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第2课时数列的递推公式1．知道递推公式是给出数列的一种形式．2．能够根据递推公式写出数列的前几项．递推公式如果已知数列{a n}的______(或前几项)，且任一项a n与它的________________间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．用递推公式给出数列的方法叫做递推法．递推公式也是给出数列的一种重要方法，但并不是所有的数列都有递推公式．【做一做1】已知数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝2a n，则a3等于()A．3 B．6 C．12 D．18答案：首项前一项a n－1(或前几项)【做一做1】C通项公式与递推公式的异同剖析：如表所示．题型一递推公式的应用【例题1】已知数列{a n}的第一项是1，以后各项由公式a n－1＝2a n－2(n＞1)给出，写出这个数列的前5项．分析：先将递推公式变形为a n＝1＋12a n－1，再根据递推公式写出数列的前几项．由a1＝1及a 2＝1＋12a 1，求出a 2这一步是解题的关键，求a 3，a 4，a 5与求a 2类似． 反思：根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系，依次代入n 的值计算即可．解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二 由递推公式写出通项公式【例题2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．分析：由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的规律，写出一个通项公式． 反思：由递推公式写出通项公式的步骤：(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)；(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；(3)写出一个通项公式．题型三 易错辨析【例题3】 已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 3＝__________.错解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＝3a n ＋2.∴a 3＋1＝3a 3＋2，∴2a 3＝－1，∴a 3＝－12. 错因分析：错解中，错认为a n ＋1＝a n ＋1，其实不然，a n ＋1表示数列中的第n ＋1项，而a n ＋1表示数列中的第n 项与1的和．反思：递推公式中往往含有a n ＋m ，其意义是数列中的第n ＋m 项，通常与a n ＋m 不相等．答案：【例题1】 解：∵a n －1＝2a n －2(n ＞1)，∴a n ＝1＋12a n －1(n ＞1)． 又a 1＝1，∴a 2＝1＋12a 1＝1＋12×1＝32， a 3＝1＋12a 2＝1＋12×32＝74， a 4＝1＋12a 3＝1＋12×74＝158， a 5＝1＋12a 5＝1＋12×158＝3116. ∴这个数列的前5项是a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，a 5＝3116.【例题2】 解：a 1＝1，a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32， a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53， a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74， a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95. 故数列的前5项分别为1，32，53，74，95. 由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15， 故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n. 【例题3】 正解：a 1＝3，则a 2＝3a 1＋2＝3×3＋2＝11，a 3＝3a 2＋2＝3×11＋2＝35.1数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝a n －3，则a 3等于( )A ．－7B ．－4C ．－1D ．22在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.43 B.83 C.163 D.3233(2011·北京东城二模)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8 C． D ．44数列{a n }中，a 2＝1，且a n ＋1＝na n ，则a 3＝__________.5数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12n a +，试写出a 2，a 3，a 4，a 5.答案：1．A 2.C 3.D 4.25．解：a 2＝112a +＝121+＝3.a 3＝21172233a +=+=. a 4＝3132217a +=+. a 5＝41741221717a +=+=.。
