矩阵理论期末复习题

1、非齐次微分方程组TxtFAXdtdx1,0)0(的解：

其中3553A 0tetF

2、设nnCA，则对任何矩阵范数，都有AA)(。

3、设010100012A，求Ate。

4、设nnCA，且1)(A，求级数0mmA的和。

5、求矩阵502613803A的约当标准形。

6、求031251233A的最小多项式)(m。

7、讨论kkkk128160的敛散性。

8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系

9、已知mnmRbRA,，对于矛盾线性方程组bAx，使得22)(bAxxf为最小的向量)0(x称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。

1.设实数域上的多项式空间3[]Pt中的多项式230123()ftaatatat在线性变换T下的像为2301122330()()()()()Tftaaaataataat，求线性变换T的值域和核空间的基与维数。

2.设032100010A，2010A，求Ae。3.求矩阵1141A的谱分解。

4.求微分方程组112212313214221tdxxxdtdxxxdtdxxxedt和1132123313383625dxxxdtdxxxxdtdxxxdt满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1xxx的解。

5.证明矩阵nnCA的幂序列}{)(mA收敛于0的充分必要条件是()1A。

6. 求矩阵502613803A的Jordan（约当）标准形。

7. 设102011010A，试计算：8542()234AAAAAE。

8. 证明矩阵幂级数0mmmAc绝对收敛的充分必要条件是对任一矩阵范数，正项级数0mmmAc收敛。

1. 已知6阶矩阵A的初等因子组为32)3(,)2(),1(，求A的行列式因子，不变因子，若当标准形。

2.

已知cos4sin4sin3(),2sincos2sin22xxxAxxxx

求)(lim2xAx；'()Ax

3．判断kkkk128160的敛散性

4. 求4R的子空间

}0|),,,{(}0|),,,{(4321432143214321aaaaaaaaWaaaaaaaaV

的交WV的一组基。

5设,nnAC且谱半径()1A，求级数11mmA的和。

6设211121112A，试计算432()5362AAAAAE。

7. 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A的特征值以及其实部和虚部的界限。

8 设1411A，计算sincosAA

9.求微分方程组

112212313214221tdxxxdtdxxxdtdxxxedt

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1xxx的解。 10.求矩阵1141A的谱分解。

11.设21,VV分别是齐次线性方程组021nxxx与nxxx21的解空间，试证明21VVPn。

12.设}{)(mA，}{)(mB是nnC上的矩阵序列，若AAmm)(lim ，BBmm)(lim，则

BABAmmm)()(lim。

1. 在R22中求矩阵

3021A

在基123111111,,,111000EEE41000E下的坐标。

2. 试证：在R22中矩阵

123411111110,,,11011011线性无关，并求dcba在1234,,,下的坐标。

3. 在R22空间中，线性变换T：

221240,2114TXXXR，

求T在基123101111,,,00001041111下的矩阵表示。

4. 设T是线性空间3R上的线性变换，它在R3中基123,,下的矩阵表示是

512301321A

（1）求T在基112123123,,下的矩阵表示；

（2）求T在基123,,下的核与值域。

5. 求下列矩阵的Jordan标准及其相似变换矩阵P

（1）211212112 , （2）2000120010201012 .

6. 已知矩阵

310121013A 验证A是正规矩阵，并求A的谱分解表达式。

7. 已知3阶矩阵

1114335Axy

的二重特征值2对应两个线性无关的特征向量

（1）求,xy；

（2）求可逆矩阵P，使得1PAP为对角矩阵；

（3）求A的谱分解表达式。

8. 已知矩阵

011101110A

验证A是正规矩阵，并求A的谱分解表达式。

9. 已知矩阵

024102211042A

验证A是单纯矩阵，并求A的谱分解表达式。

10. 设

000aaAaaaa

问a取何值时，有lim0kkA。

11. 判断矩阵幂级数011634136kk的敛散性。

12. 已知 13553155A， （1）求证：矩阵幂级数21kkkA收敛。（2）求矩阵幂级数21kkkA的收敛和。

13. 已知A为一个n阶矩阵，且1A，求0kkkA。

14. 已知矩阵A的某种范数1A,求11kkkA。

15. 已知1000110001100011A，求tAe，sinA,cosA,lnA.

16. 已知矩阵A，求矩阵函数的fA多项式表示，并计算Ae，tAe，sinA，cosA

（1）221261004A (2) 210100212A

17. 求解线性常系数奇次微分方程

()()(0)[1,1,0]TdxtAxtdtx， 其中311201112A。

18. 求解线性常系数非奇次微分方程

()()()(0)[1,1,0]TdxtAxtftdtx

其中311201112A，2()[0,0,]tTfte。

19. 求解线性常系数非奇次微分方程

()()()(0)[1,1,1]TdxtAxtftdtx

其中211031213A，22()[,0,]ttTftete。

1、求微分方程组

112212313214221tdxxxdtdxxxdtdxxxedt

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1xxx的解。

2、求矩阵1141A的谱分解。

3、设2010A求AeAsin,

4、矩阵nnCA的序列}{)(mA收敛于01)(A

一、填空题

1、 在欧氏空间4R中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)都正交的单位向量为：

2、 已知100013031A, 则12__________;__________;__________;__________;FAAAA

3、 已知三阶方阵A的初等因子为22,3，则A的约当标准形为： ；不变因子为 ；最小多项式为： ；

4、 已知2sincossin(2)()cos102xxxxAxxxe，则

2200()___________;()___________;xdAtdtAxdxdx

二、解答下列各题

1、 在4R中有两组基：12341234(1)(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)(2)(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)

试求 1）从第（1）组基到第2）组基的过渡矩阵；

2）向量1234(,,,)x在第(2)组基下的坐标；

3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

2、设211121112A，试计算432()333027AAAAAE。

3、 用圆盘定理估计矩阵241131423A的特征值分布范围。

4、设,nnAC且谱半径()1A，求级数0mmA的和。

5、设2333A，求.Ae 6、判断方阵幂级数018216kkmk的敛散性。

三、证明：limmmAO的充分条件是：有一方阵范数，使得1A。