将500本笔记本捐助给贫困学生，每人5本，写出余下的笔记本数y（本）和学生数x（名）之间的关系式为 ，自变量x的取值范围是 .

2.某型号的汽车在路面上的制动距离s=v2/256，其中变量是（ ）

A.s,v B.s,v2 C.s D.v

3.写出下列问题中满足的关系式，并指出各个关系式中哪些是常量，哪些是变量？

（1）用总长为6m的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S与另一边长x之间的关系式；（2）用总长为l的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60m2，求l与x之间的关系式.

【教学说明】让学生独立做，加强对函数及有关概念的理解，教师通过学生反馈的信息了解他们掌握知识的情况，及时处理学生中的疑难问题并加强训练.

【答案】1.y=500-5x，0≤x≤100且x为整数；

2.A 3.（1）S=x（3-x）=3x-x2，其中3是常量，x、S是变量；（2）l=2（60/x+x），其中60、2是常量，l、x是变量.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾函数、变量、常量、函数值等概念.

2.通过本节课的学习，谈谈你有什么收获？还有哪些不足？请与同学交流.

【教学说明】教师引导学生回顾本课有关知识点，学生大胆发言，对知识进行归纳整理，有助于消化理解. 3 / 32

1.布置作业：习题4.1第1、2题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

函数是学生接触的最新鲜的事物，不容易理解.在教学的过程中，要通过案例不断让学生去体会函数的意义，便于今后的实际运用. 4 / 32 2 一次函数与正比例函数

1.掌握一次函数与正比例函数的一般形式并学会判断.

2.知道一次函数与正比例函数之间的关系，能利用一次函数和正比例函数解决实际问题.

3.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.

4.利用学生独立思考、合作探究的学习形式培养学生科学的思维方法和良好的学习习惯.

【教学重点】

一次函数与正比例函数的概念

【教学难点】

利用一次函数与正比例函数的关系式解决实际问题.

一、创设情境，导入新课

教材第79页“做一做”上方的内容.

【教学说明】从跟物理学有关的问题入手，体现了各学科之间是相互联系相互渗透的.同时也让学生认识到数学与现实生活是密不可分的，人们的需要产生了数学，调动他们学习数学的积极性.

二、思考探索，获取新知

1.一次函数和正比例函数的概念.

做一做并思考：

教材第79页“做一做”.

【教学说明】由这些简单的实例让学生分析问题中各个量之间的关系，从现实生活中抽象出数学模型，找到建立数学关系的方法，也为导出一次函数与正比例函数的概念做好铺垫.

你能利用我们刚学的知识解决下面的问题吗？请看：

教材第79~80页例1

【教学说明】通过对具体实例的分析，既消化了学生对一次函数和正比例函5 / 32 数的理解，又能为今后运用他们解决稍复杂的实际问题打下基础，同时也加强了它们之间的联系和区别.

2.一次函数的实际应用.

教材第80页例2.

【教学说明】教师可以引导学生完成，让学生学习已知自变量的值求对应的函数值和已知函数值求自变量的值的方法.体现了一次函数与一元一次方程的密切联系，为后面的学习奠定了基础.

三、运用新知，深化理解

1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）

2.函数y=（2m-1）xn+3+（m-5）是一次函数的条件是（ ）

A.m≠12且n≠-3

B.n=-2

C.m≠12且n=-2

D.m≠12且m≠5，n=-2

3.若每上6个台阶就升高1m，则上升高度h（m）与上的台阶数m之间的函数关系式为 .h是m的 函数.

4.滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.

（1）求滑车滑行轨道剩下的路程S（米）和滑行时间t（分）之间的关系式.

（2）如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.

（3）若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？

【教学说明】让学生独立完成，加深对一次函数和正比例函数的理解，同时也对所学的知识也是个检验，教师及时纠正并有针对性地加强训练.

【答案】1.C. 2.C. 3.h=m/6(m)，一次（或正比例）. 6 / 32 4.解：（1）S=50-1.5t；

（2）32（米）；（3）20（分）.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾一次函数与正比例函数的一般形式.

2.本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？还有什么疑问？请与大家交流.

【教学说明】让学生参与小结并允许学生发表各自的见解，增加了学生的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考的习惯；同时也强调了本节课的重点，巩固了学习内容.

1.布置作业：习题4.2第1、2、3题

2.完成练习册中本课时相应练习..

通过学生反馈的情况来看，绝大部分学生掌握得较好，但对于正比例函数是特殊的一次函数这种情况容易忽略.同时还有极少部分同学运用一次函数的一般形式解决实际问题不是相当熟练.在今后的教学中要花一定的时间不断完善提高. 7 / 32 3 一次函数的图象

第1课时 正比例函数的图象和性质

1.会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象.

2.掌握正比例函数的性质.

3.通过对应描点来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程和利用正比例函数的图象归纳函数性质，体验数形结合的方法.

4.通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美.

【教学重点】

正比例函数的图象和性质.

【教学难点】

由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解.

一、创设情境，导入新课

把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）.前面第1节就是摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间函数关系的图象.

正比例函数y=kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！

【教学说明】给出函数图象的定义，学生一目了然，结合实例便于学生理解它的含义，为下面学习画函数图象指明了方向.

二、思考探究，获取新知

1.正比例函数图象的画法：

思考：（1）你准备来用什么方法画出正比例函数y=2x的图象？

（2）画出函数图象的一般步骤有哪些？

【教学说明】让学生经历列表、描点、连线等画函数图象的具体过程，既可8 / 32 以加深对图象意义的认识，了解图像上点的横、纵坐标与自变量值、函数值之间的对应关系，又为学习如何画函数图象及对用描点法画函数图象的一般步骤进行归纳做了准备.

【归纳结论】画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.

做一做：

（1）画出正比例函数y=-3x的图象.

（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证他们是否都满足关系式y=-3x.

讨论：①满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图象上吗？

②正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？

③正比例函数y=kx的图象有何特点？你是怎样理解的？

【教学说明】加强学生用描点法画正比例函数图象的方法，体会函数图象上的点都满足函数关系式，并通过观察得出正比例函数图象的特点.

【归纳结论】正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0,0）的直线.因此，画正比例函数图象时，只需要再确定一个点，过这点和原点画直线就可以了.

2.正比例函数图象的性质

做一做：

在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，y=-12x和y=-4x的图象.

思考：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？

【教学说明】利用正比例函数的图象学生很直观地归纳出正比例函数的增减性.注意不要受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数总是随着自变量的增加而增加，它的增或减是由k的正或负决定的.

【归纳结论】在正比例函数y=kx中，

当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；

当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.

讨论：

（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？