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矩阵论复习题

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矩阵论复习题

2010矩阵论复习题

1. 设+

=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为

y x y x ?=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?

问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.

2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为

),(112211y x y x y x y x +++=⊕

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+

=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.

3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3

R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .

4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=

证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .

5. 设T 是2

R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)(

1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;

2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.

6. 设T 是3

R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j

i k T 532)(++=

1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;

2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3

R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为

--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足

21321)32(y y x x x T +=++

12323(24)T x x x y y ++=+

31321)43(y y x x x T +=++

1)求T 在基(II)下的矩阵;

2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.

8.在线性空间)(3R P 中

321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f

+++=

讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.

9.在22R ?中求由基(I) 12101A ??= 20122A ??= 32112A

-??= 41312A ??= 到基(II) 11210B ??=

-?? 21111B -??= 31211B -??= 41101B --??= 的过渡矩阵. 10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=-

2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=?, 求线性空间V 的维数和基.

11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为

=1

0)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.

12. 求矩阵10002i A i +??=

的奇异值分解. 13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.

(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。若A A T

-=,称A 为反对称矩阵)

14.设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ?-+=-

15.设A 是n n C 上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：22||||||||||||F Ax A x

≤?. 16.设n

n C A ?∈,并且满足E A A H =,计算2||||A 和F A ||||. 17.已知122112012422A ?? ?= ?

，求A 的最大秩分解。

18.设m n A C ?∈，1）证明：()()H rank A A rank A =;

2) 证明：H A A 是半正定矩阵或正定矩阵。

19.求下列矩阵的谱阵和谱分解

400031013A ?? ?= ? 332112310A ?? ?=- ? ?--??

20.设s λλλ,,,21 是n 阶单纯矩阵A 的重数为s r r r ,,,21 的特征值,∑==s i i n r

1

i E 是A 的对应于i λ的谱阵,证明

1)0=j i E E ,(j i ≠ ),,2,1,s j i =

2) ∑==s i i E E

1

21.设函数矩阵

-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t

A dt d . 22.证明 1))()()())((111t A t A dt

d t A t A dt d ---??-= 2)A

e Ae e dt

d At At At == 23.已知????? ??=73487612i A , ????

=845x , 求111||||,||||,||||,||||,||||,||||x x Ax Ax A A ∞∞∞

24.设a ||||?是n n C ?的一种矩阵范数,B 和D 是n 阶可逆矩阵,且

,1||||1≤-a B 1||||1≤-a D ,试证明对任意的n n C A ?∈

a b BAD A ||||||||=

也是n n C ?的一种矩阵范数.

25. 已知a ||||?是n n C ?上的矩阵范数，0y 是n C 中的某非零列向量，n

x C ?∈设0||||||||H a x xy =证明它是n C 上的向量范数，并且与矩阵范数a ||||?相容。

26.设A 是n n C

上的n 阶方阵,x 是n C 上的n 维列向量,证明：2||||||||||||x A Ax F

F ?≤ 27.设n

n C A ?∈, B 和D 是酉矩阵, 证明: F F F F BAD AD BA A

||||||||||||||||=== 28.已知???? ??-=00a a A , ???

-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 29.已知

-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 30.已知

=2000310020111001A ， 1)求A 的Jordan 标准形J ; 2)求可逆矩阵P , 使J AP P =-1

31.已知

=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 32.设A 为n 阶方阵,求证()det()A tr A e e =特别地当A 为反对称矩阵时有det()1A e =

33.设

--=3113A , 求方阵函数A e 和At e . 34.证明:线性方程组b Ax

=(其中n m C A ?∈ m C b ∈)有解的充分必要条件是b b AA =+

35.已知??????? ?

--=112001110001A , 求A 的广义逆矩阵+A . 36. 已知

=011i i i A , 求A 的广义逆矩阵+A . 37.设BC A =是A 的最大秩分解, 证明: +++=B C A

38.求微分方程组

32113x x x dt

dx +-= 32125x x x dt

dx -+-= 32133x x x dt

dx +-= 的通解.

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矩阵论论文

矩阵论论文

旋转矩阵在机器人运动学中的应用

摘要：

旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。

关键词：旋转矩阵 机器人 运动学

引言：

机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。

正文：

首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。其次介绍下几个概念：

位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。

刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图： ：

规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。可得到rp=ro+rc=r0+Rr.

齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到rp的变换的表达式为：

T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。可以把T的4部分表示为：

其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=[a b c]的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次

矩阵论论文 2

矩阵论论文 2

西安理工大学

研究生课程论文

课程名称： 矩阵论

任课教师： XXX

论文/研究报告题目： 线性变换在

电路方程中的应用

完成日期： 2014年11月5日

学 科： Xxxx

学 号： XXXXXXX

姓 名： XXX

成 绩：

1 线性变换在电路方程中的应用

摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换， 变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置 ）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的 。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到 了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。

关键词 ：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换

引言

在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d0q 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 F0B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变2 压器的分析中得到了应用，但只是针对具体问题对其方法的具体应用， 没有明确提出变压器变换的概念。这些文献对坐标变换和变压器变换都缺乏在数学层面上予以 统一论述。这种特殊和具体的阐述，不便于将之作普遍化和一般化的理解，也就妨碍了对它的推广和发展。不论是坐标变换，还是变压器变换，都可看作是电路方程矩阵系数的线性变换。既然是矩阵线性变换，就必然能够根据矩阵理论对其进行阐释，并找到它们的共同点和不同点，从而在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，为提出电路方程线性变换的新类型提供思路。本文的工作就在于此。

行列式、矩阵、线性方程组复习题

行列式、矩阵、线性方程组复习题

行列式、矩阵、线性方程组复习题

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102 (2)bacacbcba (3)222111cbacba

2、 证明:1112222bbaababa(ab)3;

3、用克莱姆法则解下列方程组

01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx

4、问 取何值时 齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？

5、设111111111A 150421321B 求3AB2A及ATB

6、求下列矩阵的逆矩阵

(1)5221 (2)cossinsincos (3)145243121

7 解下列矩阵方程

(1)12643152X

(2)234311111012112X

(3)101311022141X

8 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1)3532522132321321321xxxxxxxxx (2)05231322321321321xxxxxxxxx

9、设321011330A ABA2B 求B

10、 设101020101A 且ABEA2B 求B

11、把下列矩阵化为行最简形矩阵

矩阵论大作业

矩阵论大作业

“矩阵论”课程研究报告

科 目： 矩阵理论及其应用 教 师：

姓 名： 学 号：

专 业： 机械设计及理论 类 别：

上课时间： 2013年2月至2013年5月

考 生 成 绩：

阅卷评语：

阅卷教师 (签名)

利用矩阵论相关知识求解传动轴

固有频率的有限元分析法

摘要：在结构力学中，求解结构自由振动的固有频率是十分重要的内容。本文通过对某机器传动轴各个单元进行单元刚度矩阵、单元质量矩阵等特性分析，再把各个单元的特性矩阵组集起来组成结构的总刚度矩阵、总质量矩阵，从而形成结构的自由振动方程式。最后利用矩阵论相关知识求解自由振动方程式的广义特征值，并通过广义特征值与固有频率的关系求得传动轴的固有频率。

正文

一、问题描述

已知某机器传动轴两端固定，其传动轴受扭长度L为1500mm，传动轴的横截面积是环形，其外径D为50mm，内径d为45mm，弹性模量E为522.110/Nmm。利用矩阵论及有限元分析法求解传动轴的固有频率。

二、方法简述

1.建立传动轴的有限元分析模型

由于传动轴两端固定，采用平面梁单元分析该传动轴。考虑到本次计算是手算，为了简化计算，将该传动轴划分为（1）、（2）两个单元，共1、2、3三个结点。由于该结构中一个结点有两个自由度，故总共有1、2、3、4、5、6六个自由度。建立有限元分析模型及各个部分编号如图1所示。

图1 传动轴有限元分析模型