4.4万有引力与航天

专题四 万有引力与航天1. （2021广州天河区二模）火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。

根据以上数据，以下说法正确的是 A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的短 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大2. （2021江门市一模）中国的“天问一号”火星探测器于2020年7月23日成功发射，目前已经成功环绕火星，成为我国第一颗人造火星卫星。

已知火星与地球绕太阳公转的轨道半径之比为3：2，火星与地球的质量之比为1：10，火星与地球的半径之比为1：2，则下列说法正确的是（ ） A. 火星绕太阳公转的向心加速度比地球大 B. 在火星表面以7.9km/s 发射的物体可在火星表面绕火星做匀速圆周运动 C. 火星与地球绕太阳的动能之比为1：15 D. 地球和太阳的连线与火星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等3. （2021河源市一模）假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星万有引力提供向心力： r T m mr r mv r Mm G 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛===πω 万有引力与航天追及和相遇问题低轨道到高轨道： 发动机加速，变轨后速度减小 周期黄金代换式22,Mm GM mg G g R R ==卫星运行参量的比较双星问题 仅引力做功 机械能不变 动力学 功和能 变轨 问题 万有引力等于重力： 22,Mm GM mg G g R R == 线速度 估算天体质量和密度高轨道到低轨道： 发动机减速，变轨后速度增大 发动机做功 机械能改变贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T ，引力常量为G ，那么( )A ．可以计算火星的质量B ．可以计算火星表面的引力加速度C ．可以计算火星的密度D ．可以计算火星的半径4. （2021揭阳一中模拟）2018年3月30日我国成功发射第三十颗北斗导航卫星，这颗卫星属于中圆地球轨道卫星，在轨高度约为21500km ，该高度处重力加速度为g 1，该卫星的线速度为v 1，角速度为ω1，周期为T 1．2017年9月17日天舟一号在高度约400km 的圆轨道上开始独立运行，该高度处重力加速度为g 2，天舟一号的线速度为v 2，角速度为ω2，周期为T 2．则（ ）A. g 1＞g 2B. v 1＞v 2C. ω1＜ω2D. T 1＜T 2 5. （2021韶关市一模）位于贵州的“中国天眼”是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，通过FAST 测得水星与太阳的视角为θ（水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角），如图所示，若最大视角的正弦值为k ，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则地球和水星的公转周期的比值为（ ）A.B. C. k 3D. 6. （2021广州一模）我国于2020年11月24日发射的嫦娥五号探测器成功实施无人月面取样返回。

热点4万有引力与航天考向一星球表面重力与引力的关系【典例】(2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。

如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动①,轨道平面与赤道平面接近垂直。

卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈②。

已知地球半径为地轴R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g③,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为()A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13 C.(gR2T24n2π2)13-R D.(gR2T24n2π2)13【审题思维】题眼直击信息转化①万有引力全部提供圆周运动向心力②地球自转周期是卫星周期的n倍③黄金代换GM=gR2涉及地球自转问题的解题流程1.维度:万有引力定律的应用理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。

现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体,O 为球心,以O 为原点建立坐标轴Ox ,如图所示,一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示,则选项所示的四个F 随x 变化的关系图像中正确的是 ( )2.维度:万有引力定律在火星上的应用“祝融号”火星车搭载着陆平台着陆火星,如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。

着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动,且已知火星质量约为地球质量的110,火星直径约为地球直径的12。

则 ( )A .该减速过程火星车处于失重状态B .该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力C .火星车在火星表面所受重力约为在地球表面所受重力的25D .火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为15考向二 天体质量和密度【典例】(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置①如图所示。

4.4万有引力与航天一、单项选择题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，每小题只有一个选项符合题意) 1.两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为T A ∶T B ＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )A.R A ∶R B ＝4∶1，v A ∶v B ＝1∶2B.R A ∶R B ＝4∶1，v A ∶v B ＝2∶1C.R A ∶R B ＝1∶4，v A ∶v B ＝1∶2D.R A ∶R B ＝1∶4，v A ∶v B ＝2∶12.(创新题)2011年11月3号凌晨，“天宫一号”与“神八”实现对接，11月14日实现第二次对接，组合体成功建立了载人环境，舱内将进行多项太空实验.假设一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示.下列说法正确的是()A.宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与11.2 km/s 之间B.若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，小球将落到“地面”上C.宇航员将不受地球的引力作用D.宇航员对“地面”的压力等于零3.(易错题)近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则( )A.411322g T =()g T B.412321g T =()g T C.g 1g 2＝(T 1T 2)2 D.g 1g 2＝(T 2T 1)2 4.月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比和它们的轨道半径之比约为( )A.1∶6 400,1∶80B.1∶80,1∶6 400 C .80∶1,80∶1 D.6 400∶1,80∶1二、双项选择题(本大题共5小题，每小题8分，共40分，每小题有两个选项符合题意) 5.(易错题)(2012·杭州模拟)人类正在有计划地探索地球外其他星球，若宇宙空间某处有质量均匀分布的实心球形天体，则下列有关推断正确的是(引力常量G 已知)( ) A.若宇航员测出宇宙飞船贴着天体表面做匀速圆周运动的周期，则可推知天体的密度 B.只要测出宇宙飞船绕天体做匀速圆周运动的半径和周期，就可推知该天体的密度 C.若宇航员用弹簧测力计测得某一物体在该天体的极地比赤道上重P ，且已知该天体自转周期为T ，则可推知天体的密度D.若测出该天体表面的重力加速度和该天体的第一宇宙速度，则可以推知该天体的密度 6.(2011·广东高考)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G ，有关同步卫星，下列表述正确的是( ) A.卫星距地面的高度为3GMT 24π2B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到的向心力大小为G MmR2D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度7.(2012·黄冈模拟)太阳由于辐射，质量在不断减小，地球由于接受太阳辐射和吸收宇宙中的尘埃，其质量在增加，假定地球增加的质量等于太阳减小的质量，且地球的轨道半径不变，则( )A.太阳对地球的引力增大B.太阳对地球的引力变小C.地球运行的周期变长D.地球运行的周期变短8.如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A 、B 、C 在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有( )A.根据v ＝gr ，可知v A ＜v B ＜v CB.根据万有引力定律，F A ＞F B ＞F CC.向心加速度a A ＞a B ＞a CD.运动一周后，C 最晚回到原地点9.(2012·深圳模拟)地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致.关于该“空间站”说法正确的有( )A.运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度B.C.站在地球赤道上的人观察到它向东运动D.在“空间站”工作的宇航员因受到平衡力而在其中悬浮或静止三、计算题(本大题共2小题，共36分，要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)10.(预测题)(18分)中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发一路向南，经赤道到达南极.某同学设想，在考察船“雪龙号”上做一些简单的实验来探究地球的平均密度：当“雪龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数为F1，当“雪龙号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数为F2，设地球的自转周期为T，不考虑地球两极与赤道的半径差异.请根据探索实验的设想，写出地球平均密度的表达式(万有引力常量G、圆周率π已知). 11.(18分)一组太空人乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H.机组人员驾驶穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为万有引力常量，M E为地球质量.(已知地球半径为6.4×106 m，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2)(1)在穿梭机内，一个质量为70 kg的人站在台秤上，则其示数是多少？(2)计算轨道上的重力加速度值.(3)计算穿梭机在轨道上的速率和周期.4.4万有引力与航天答案解析1.【解析】选D.设地球质量为M ，卫星质量为m ，卫星周期为T ，轨道半径为R.卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，故G Mm R 2＝m v 2R ＝m(2πT)2R故R 3T 2＝GM 4π2，v所以：R 3A T 2A ＝R 3B T 2B ，R A R B ＝3T 2A T 2B ＝14， v A v B ＝R B R A ＝21.选项D 正确.[金太阳新课标资源网] 2.【解析】选D.7.9 km/s 是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于等于7.9 km/s ，故A 错误；若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即G Mm ′r 2＝m ′v2r ，其中m ′为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B 错误；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆周轨道，故C 错误；因宇航员所受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，他处于完全失重状态，D 正确.3.【解析】选B.人造卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，由万有引力(或重力)提供，则G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，又mg ＝m 4π2T 2r ，设两周期为T 1和T 2的卫星的轨道半径分别为r 1和r 2，解得g 1g 2＝4231T ()T ，故B 正确. 4.【解析】选C.月球和地球绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则月球和地球的向心力相等.且月球、地球和O 始终共线，说明它们有相同的角速度和周期.设月球和地球的质量、线速度、轨道半径分别为m 1、m 2，v 1、v 2和r 1、r 2，角速度为ω，它们之间的万有引力提供向心力，即向心力相等，有m 1v 1ω＝m 2v 2ω，即v 1v 2＝m 2m 1＝801，m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，即r 1r 2＝m 2m 1＝801，选项C 正确.【总结提升】解答双星问题的“两等”与“两不等”(1)双星问题的“两等”分别是：①它们的角速度相等.②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们运动的向心力大小总是相等的.(2)“两不等”分别是：①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.5.【解析】选A 、D.若天体的半径为R ，宇宙飞船绕天体飞行的半径为r ，周期为T ，即有G Mm r 2＝mr(2πT )2，而ρ＝M 43πR 3.只有当r ＝R 时，可得ρ＝3πGT2，故选项A 正确，B 错误；在极地的重力为G Mm R 2，赤道上的重力为G Mm R 2－mR(2πT )2，由题意可知P ＝mR(2πT )2，仅此不能求出天体的密度，故选项C 错误；第一宇宙速度v ＝gR ，而天体表面的重力加速度g ＝GMR 2，可得M ＝v 4gG ，所以ρ＝M 43πR 3＝3g 24πGv2，即可求出天体的密度，故选项D 正确.6.【解析】选B 、D.对同步卫星有万有引力提供向心力G Mm (R ＋h)2＝m(R ＋h)4π2T 2，所以h ＝3GMT 24π2－R ，故A 错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B 正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为：F ＝GMm (R ＋h)2，C 错误；同步卫星的向心加速度为a 同＝GM(R ＋h)2，地球表面的重力加速度a 表＝GMR2，知a 表>a 同，D 正确.【变式备选】某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(R ＝6 400 km ，取g ＝10 m/s 2)( )A.汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大B.当汽车离开地球的瞬间速度达到28 440 km/hC.此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 hD.在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小【解析】选B.汽车受到的重力与地面的支持力的合力提供向心力，在速度增加时，向心力增大，重力不变，支持力减小，即汽车对地面的压力减小，选项A 错误.若要使汽车离开地球，必须使汽车的速度达到第一宇宙速度7.9 km/s ＝ 28 440 km/h ，选项B 正确.此时汽车的最小周期为T ＝2πr3GM＝2πR3gR2＝ 2πRg＝5 024 s ＝83.7 min ，选项C 错误.在此“航天汽车”上弹簧产生形变仍然产生弹力，选项D 错误.7.【解析】选A 、C.由GMm r 2＝m 4π2T2r ，可知T ＝4π2r3GM，由于r 不变M 变小，则T 变长，C 正确，D 错误；由F 万＝GMmr 2可得r 不变，M 与m 的和不变，但差值减小，即Mm 变大，则F 万变大，A 正确，B 错误.8.【解析】选C 、D.由GMm r 2＝m v2r＝ma 可得：v ＝GMr，故v A ＞v B ＞v C ，不可用v ＝gr 比较v 的大小，因卫星所在处的g 不同，A 错误；由a ＝GMr 2，可得a A ＞a B ＞a C ，C 正确；万有引力F＝GMm r 2，但不知各卫星的质量大小关系，无法比较F A 、F B 、F C 的大小，B 错误；由T ＝2πr v 可知，C 的周期最大，最晚回到原地点，故D 正确.9.【解析】选A 、C.在轨道上运动的加速度与重力加速度都等于所受万有引力与其质量的比值，A 正确；根据环绕速度公式v ＝GMr，由于“空间站”的离地高度等于同步卫星离地高度的十分之一，其轨道半径不是十分之一的关系，B 错误；因为运行方向与地球自转方向一致，比地球上的人运动的角速度大，所以站在地球赤道上的人观察到它向东运动，C 正确；在“空间站”工作的宇航员做圆周运动，不是平衡状态，合外力提供向心力，D 错误. 10.【解析】在地球赤道处，钩码受地球的引力与弹簧的弹力作用，钩码随地球自转，做圆周运动，所以F 引－F 1＝m 4π2T2R ①(5分)在地球的南极钩码受地球的引力与弹簧的弹力作用，因该处的钩码不做圆周运动，处于静止状态，有F 引＝F 2＝G MmR 2 ②(5分)又因为M ＝ρV ＝ρ43πR 3③(4分)联立①②③解得ρ＝3F 2πGT (F 2－F 1)(4分)答案：ρ＝3F 2πGT 2(F 2－F 1)11.【解题指南】解答本题需把握以下几点： (1)穿梭机内的人处于完全失重状态.(2)轨道上的重力加速度即穿梭机的向心加速度. (3)利用F 万＝F 向计算穿梭机的速率和周期.【解析】(1)在穿梭机中，由于人处于完全失重状态，故质量为70 kg 的人站在台秤上时，对台秤的压力为零，因此台秤的示数为零. (2分)(2)穿梭机在地面上时mg ＝G M E mR 2 (2分)在轨道上时mg ′＝G M E m(R ＋h)2 (2分)解得：g ′＝gR2(R ＋h)2. (2分)代入数据得： g ′＝8.2 m/s 2. (2分) (3)穿梭机在轨道上运行时：G M E m (R ＋h)2＝m v 2R ＋h ， (2分) GM E m (R ＋h)2＝m(2πT )2(R ＋h) (2分) 联立解得： v ＝Rg R ＋h ，T ＝2πR(R ＋h)3g(2分) 代入数据解得：v ＝7.6×103m/sT ＝5.8×103s. (2分) 答案：(1)示数为零 (2)8.2 m/s 2(3)7.6×103m/s 5.8×103s。