1.2.2(3)映射

编制人:陈忠明 审核人:张志勇 使用时间:典型例题（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ； 对应法则：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A ={三角形}，B ={圆}；对应法则：每一个三角形都对应它的外接圆；（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈； 对应法则：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（4） A ={高一学生}，B = {高一班级}. 对应法则：每一个班级都对应班里的学生。

变式：若是从集合B 到集合A 呢？例2 设A={1，2，3，4，5}，B={1，3，7，15，31，33}，下列对应f ：A →B 是从A 到B 的映射的是（ ）A ．f ：x →12+-x x B. f: x →2)1(-+x x C. f ：x →121--x D. f ：x →12-x 总结提升※ 学习小结判定某对应关系是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有对应，但B 中元素未必要有对应；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知下列四个对应，其中是从A 到B 的映射的是（ ）A B A B A B A Ba m a m a a mb n b m nc n b p c b p(1) (2) (3) (4)A. (3)(4)B. (1)(2)C. (2)(3)D. (1)(4) 2. 下列对应:f A B →： ① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→②*,,:1;A N B N f x x ==→-③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→不是从集合A 到B 映射的有（ ）.A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③3.已知A={x ∣40≤≤x }, B={ y ∣20≤≤y },下列对应中不表示从A 到B 的映射的是( )A.f:x →y=41x,B.f: x →y=3231+xC.f:x →y=x 43, D.f: x →x y =课后作业1. 下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）A ={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+；（2）*,{0,1}A N B ==，对应法则:f x x →除以2得的余数；（3）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；（4）设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y ==1:f x x→； （5）{|2,},A x x x N B N =>∈=，:f x →小于x 的最大质数.2. 设集合A 和集合B 都是正整数集合, 映射f: A →B 把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素x x +2,则在映射f 下,与集合B 中的20对应的元素是A 中的( )A. 2,B. 3,C. 4,D. 5。

§1.2.2 映射一．三维目标1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学用具1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的三维目标；2．教学用具：投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（,x y）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．（二）研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？（1）A 求平方B A 乘以2 B（3） （4） （四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素） 已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B的原象是什么？ A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．（六）设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

1.2.1 映射的概念教学目标： 1．知识与技能了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。

2．过程与方法学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．情感、态度与价值观树立数学应用的观点，培养学习良好的思维品质。

教学重点：映射的概念。

教学难点：映射的概念。

教学过程： 一、复习引入：1、在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 2、函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调） ①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B 的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一 思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射? 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a eb fc gd (是) （不是） 例2下列各组映射是否同一映射？a e e eb b fc c g 例3A （1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个；（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同； （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射 （B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N}，f ：x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6 )。

1.2.2函数的表示法一、选择题：1．图中用箭头所表示的A 中元素与B 中元素的对应法则是映射的是( )2．设f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，其中A=R +，B=R ，且f:x →x 2-2x-1，则A 中元素1+2的象和B 中元素-1的原象分别是( )A ．2；0或2B ．0；2C ．0；0或2D ．0；0或23．下列对应法则f 中，构成从集合P 到S 的映射的是( )A ．x ∈P=R,y ∈S=(-∞,0),f:x →y=-|x|B ．x ∈P=N,y ∈S=N +,f:x=x 2C ．P={有理数}，S={数轴上的点}，fL 有理数→数轴上的点D ．以上答案都正确4．已知P={x|0<x<4},Q={y|0<y<2}，下列不表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f:x →y=2xB ．f:x →y=3xC ．f:x →y=23xD ．f:x →y=52x 5．已知集合A={1,2,3}，B={4,5，6},f:A →B 为集合A 到B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同有( )种。

A ．6B ．7C ．8D ．276．已知(x,y)在映射f 的作用下的象是(x+y,x-y)，则在f 的作用下(1,2)的原象是( )A ．(1,2)B ．(3,-1)C ．(23,-21) D ．(-21,23) 7．设f:x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B={1,2},则A ∩B=( )A ．φB ．{1}C ．φ或{2}D ．φ或{1}8．已知映射f:A →B ，其中集合A={-3，-2，-1,1，2,3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对于任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题:9．①如果映射f:A →B 的象的集合是Y ，原象集合是Z ，那么Z 和A 的关系是_________；Y和B的关系是______________。

映射重要知识点总结一、映射的定义1.1 映射的概念映射是一种将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。

具体来说，如果从集合A到集合B的每个元素a都能找到集合B中的唯一元素b与之对应，那么我们就说存在从集合A到集合B的一个映射。

我们通常用f: A → B来表示这个映射，其中f表示映射的规则，A称为定义域，B称为值域，而对应的元素对(a, b)称为映射对。

1.2 映射的表示方式映射可以用图、公式、表格等形式来表示。

在图中，我们可以用箭头连接集合A和集合B 的元素，表示它们之间的对应关系；在公式中，我们可以用f(x) = y来表示映射的规则，其中x表示集合A中的元素，y表示集合B中的元素；在表格中，我们可以将集合A的元素和对应的集合B的元素按一定顺序排列，表示它们之间的对应关系。

1.3 映射的例子为了更好地理解映射的概念，我们可以举几个具体的例子。

比如说，将一个学生的学号与他的成绩对应起来，就是一个映射；将一个人的身高与体重对应起来，也是一个映射；将一个城市的名称与它的人口数量对应起来，同样也是一个映射。

二、映射的性质2.1 单射、满射和双射在研究映射的性质时，我们通常关注三个重要的性质，即单射、满射和双射。

- 单射：如果一个映射f: A → B满足对任意的x1, x2∈A，只要x1≠x2就有f(x1)≠f(x2)，那么我们就说这个映射是单射。

单射也可以表述为：对于集合A中的任意两个不同的元素，它们在集合B中的像也是不同的。

- 满射：如果一个映射f: A → B满足对于集合B中的任意元素y，都能在集合A中找到一个元素x与之对应，那么我们就说这个映射是满射。

- 双射：如果一个映射既是单射又是满射，那么我们就说这个映射是双射。

2.2 映射的复合在实际问题中，有时我们会遇到多个映射的复合。

设有两个映射f: A → B和g: B → C，我们可以定义它们的复合映射g∘f: A → C为：对于A中的任意元素x，它在C中对应的像为(g∘f)(x) = g(f(x))。