2013年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案

2013年西华大学专升本《高等数学》考试题一、填空题：（每题3分，共15分） 1、设2)1(='f ，则=∆∆--→∆xx f f x )1()1(lim；【2】 【知识点】导数的定义。

2、若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin ，则=-1A ；【⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x sin cos cos sin 】 【知识点】伴随矩阵法求逆矩阵。

解析：求逆矩阵的方法有： （1）定义法：E AA =-1；（2）矩阵的初等行变换求逆矩阵：)|()|(1-→A E E A ； （3）伴随矩阵法：*11A AA=-（其中：*A 是矩阵A 的伴随矩阵）。

x A sin 11=，x A cos 12=，x A cos 21-=，x A sin 22=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin *，1cos sin sin cos cos sin 22=+=-=x x x x x x A ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-x x x x A A Asin cos cos sin *11。

3、若方程z z y x =++222确定函数),(y x z z =，则=dz ；【zydyxdx 2122-+】【知识点】全微分dy z dx z dz y x '+'=，隐函数的偏导数。

4、若c x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2 ；【c x +--22)1(21】 【知识点】凑微分法。

5、⎰⎰⎰=dx x f d d d )( ；【dx x f )(】 【知识点】积分与微分的互逆性质。

解析：⎰⎰⎰=dx x f d d d )(⎰⎰=dx x f d d )(dx x f dx x f d )()(=⎰二、判断正误（每小题2分，共10分） 1、设∑∞=1n nu为常数项级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛。

2013年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。

选择题一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信点．．．．．．．．．．上．。

1、22limx cos xx π→= A.2πB. 2π-C.2πD. 2π-2、设函数ln 3x y e =-，则dy dx = A. x eB. 13x e +C.13D. 13x e -3、设函数()ln(3)f x x =，则'(2)f =A. 6B. ln 6C.12D.164、设函数3()1f x x =-在区间(,)-∞+∞A.单调增加B.单调减少C.先单调增加，后单调减少D.先单调减少，后单调增加5、21dx x ⎰=A.1C x+B. 2ln x C +C. 1C x-+ D.21C x+6、2(1)x d dt t dx +⎰= A. 2(1)x +B. 0C.31(1)3x +D. 2(1)x +7、曲线||y x =与直线2y =所围成的平面图形的面积为A. 2B. 4C. 6D. 88、设函数cos()z x y =+，则(1,1)|zx∂=∂ A. cos 2B. cos 2-C. sin 2D. -sin 29、设函数yz xe =，则2z x y∂∂∂=A. x eB. y eC. yxeD.x ye10、设A ，B 是两随机事件，则事件A B -表示A.事件A ，B 都发生B.事件B 发生而事件A 不发生C.事件A 发生而事件B 不发生D.事件A ，B 都不发生非选择题二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，将答案填写在答题卡相应题．．．．．． 号后．．。

11、3123x xlimx→-= _______________.12、设函数ln ,1,(),1x x f x a x x ≥⎧=⎨-<⎩在1x =处连续，则a = _______________.13、曲线23354y x x x =-+-的拐点坐标为_______________. 14、设函数1x y e +=，则''y = _______________.15、31(1)xx lim x→∞+= _______________.16、设曲线22y x ax =+在点(1,2)a +处的切线与直线4y x =平行，则a =_______. 17、3x dx e =⎰_______________. 18、131(3)x dx x -+=⎰_______________. 19、0x dx e -∞=⎰_______________.20、设函数2ln z y x =+，则dz =_______________.三、解答题：21~28题，共70分。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。

则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。

12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。

2013年武汉科技大学专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设f(x)=2x+3x-2，则当x→0时有( )．A．f(x)与x是等价无穷小B．f(x)与x同阶但非等价无穷小C．f(x)是比x高阶的无穷小D．f(x)是比x低阶的无穷小正确答案：B2．设f(x)=x+1，则f(f(x)+1)=( )．A．xB．x+1C．x+2D．x+3正确答案：D3．的值为( )．A．-1B．1C．0D．不存在正确答案：D4．设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)=( )．A．2f(2)B．f(2)C．-f(2)D．0正确答案：B5．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点正确答案：B二、填空题6．函数y=的定义域是区间_______．正确答案：(-∞，+∞)7．设函数f(x)=则f(1／x)=_______．正确答案：8．方程y”-4y’+3y=0的通解为_______．正确答案：y=C1e2+C2e3x(C1，C2为任意常数)9．已知函数f(x)=在x=0连续，则a=_______．正确答案：110．设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)(x≥2)，则f’(0)=_______．正确答案：n!三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

fn(x)=x+x2+x3+…+xn，n∈(2、3、…∞)，11．证明fn(x)=1(0，+∞)内有且只有一个实根．正确答案：设F(x)=fn(x)-1，由于F(0)=-1，F(x)=+∞，F’(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，x∈(0，+∞)，即F(x)为增函数，故F(x)在(0，+∞)上与x轴有且只有一个交点，即fn(x)=1在(0，+∞)内有且只有一个实根．12．设fn(x)存在，试求x的取值范围．正确答案：当x=±1时，显然fn(x)不存在，当x≠±1时，由于f(x)=x+x2+x3+…+xn=所以|x|＜1，即-1＜x＜1．13．函数f(x)=是否连续，是否可导，并求f(x)的导函数．正确答案：而f(0)=0，故f(x)在x=0处连续，而x≠0时f(x)处处连续，所以f(x)连续，当x＜0时，f’(0)=0，14．f(x)=，试求f(2003)(0)正确答案：15．求幂函数的收敛区间．正确答案：故收敛半径R=+∞，幂级数的收敛区间为(-∞，+∞)．16．曲线y=a／x(a＞0，x＞0)，该曲线上某点的切线与两坐标轴之间的交点间线段最短时，求该点坐标．正确答案：设点(x0，y0)在曲线上，则y0=该点切线的斜率为k=-，切线方程为y-y0=-(x-x0)，分别令x=0，y=0得与两坐标轴交点A(0，)，B(2x0，0)，。

2013年湖北文理学院专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 证明题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设a是一个常数，且f(x)=a，则函数f(x)在点x0处( )．A．可以有定义，也可无定义B．一定有定义C．一定无定义D．有定义，且f(x0)=a正确答案：A2．当x→0时，2sinxcosx与x比较是( )无穷小量．A．等价的B．同阶的C．较高阶的D．较低阶的正确答案：B3．下列函数中在区间[-2，2]上满足罗尔定理条件的是( )．A．y=1+|x|B．y=x2+1C．y=D．y=x3+1正确答案：B4．下列等式中成立的是( )．A．d∫f(x)dx=f(x)B．d∫f(x)dx=f(x)dxC．∫f(x)dx=f(x)+CD．∫f(x)dx=f(x)dx正确答案：B5．若y1，y2是某个二阶齐次线性方程的解，则C1y1+C2y2(C1、C2∈R)是方程的( )．A．通解B．特解C．解D．全部解正确答案：C二、填空题6．函数z=ln(x2+y2-2)+的定义域为_______．正确答案：((x，y)|2＜x2+y2≤4}7．设函数f(x)=，如果f(x)在x=0处连续，则a=_______．正确答案：38．设函数y=xe-x，则曲线的拐点为_______．正确答案：(2，2e-2)9．改变二次积分的积分次序，∫01dx f(x，y)dy=_______．正确答案：∫01dy f(x，y)dx10．函数ln(1+x)展开成x的幂级数为_______．正确答案：三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．正确答案：12．正确答案：13．y=，求y’．正确答案：14．求由方程1-y+xey=0所确定的隐函数的导数．正确答案：方程两边对x求导，其中y为x的函数，得-y’+ey+xey．y’=0，于是15．设z=u2+v2，u=x+y，v=x-y，求正确答案：由题可得，=2u．1+2v．1=2(x+y)+2(x-y)=4x，=2u．1+2v．(-1)=2(x+y)-2(x-y)=4y．16．y=，求dy．正确答案：∵y=[ln(x-6)-ln(x+6)]，17．z=arcsin，求dz．正确答案：18．正确答案：19．dxdy，其中D是由直线y=2x，y=x，x=4，x=2所围成的区域．正确答案：积分区域D如图所示，易知区域D可表示为则20．计算∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy，L为y=1-|1-x|(0≤x≤2)依x增加的方向．正确答案：由题，L可分为两段，故原积分=∫L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=∫L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=∫012x2dx+∫12[x2+(2-x)2+(2-x)2-x2]dx21．计算∫Lex[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]，其中L是y=sinx从O(0，0)到B(π，0)的一段弧，要求利用格林公式．正确答案：首先计算积分∫L’ex[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]，其L’为从B(π，0)到O(0，0)的直线段，而∫L’，ex[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]=0，设D为如图所示的区域，由格林公式，得-∫L+L’ex[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]22．判别级数的敛散性．正确答案：∵∴原级数收敛．23．求级数(x-1)n的收敛域．正确答案：∵∴原级数收敛半径为19／25，令|x-1|＜6／25，得19／25＜x＜31／25，且当x=19≥25时，原级数为(-1)n．n发散，∴原级数的收敛域为(19／25，31／25)．24．求微分方程y”-5y’+6y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2-5r+6=0，得特征根为r1=2，r2=3，故齐次方程的通解为y=C1e2x+C2e3x，由于r1=2为单特征根，由题可设原微分方程的通解为y=x(Ax+B)e2x，代入原方程，对比x的系数，可得A=-，B=-1，故原微分方程通解为y=C1e2x+C2e3x-e2x(x2+2x)．25．求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．正确答案：设长方体的长宽高分别为x，y，z，则其表面积为2(xy+xz+yz)=a2①，而所求体积V=xyz②，题中即为求体积V在条件①下的最值，构造拉格朗日函数，L=xyz-λ(2xy+2xz+2yz-a2)，由于实际问题，最大值一定存在，故当长方体为棱长为a的正方体时，其体积最大，最大体积Vmax=a3．证明题26．证明不等式：ex＞x+1(x≠0)．正确答案：构造函数f(x)=ex-x-1，f’(x)=ex-1，令f’(x)=0，得x=0，且当x ＜0时，f’(x)＜0，当(x)＞0时，f’(x)＞0，x=0是f(x)在(-∞，+∞)上唯一极小值点，故为最小值点，故f(x)≥f(0)=0在R上成立，且等号只在x=0取得，故ex ＞x+1，在x≠0时成立．。

成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。

河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( ) A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 的 （ ） A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4 解：C f h f h f hh f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim00。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

共 7 页，第 1 页2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、选择题（每小题2分，共60分）1．答案：C【解析】：易知，需满足，即，故应选C.⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x 21≤<x 2．答案：D【解析】：因为，则，，故应选D.1()1f x x =-()[]x x x x f f 11111-=--={}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=1113．答案：B【解析】：因为为奇函数，则也为奇函数，应选B.()x x -+21ln )y x =-∞<<+∞4．答案：B 【解析】：因为，故是的可去间断点，应选B.22lim 2sin lim 00==→→xxx x x x 0x =()f x 5．答案：A【解析】：当时，，则与是等价无穷小0x →()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x x x --+11x 量，应选A.6．答案：C【解析】：因，应选C.0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 0007．答案：B【解析】：因为曲线，则，故对应点处的法线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==4π=t 斜率为，应选B.ba8．答案：D【解析】： 因为，则，应选D.()()f x g x '=2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22='9．答案：A【解析】：设函数具有任意阶导数，且，则；()f x 2()[()]f x f x '=()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．答案：A【解析】：方程两边对求导，其中看作的函数，，所以x yxy e+=y x y ()1+'⋅=+'+x ex y x yx ，应选A.()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x 11．答案：B【解析】：因为，则在上单调增加，应选B.()0(0)f x x a ''><<()f x '[0,]a 12．答案：A【解析】：点是曲线的拐点，则，故，应选A.(0,1)32y x bx c =++()()00,10=''=y y 0,1b c ==13.答案：A【解析】：因为，则2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ；；()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x 故是曲线的垂直渐近线，应选A.3=x 14.答案：B【解析】： 因为，则，故应选B.()xxf x e e -=-()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰15.答案：D【解析】： 根据不定积分的相关性质，易知，正确，应选D.22d ()d ()d f x x f x x =⎰16．答案：D【解析】：因为为奇函数，故，应选D.x x sin 20sin 2=⎰-dx x x ππ17．答案：A 【解析】：方程两边对求导，得，则，故221()d x x f t t xe ++=⎰x ()x x xe e x f +++=+222()()x x e x e x f 2-+=，应选A.()f x '=x xe 18．答案：C【解析】：由P 无穷广义积分的结论可知，应选C.19．答案：B【解析】：微分方程的阶数是指微分方程中最高导数的阶数，应选B.20．答案：B【解析】：对方程分离变量，得，两边积分，得,代入，2d 2d 0y xy x -=xdx y dy 22=C x y+=-21(1)1y =-，故方程的特解是，应选B.0=C 21y x -=21．答案：C【解析】：向量的方向角需满足，应选C.1cos cos cos 222=++γβα22．答案：B【解析】：直线的方向向量与平面法向量平行，故与垂直相交，应选B.L π23．答案：D【解析】：缺少变量的二次曲面方程为柱面，应选D.共 7 页，第 3 页24．答案：C 【解析】：，应选C.0x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x 25．答案：B【解析】：因为，则22(,23)z fx y x y =-+zy∂=∂1223yf f ''-+26．答案：A 【解析】：因为为X 型积分，则交换积分次序后，Y 型积分的2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰积分区域为：，故可以化为，应选A.(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤I 2d (, )d y f x y x ⎰⎰27.答案：C 【解析】： 积分，应选C. 122 01d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x 28. 答案：D【解析】：参数方程，则，应L ()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x 22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y 选D.29.答案：C 【解析】：因为，则收敛半径，收敛区间为，应选C.121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n 1=R (1,1)-30．答案：A【解析】：A 为交错级数，且单调递减，，故收敛；B 、C 中，11+n 011lim=+∞→n n 111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n 且发散，故B 、C 均发散；D 中，故D 发散；应选A.∑∞=11n n∞=∞→!lim n n nn 二、填空题（每小题2分，共20分）31．答案：既不充分也不必要【解析】：函数在点有定义与极限存在没有关系，故为既不充分也不必要()f x 0x 0lim ()x x f x →条件.32．答案：32【解析】：因为，故.2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx p =3233．答案：21【解析】：因为函数为连续函数，则，得，故.()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0a a =-121=a 34．答案：32x -【解析】：因为，则，故．421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()21x x f =()32x x f -='35．答案：C x x ++sin 2ln 【解析】：2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．答案：π32【解析】：，则．21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a 32,π>=<→→b a 37．答案：1-+=-xCex y 【解析】：由一阶线性微分方程的通解公式得，.()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y 38．答案：-5【解析】：令，则，将代入方程，则，()xyz z y x y x F 22,-++=xy F yz F z x 21,21-='-='1,0==y x 2-=z 故.52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz39．答案：542=-+z y x 【解析】：令，故点处的切平面法向量，故切()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ()5,2,1{}1,4,2-平面方程为，即.()()()052412=---+-z y x 542=-+z y x 40．答案：()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】：.()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f 三、计算题（每小题5分，共50分）41．．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦共 7 页，第 5 页【解析】：原式=.()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x42．已知函数由方程所确定，求.()x x y =arctanyx=d d x y 【解析】：方程两边同时对求导，可知，，即y 2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+，故.2222y x y x x y x x y x ++'=+'-d d xy yx yx y x x y x x +-=+'-='=2243.求不定积分．x ⎰【解析】：.Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 22222222244．设，求.21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩31(2)d f x x -⎰【解析】：.()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰313121013100121131245．求微分方程的通解．23xy y y e '''+-=【解析】：原方程对应的齐次方程为，则特征方程为，特征根为，02=-'+''y y y 0122=-+r r 21,121=-=r r 故原方程对应的齐次方程的通解为.又知不是特征根，则原方程的()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-1=λ特解可设为，代入原方程可得，即,故原方程的通解为xAe y =*xxxxe Ae Ae Ae 32=-+23=A .x x xe eC e C y 232121++=-46．设，求全微分．2+sin2+xyu x y e =d u 【解析】：方法一：由题意可知，所以,2cos 2,2xy xy xe y yu ye x x u +=∂∂+=∂∂.()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22方法二：对等式两边同时求微分，可知.()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 247．一平面过点且平行于向量和，求此平面方程.(1,0,1)-{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- 【解析】：由题意可知，所求平面平行于向量和，则所求平面的法向量，即{2,1,1}a =-{1,1,2}b =- →→→⨯=b a n ，又知平面过点，由平面的点法式方程可知，平面方{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n (1,0,1)-程为，即.()()01351=+---z y x 435=--z y x 48．计算，其中是由所围成的闭区域.d d xyDex y ⎰⎰D 1,,2,0y y x y x ====【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为Y 型区域，则.d d x yDe x y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx 49．计算积分，其中为曲线上从点到点2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰L cos y x =π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭一段弧.π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：由题意可知，，则()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ，即，说明该曲线积分与积分路径无关，选取直线路径y x x Q y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂xQy P ∂∂=∂∂，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y .2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x 50．求幂级数的收敛域．0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑【解析】：该幂级数的为非标准不缺项的类型，令，则原幂级数可变形为，因为t x =-1()∑∞=+012n n nn t ，则幂级数的收敛半径为，故幂级数的收敛区间()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ()∑∞=+012n nn n t 2=R ()∑∞=+012n n n n t 为；()2,2-当时，级数收敛；当时，级数收敛发散；2-=t ()()∑∞=+-011n n n 2=t ()∑∞=+011n n共 7 页，第 7 页则幂级数的收敛域为，故原幂级数的收敛域为.()∑∞=+012n n n n t [)2,2-0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑[)3,1-四、应用题（每小题6分，共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设租金定位元时，收入为，则，即x ()x S ()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ，令，得唯一的驻点，又知()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ()07250=+-='x x S 3600=x ，则为的极小值点，结合实际情况，也就是对应的最大值，所以当租金定位3600()0501<-=''x S 3600=x ()x S 元时，有最大收入，最大收入为115600元.52．曲线，直线以及轴围成一平面图形,试求平面图形绕轴旋转一周所得旋转体3(0)y x x =≥2x y +=y D D y 的体积.【解析】：由题意可知，如图所示，该区域为X 型区域，则体积=.()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x 五、证明题（8分）53．设在区间上连续，且，证明：方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.()f x [0,1]()1f x <02()d 1xx f t t -=⎰【证明】：存在性：令，因为在区间上连续，则在区间上()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x()f x [0,1]()x F [0,1]也连续，而且，由零点定理可知，在区间（0,1）内至少存在一点()()()()()1,011,1010<>-=-=⎰x f dt t f F F ξ，使得；()0=ξF 唯一性：因为，则在区间（0,1）内单调递增，故方程在()()()()1,02<>-='x f x f x F ()x F 02()d 1xx f t t -=⎰区间（0,1）内至多有一实根；综上所述，方程在区间（0,1）内有且仅有一个实根.2()d 1xx f t t -=⎰。

江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试高等数学 试题卷（二年级）注意事项：1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。

作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。

3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。

在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1、当0→x 时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小2、曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3、已知函数sin 20()0xx xf x x ⎧<⎪⎪=⎨> ，则点0x =是函数)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、连续点4、设1()y f x=，其中f 具有二阶导数，则22d y dx =A. 231121()()f f x x x x '''-+ B. 431121()()f f x x x x '''+ C. 231121()()f f x x x x'''-- D.431121()()f f x x x x'''- 5、下列级数中收敛的是A 、211n n n∞=+∑B 、1()1nn n n ∞=+∑ C 、1!2n n n ∞=∑D、13n n ∞=∑6、已知函数)(x f 在点1x =处连续，且21()1lim 12x f x x →=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. 1y x =-B. 22y x =-C. 33y x =-D. 44y x =- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、设函数1sin 0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点0=x 处连续，则常数a = ▲ ． 8、已知空间三点(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)A B C ，则ABC ∆的面积为 ▲ ．9、设函数)(x y y =由参数方程2311x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩所确定，则221x d y dx == ▲ ．10、设向量→→b a ,互相垂直，且，，23==→→b a ，则=+→→b a 2 ▲ ．11、设10lim()x x a x e a x→+=-，则常数=a ▲ ． 12、幂级数1n nn ∞=∑的收敛域为 ▲ ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限01lim ln(1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．14、设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定，求dz 及22zx∂∂．15、求不定积分2cos 2x xdx ⎰． 16、计算定积分20⎰　．17、设函数223(,)x yz f x e+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2zy x∂∂∂．18、已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩平面∏上，又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行，求平面∏的方程．19、已知函数()y f x =是一阶微分方程dyy dx=满(0)1y =的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解．20、计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是由曲线0)y x =>与三条直线,3,0y x x y ===所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、设平面图形D由曲线x =y =1y =围成，试求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 22、已知21132()(95)x F x t t dt =-⎰是函数()f x 的一个原函数，求曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当1x >时，2(1ln )21x x +<-． 24、设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：函数2()[()()]a b baaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰．江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试高等数学（二年级） 试卷答案一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、0 89、34 10、2 11、ln y x x cx =+ 12、11[,)22- 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、原式=20001ln(1)ln(1)1lim lim lim ln(1)2x x x x x x x e xe xe x xe x x x x xx→→→+--+-++==+213(1)lim22x x x x e e xe x →++++==14、令32(,,)331,3,3,33x y z F x y z z xy z F y F x F z '''=+--===-22222233,,33133111y x z z F F z y y z x x y xdz dx dy x F z z y F z z z z ''∂∂=-=-==-=-=∴=+''∂--∂----22222222223()(2)()2211(1)(1)(1)z z y y y z yz z y z x x z z x x x z z z ∂∂∂--∂∂∂∂--=====∂∂∂--- 15、22221111cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22222x xdx x d x x x x xdx x x xd x ==-=+⎰⎰⎰⎰22111111sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222224x x x x xdx x x x x x C =+-=+-+⎰ 16、令2sin ,2cos ,0,0;2,2x t dx tdt x t x t π======，则原式=22222000222cos 12cos cos 12(1)22cos 1cos 2cos 2cos 22ttt dt dt dt dt t ttt ππππ-===-++⎰⎰⎰⎰　 2222011tan 12222cos 2t t dt dtπππππ=-=-=-⎰⎰　17、2232323232212223,(22)36x yx y x y x y z z f e f x f e e e f y y x++++∂∂''''''=⋅⋅=⋅+⋅⋅+∂∂∂ 18、直线方向向量12(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),(3,1,2),S S →→=-⨯--=-=-平面∏的法向量12(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),n S S →→→=⨯=-⨯-=-在第一条直线上任取一点(1,1,1)，该点也在平面上，所以平面方程为6(1)(2)(1)10(1)0x y z -+--+-=即3570x y z -+-=19、由dyy dx=得111111,,ln ,,x C C C x x x dy dx dy dx y x C y e e e y e e Ce y y +===+===±=⎰⎰，由(0)1y =得1C =,所以xy e =，即212,320,1,322x e r y y r r r y -'''-+==+==， 齐次方程的通解为212x xY C e C e =+.令特解为,,x x x y xAe y Ae xAe **'==+，,x x x y Ae Ae xAe *''=++代入原方程得：,1x x Ae e A -==-，所以通解为212x x xy Y C e C e xe ==+-20、原式=333cos 4cos 442002127cos cos (8cos )33cos r d r rdr d d πππθθθθθθθθθ==-⎰⎰⎰⎰ 24011(27tan 8sin )(27tan 8sin )933443πππθθ=-=-=-. 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、（1）131232215)(2)333 S y dy y y==⋅+=⎰（2）0222502221010821[1][1()]()()42802510 xx x xV dx dx x xπππππππ--=-+-=++-=+=⎰⎰22、25233()2(95)1810,f x x x x x x=-=-23()3020f x x x'=-，13()20200,f x x-''=-=解得1x=，另外0x=为二导不存在的点，通过列表分析得：在(,0),(1,)-∞+∞凸，在(0,1)凹，拐点为(0,0),(1,8)。