矩阵论复习

矩阵论复习题

1. 设RV是正实数集,对于任意的Vyx,,定义x与y的和为

yxyx

对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为

kxxk

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V,是否构成线性空间,并说明理由.

2.对任意的2,Ryx,),(21xxx,),(21yyy定义x与y的和为),(112211yxyxyxyx

对于任意的数Rk,定义k与x的数乘为

)2)1(,(2121xkkkxkxxk

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R,是否构成线性空间,并说明理由.

3．设},022|),,{(321321RxxxxxxxSi，试证明S是3R的子空间，并求S的一组基和Sdim.

4.设)(RPn表示次数不超过n的全体多项式构成的线性空间,

)}()(,0)0(|)({RPxffxfSn

证明S是)(RPn的子空间,并写出S的一组基和计算Sdim.

5. 设33:RRT是线性变换，

321323213212,,2,,xxxxxxxxxxxT

求T的零空间)(TN和像空间)(TR的基和维数.

6. 设T是3R上的线性变换,对于基},,{kji有

kjkjiT)( ikjT)( kjikT532)(

1)确定T在基},,{kji下的矩阵;

2)求T的像空间的基与维数.

7. 在22R中求由基(I) 12101A 20122A 32112A 41312A到基(II) 11210B 21111B 31211B 41101B的过渡矩阵.

并求矩阵2102A在基(I)下的坐标.

8. 在)(2RP中, 对任意的)()(),(2RPxgxf定义内积为

第 1 页 共 2 页 一、 试卷结构及知识点分配

线性空间

线性变换 内积空间 特殊变换及矩阵 Jordan标准型 范数 矩阵分析 矩阵分解 特征值

填空

410¢´ 1个 1个 2个 2个 1个 1个 1个 1个

8分题

83¢´ 1个 1个 1个

计算题

123¢´ 1个

1个 1个

总分 24分 12分 8分 8分 12分 16分 16分 4分

二、考前答疑时间及地点

时间：16周周五（即12月16日）晚上20：30——22：00

地点：八教207室

三、试卷中未涉及的知识点（以课件和指定教材为范围，矩阵阶数基本为2-3阶）

1、 线性空间和线性变换的验证问题；子空间的交与和、维数定理；矩阵的零空间与列空间；线性变换的值域与核；线性变换的不变子空间

2、 Cauchy-Schwarz不等式；最小二乘问题；酉空间和酉变换

3、 Hermite变换及Hermite矩阵；正定Hermite变换、正定Hermite矩阵和正定Hermite二次型

4、 λ矩阵

5、 向量范数和矩阵范数的验证；线性方程组的扰动分析（条件第 2 页 共 2 页 数除外）

6、 矩阵级数；梯度矩阵及矩阵对矩阵的微分；能控性与能观测性

7、 矩阵的满秩分解

8、 多项式特征值问题；Rayleigh商和广义Rayleigh商

《矩阵论》复习提纲与习题选讲

Chapter1 线性空间和内积空间

内容总结：

z 线性空间的定义、基和维数；

z 一个向量在一组基下的坐标；

z 线性子空间的定义与判断；

z 子空间的交

z 内积的定义；

z 内积空间的定义；

z 向量的长度、距离和正交的概念；

z Gram-Schmidt标准正交化过程；

z 标准正交基。

习题选讲：

1、设表示实数域3]x[RR上次数小于3的多项式再添上零多项式构成

的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。 （1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下

的坐标； 3]x[R3]x[R221xx++

（2） 在中定义 3]x[R

， ∫−=11)()(),(dxxgxfgfnxRxgxf][)(),(∈

证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基； 3][xR

（3）求与之间的距离； 221xx++2x2x1+−

（4）证明：是的子空间； 2][xR3]x[R

（5）写出2[][]3RxRx∩的维数和一组基；

王正盛，矩阵论 1二、 设22R×是实数域R上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。

（1） 求22R×的维数，并写出其一组基；

（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111

（3） 设W是实数域R上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

证明：W是22R×的子空间；并写出W的维数和一组基； （4） 在W中定义内积

， )AB(tr)B,A(T=WB,A∈

求出W的一组标准正交基；

（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221

（6）设V是实数域R上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

证明：V也是22R×的子空间；并写出V的维数和一组基；

（7）写出子空间的一组基和维数。 VW∩

王正盛，矩阵论 2Chapter2 线性映射与线性变换

第二章 内积空间

一、基本要求

1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．

2、掌握线性无关组的Schmidt正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．

3、理解Hermite二次型的定义．

4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．

5、了解欧氏子空间的定义．

6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．

7、掌握对称矩阵与Hermite矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．

8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．

二、基本内容

1、内积空间

设数域F上的线性空间)(FVn，若)(FVn中任意两个向量,都有一个确定的数与之对应，记为),(，且满足下列三个条件

(1) 对称性：),(),(，其中),(表示对数),(取共轭；

(2) 线性性：),(),(),(22112211kkkk；

(3) 正定性：0),(，当且仅当0时，0),(，

则称),(为向量与的内积．当RF时，称)(RVn为 欧氏空间；当CF时，称)(CVn为酉空间．

注意：在nR中，),(),(kk；在nC中，),(),(kk．

通常的几个内积：

(1) nR中，TTniiiyx1),(

nC中，Hiniiyx1),(．

其中TnTnyyyxxx),,,(,),,,(2121．

(2) nmR中，nmijnmijbBaA)(,)(，ijminjijHbaBAtrBA11)(),(．