奥赛教练员培训班—光学教学课件

Jianping Ding
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n0 sin 60 1.5 0.866 m 25.4 n 0.025
最深层 mmax=25
例2： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射， 若平板折射率按 n0 1 4qx 变化，q 为常数，并在 A 点 以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。 Y 解： a 介质折射率连续变化，可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片，对 每层薄片应用折射定律。 折射定律决定光线在每一点的 方向，从而确定光线的轨迹； 折射定律的级联形式：
n0 1.5
n2 sin i2 nm sin im
sin 60 sin 60 sin im nm n0 m n
m增加 im增加 折回条件：m逼近但小于90度 i 即 sin im 1


d=0.1mm n3 n2 n1 n0 O
60

i0 i1
i2
最大深度:hmax mmax 1 d 2.6mm
sin a sin 2 a d 结论： y A 和 xA 2 2n0 q 4n0 q Jianping Ding
2 nA n0 sin 2 a
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例3、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0 ，入 射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光 线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。 解： 折射定律：n0 y
解： 分析--逐次折射，折射率递减 折射角（入射角）递增 入射角增加到接近90o后， 光线向下折回
Jianping Ding
n3 n2 n1 n0 O
60

i0 i1
i2
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逐次折射的级联关系：
sin 60 n0 sin i0 n1 sin i1

nm n0 m n n 0.025
入射线、反射线、法线三者共面（入射面） 折射率 n 与波长有关: i1 i1’ 正常色散曲线
n a b
n1
n2
Jianping Ding

2

2
i2
折射率 n 与波长有关:
n n
色散现象
正 常 色 散 曲 线 b n a 2
Jianping Ding
n sin q
q
光线切向斜率：
dy tga ctgq dx
1 2ax 1 2 sin q Jianping Ding
a
x
n n0 4ay 1
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例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降 低： n y n0 qy ，在 xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O 点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
2 1 2 2 2
A

2

2 2
n1 S n2 P
h1
Y
X O
P：(x,y) O’
h a x y

2y

a
y0
入射光线与折射光线共面
Jianping Ding
h2
B
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n1 h x y n2 h a x y 2 代入 y 0
2 1 2 2 2 2 2
P点光线的切线斜率 kp : k p tan x
1 4qx d
x
P :(x, y) A
曲线 y = f(x)与斜率 kp： k dy p dx x 2 O 光线轨迹方程：y q nA sin 90o A sin a 和nA sin A n0 A点条件：
X


奥赛教练员培训班－－光学
南京大学物理系 丁剑平
论题一、光的传播
论题二、费马原理及其运用
论题三、成像问题
Jianping Ding
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论题一、光的传播 反射定律和折射定律
i1= i‘1； －－反射关系
c 折射率：n v


n1 sin i1 n2 sin i2 －－ 折射关系（斯涅尔定律）
光程：折射率 n 与路程 S 的积 费马原理：
光从某点传播到另一点的实际路径是使光程取极值
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光程取极小值: 光的直线传播定律 ---- 光在均匀媒质中沿直线传播 A B
F1PF2的
光 程 取 恒 定 值
Jianping Ding
F1PF2的
光 程 取 极 大 值
由初始条件 求出a0:
Jianping Ding
sin 30 n0 sin 90 a 0
o o


a 90 时
o
ymax
n0 n 1
2 0
4
10
q
论题二、费马原理及其运用 A 从点到点所需时间：
B
1B t A B dt nds A Av cA
B B ds




d 0 dx n1 n2 2x h12 x 2
2 2
A
2a x
n1
2
h1
Y
O i1 X P:(x,0)O’
h a x


S n2
a
i2
n1 sin i1 n2 sin i2
Jianping Ding
h2
B
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P
费马原理在透镜成像中的运用 透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。 P
极值条件：
d x , y 0 dx dx, y 0 dy
a
h2 n2 P
B
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Jianping Ding
n1 h x y n2 h a x y 2
2 1 2 2 2 2 2




d x , y dy n1 n2 2y h x y
n 2的光程： OA AB BF
其中： PF BF
x f
Y
2
y
2
令 OA=d，由等光程关系：
n x nd
x f
2
y f d
2
1 n x
2 2
2
y 2n 1 f nd x 2 F
2
1 R
C
P (x, y) X
根据费马原理，所有平行 光线经过透镜后到达F点的等 效光程应该相等
任选一条光线和光轴上的光线作比 较，两条光线到达F点光程应相等
Jianping Ding
f
d0
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（1）凹面的形状 建立坐标系，任选一条平行入射光线1，其在凹面上 的交点P，F为圆心PF为半径的圆弧交光轴于B
求凹面上一点 P的坐标（x, y）
CC’曲线方程。
用等光程原理求解本题更简单
Jianping Ding
C’
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选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴的入射光线 等光程： A
Y
C
B:(x, y)
X
n AB n'BF n'OF
几何关系：
AB x
O f
F
BF
OF f
f x
2
y
2
n n’
CC’曲线方程： n'2 n 2 x 2 n'2 y 2 2n' n n' fx 0
----- 阿贝不变式
n' n n'n s' s r
平面 ：
n n' s s'
P
O n n’
P’ C
r
Jianping Ding
-s
s’
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n' n n'n s' s r
焦距公式
O
F n n’
C
F’
r
-f
f’
n f r －－物方焦距 n n' n' f ' r －－像方焦距: n'n
Jianping Ding O X
x
A
(x,y) d
nx n0 1 4qx
n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A
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n0 n1 sin 1 nx sin x nA sin A P点光线的方向由x 决定: nx n0 1 4qx n0 1 Y sin x a nx 1 4qx
2
Y
将x=d0，y=R代入：
d
nd 0 f
d 0 f
n 1
2
R
2
1 R 2 F f
C
P (x, y) X
0.3cm
O A B n
d0
Jianping Ding
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休息
Jianping Ding
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几何光学的 近轴成像 光轴---- 光学系统的对称轴 近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线 光轴
n1 S n2
Y
X O
P：(x,y) O’
a
Jianping Ding
P
B
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A点传播到B点经历的光程 ：
n1 AP n 2 PB
n1 h x y
2 1 2 2 2

2
n2 h a x y
2


2
A
n
S
1
h1
Y
X O
P：(x,y) O’
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