山东省潍坊市2019届高三5月模拟(三模)考试数学(理)试题

山东省潍坊市2019-2020学年高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量,a b v v 满足||1,||3a b ==v v ,且a v 与b v 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v ( )A ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】2231()(2)223132a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⨯⨯=v v v v v v v v .故选：A. 【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.2．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.3．设非零向量a r ，b r ，c r，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴“||b a -=r r 是“3πθ=”的充分必要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】 【分析】先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】 由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3. 【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 5．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111bba a -<-，()()211bba a -<-，所以A,B 两项均错； 又111ab <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．7．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=r r rB ．()0a b c ⋅-=r r rC ．()0a b c +⋅=r r rD ．()0a b c -⋅=r r r【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113B ．4C ．133D ．5【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 9．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.10．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，再求和. 【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,,0.110na q a ===， 所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，所以()44441110011011111001190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 11．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( ) A ．5 B ．3-C ．4D ．991【答案】B 【解析】由331log 1log n n a a ++=，可得13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，所以2462222981919a a a a a a a ++=++==，则2991a =， 则3135712221333log ()log (327243)log 33a a a a a a ++=++==-，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30 B．C．D ．62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则z在复平面内对应的点的坐标是（）A．（4，2）B．（2，﹣4）C．（2，4）D．（4，﹣2）2．（5分）已知集合M＝{x|2x﹣x2＞0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则等于M∩N＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 3．（5分）已知a＝1.90.4，b＝log0.41.9，c＝0.41.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．（5分）某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8，则f（x）的单调递增区间为（）A．[4k，4k+3]（k∈Z）B．[6k，6k+3]（k∈Z）C．[4k，4k+5]（k∈Z）D．[6k，6k+5]（k∈Z）6．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里7．（5分）a为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简cos（aπ﹣θ）的结果是（）A．cosθB．﹣cosθC．sinθD．﹣sinθ8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是（）A．1﹣B．﹣C．+D．9．（5分）在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数为，则x2的系数为（）A．B．C．D．10．（5分）已知实数x，y满足，若z＝（x﹣1）2+y2，则z的最小值为（）A．1B．C．2D．11．（5分）设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数与g（x）＝2elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，0）B．C．D．（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设，，为向量，若+与的夹角为，+与的夹角为，则＝．14．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25交于A，B两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是．15．（5分）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．16．（5分）对于函数，有下列4个结论：①任x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）＝2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④对任意x＞0，不等式恒成立，则实数是的取值范围是．则其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，2S n＝S n﹣1+1（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求的前n项和T n．18．（12分）如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：GH∥平面ACD；（Ⅱ）若AC＝BC＝BE＝2，求二面角O﹣CE﹣B的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P（，﹣1），且△PF1F2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C 交于C，D两点，且|CD|＝λ|AB|（λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数y＝F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0＝；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a＝2时，函数f （x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．选考题：共10分．请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ2＝4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D 经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．。

潍坊市高考模拟考试理科数学本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -5【答案】C3.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C5.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或1【答案】C6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C7.若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D8.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A9.已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.【答案】B10.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C11.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（）A. 33B. 31C. 17D. 15【答案】D12.定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]14.在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．【答案】1015.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【答案】216.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.（1）求角的大小和的长；（2）设的角平分线交于，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCE S△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．【详解】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，∴sin C+cos（A+B）＝0，又A+B＝π﹣C，∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，∵C∈（0，π），∴C，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，解得：BD＝1，（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，∴∠DBC，∴S△DBC BD•BC，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠BCE＝∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE，S△CED，可得：，∴S△BCE S△CED，∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，∴S△CED（2）＝23．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．【详解】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】【分析】（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q 的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）每株“相近”的株数的最大值为5.（3）的分布列为：一株产量的期望为【解析】【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．【详解】（1）由题意得：，，∴，，所以，，所以.（2）设每株的产量为，根据题意：，解得，令，解得，所以每株“相近”的株数的最大值为5.（3）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，当时，，由题意得：，，，，所以的分布列为：所以，所以一株产量的期望为.【点睛】本题考查了线性回归方程的计算及应用，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．21.已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln•2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt•2，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）的定义域为，，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以函数的极小值为，无极大值.（2），当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，综上，，故在单调递增，故只须证明，即证，由，可知，故，即证，，，也就是，，，.不妨设，，即证，，即证，设，，故在单调递增.因而，即，因此结论成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．【详解】（1）由得，所以，即.（2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，属于基础题．。

山东省潍坊市2019届高三数学模拟（5月三模）考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|23}A x x =-≤≤，2{|30}B x x x =-≤，则AB =（ ）A. [2,3]-B. [2,0]-C. [0,3]D. [3,3]-【答案】A 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用并集的定义求解即可. 【详解】{}2{|30}|03B x x x x x =-≤=≤≤,{|23}A x x =-≤≤,{}[]|232,3A B x x ∴=-≤≤=-,故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设复数z 满足2ii z+=，则z =（ ）A. 1 C. 3D. 5【答案】B 【解析】 【分析】 由2i i z +=可得212iz i i+==-，再利用复数模的公式可得结果. 【详解】2ii z+=, 221i z i i+∴==+22112ii i =+=-,z ∴== B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式可得，“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤，再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】0x ∀>时，12x x+≥， ∴“0x ∀>，1x a x+≥”等价于2a ≤， 而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =， 所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥”成立的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A. 四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B. 苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C. 第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D. 华为的全年销量最大 【答案】D 【解析】 【分析】根据华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图，分析出每个季度华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比，再对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误； 对于C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，D 正确， 故选D.【点睛】本题主要考查百分比堆积图的应用，考查了数形结合思想，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.5.设抛物线28y x 上一点P 到y 轴距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】 【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P 到y 轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y 2=8x 的准线为x=﹣2， ∵点P 到y 轴的距离是4， ∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线焦点的距离是6 故选B考点：抛物线的定义． 【此处有视频，请去附件查看】6.函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B.3π C. 6π-D. 3π-【答案】B 【解析】试题分析：根据图像得到：22,=243124T A T ππππππωω==-∴=∴=∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+，将点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得到2sin 2,62ππϕϕ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．考点：()sin y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式7.下列说法错误的是（ ） A. 垂直于同一个平面的两条直线平行B. 若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C. 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D. 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理判断A ；根据面面垂直的性质定理判断B ；根据面面平行的判定定理判断C ；根据特例法判断D .【详解】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A 正确； 由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B 正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C 正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D 错误，故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的判定、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则1324a a a a +=+（ ）A.13B.23C.53D. 2【答案】B 【解析】【分析】用1a d ,表示2a ，4a ，8a ，利用它们成等比数列可得1d a =，从而可得1324a a a a ++的值.【详解】设等差数列的公差为d ，则21a a d =+，413a a d =+，817a a d =+， 因为2a ，4a ，8a 成等比数列，故()()()211137a d a d a d +=++，整理得到21d a d =，因0d ≠，故1d a =，故1n a na =，故13244263a a a a +==+，选B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．9.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有（ ）A. 10种B. 15种C. 4种D. 5种【答案】D 【解析】 【分析】依据图形可以得到2类元素相生的选取方案总数.【详解】从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种，故选D.【点睛】本题考查组合的计算，属于基础题.10.已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数至少为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数可得()00f =，可判断函数的零点个数为奇数，结合()(4)f x f x =-求得()()()()4,8,4,8f f f f --的值为零，从而可得结果. 【详解】()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，()00f ∴=，且零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除选项,B D ，又()(4)f x f x =-()()040f f ∴==， ()()440f f -=-=，()()()44480f f f ∴-=+==， ()()880f f -=-=，()f x ∴的零点至少有0,4,8,5±±个，故选C.【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11.如图，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“12,[0,1]x x "?，且(0,1)λ∈，[]()()1212(1)(1)fx x f x f x λλλλ+-<+-恒成立”的为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，根据[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-恒成立可得()()()()()12121,1M x x fx fλλλλ+-+-与点()[]()1122(1)1,x x f x x λλλλ+-+-的位置关系，从而可得正确的选项.【详解】设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ， 则()()()()()12121,1Mx x f x f x λλλλ+-+-，(0,1)λ∈表示线段PQ 上的点（除端点外）， 因为[]()()1212(1)(1)fx x f x f x λλλλ+-<+-恒成立，所以点()[]()1122(1)1,x x f x x λλλλ+-+-始终在M 的下方，所以函数的图像是下凸的，故选A.【点睛】在坐标平面中，对于R 上的可导函数()f x ，若12x x <，(0,1)λ∈时，总有[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-成立，则函数的图像是向下凸的（即函数的导数是增函数）.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，FA为半径的圆交C 的左支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为（ ）C.43D.53【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和线段AM 的垂直平分线经过点N 可得AMN ∆为等边三角形，从而可用,a c 表示M 的坐标，代入双曲线方程化简后可得离心率. 【详解】FM FA a c ==+，FN FA a c ==+， 因为线段AM 的垂直平分线经过点N ，故MN NA =，因双曲线关于x 轴对称，故MA NA =，所以AMN ∆为等边三角形，故3,22a c M ⎛⎫++-± ⎪ ⎪⎝⎭，故()()222233144a c a c a b ++-=， 整理得到2340e e --=，故43e =，选C. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．二、填空题.13.若函数()ln f x x a x =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a =_________. 【答案】-1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点()1,1处的切线斜率为12a -=,从而可得结果. 【详解】因为函数()ln f x x a x =-的导数为()1a f x x'=-, 所以在点()1,1处的切线斜率为()'11f a =-, 又因为在点()1,1处的切线方程为21y x =-, 所以12a -=,解得1a =-，故答案为1-.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求参数或切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.14.执行如图所示的程序框图，输出的S 为_________.【答案】1 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值.【详解】执行程序框图，输入0,1==S n ， 第一次循环1,2S n ==； 第二次循环1,3S n ==； 第三次循环0,4S n ==； 第四次循环0,5S n ==；第五次循环1,6S n ==； 第六次循环1,7S n ==； 第七次循环0,8S n ==； 第八次循环0,9S n ==； 第九次循环1,10S n ==； 第十次循环1,11S n ==； 退出循环输出1S =，故答案为1.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设*(,)()i j a i j N ∈、是位于这个三角形数表中的从上往下数第i 行，从左往右数第j 列的数，如(5,2)12a =，则(10,3)a =____.【答案】48 【解析】 【分析】计算出前9行中元素的个数，进而可得(10,3)a .【详解】第9行的最后一个数为45，所以(10,3)45348a =+=.故填48. 【点睛】本题考查归纳推理、数列的项的求法，找到项数的计算方法是关键.16.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC ∆内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为_____.【答案】[,3【解析】 【分析】由正方体的性质可知过1A 且垂直于1BC 的平面为平面11A B CD ，与平面1BDC 的交线为DE ，故考虑1A 到线段DE 的距离的取值范围即可.【详解】考虑过1A 且垂直于1BC 的平面与平面1BDC 的交线，如图，由正方体1111ABCD A B C D -可以得到11BC B C ⊥，111A B BC ⊥，因1111AB BC B =，所以1BC ⊥平面11A B CD ，而平面11A B CD平面1BDC DE =，故考虑1A 到线段DE 的距离的取值范围.在图（2）的矩形11A DCB 中，1A D =，2DC =，建立如图所示的平面直角坐标系，则(1A ，()0,0D ，(E ，()2,0A ，所以2sin(2)3x π=+，:0DE x -=，1A 到直线DE =，因P 是1BDC ∆内，故1A P 的取值范围为. 【点睛】空间中动态条件下的最值问题，可转化为确定的点、线、面的位置关系来讨论，必要时应将空间问题平面化，利用解三角形或平面向量等工具求最值.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos 2sin 22A b b aB =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b . 【答案】(1) 3cos 5A = (2) 1b =或5. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和正弦定理可把题设条件转化为4sin cos 3sin sin B A A B =，从而得到tan A ，再根据同角的三角函数的基本关系式可求cos A .（2）利用余弦定理渴求b . 【详解】解：（1）由题意知234cos2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b=+-， 所以2650b b -+=， 所以1b =或5.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，EF =.（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)13【解析】 【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值.【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥， 因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH⊂平面FBC ，所以FH ⊥平面ABCD ，因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且123OH AB ==.又//EF AB ，3EF =，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则(2,0,0)A ，B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ，所以(2,3BC =--，(3,0,1)CQ =，设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20330x y x z ⎧--=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3)m =-， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ，则cos 1m nm n θ⋅===⨯，因为二面角Q BC A --的平面角为锐角，所以二面角Q BC A --的余弦值为13. 【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ的中点为M ，若2PQ AM =，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据离心率为2， OAB ∆的面积为1.，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）由2PQ A M =，可得线段PQ 为APQ ∆外接圆的直径，即0AP AQ ⋅=，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用平面向量数量积公式、结合韦达定理可得12k m =-或56k m =-，直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，从而可得结论.【详解】（1）由已知，c a =22221c b a a =-，可得224a b =，又因为1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知(2,0)A ，因为2PQ AM =，所以AM PM QM ==，所以线段PQ 为APQ ∆外接圆的直径，即0AP AQ ⋅=，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ①又因为0AP AQ ⋅=，即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-， 所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与简单性质以及直线过定点问题，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式()0,y k x x =-直线过定点(),0x 0.20.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85C ︒的水泡制，再等到茶水温度降至60C ︒时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员每隔1min 测量一次茶水温度，得到下表的一组数据。

(2019潍坊三模)山东潍坊2019年高三第三次重点考试数学理Word 版含解析数学试题〔理〕2018.5本试卷共5页，分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数2a i i +-是纯虚数，那么实数a= A.2- B.2 C.12- D.122.集合{}{}1,3,,1,,,=A m B m A B B m ==⋂=则A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或3A.命题“假设p ，那么q.”的否命题是“假设p ，那么.q ⌝”B.命题2:10p x R x ∃∈+，使得＜，那么:p x R ⌝∀∈，使得210x +≥C.命题p 、q ，假设“p q ∨”为假命题，那么命题p 与q 一真一假D.a+b=0的充要条件是1a b=- 4.某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[)[)50,60,60,70，[)[)[)70,80,80,90,90,100.那么成绩在[]90,100内的人数为A.20B.15C.10D.55.函数()()2log 1f x x =+的图象大致是6.一个几何体的三视图如下图，且其左视图是一个等边三角形，那么这个几何体的体积为 A.3122π+B.9362π+C.9184π+D.364π+ 7.()()*23n n N +∈其中的展开式中含3x 项的系数为14，那么n= A.6 B.7 C.8 D.98.不等式组1400x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，那么2z x y =-的最大值是A.5-B.2-C.1-D.19.ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设1cos ,2,sin 2sin ,4B b C A ===那么ABC ∆的面积为 A.156 B.154 C.152 D.15 10.函数()312,16f x x x a a =-+≥其中，那么以下说法正确的选项是A.()f x 有且只有一个零点B.()f x 至少有两个零点C.()f x 最多有两个零点D.()f x 一定有三个零点11.数列()*21n a n n N =-∈，把数列{}n a 的各项排列成如下图的三角形数阵，记(),M s t 表示该数阵中第s 行从左到右第t 个数，那么M 〔10，9〕为 A.55B.53C.109D.107 12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，123P P P 、、是抛物线C 上的不同三点，且1FP 、2FP 、3FP 成等差数列，公差0d ≠，假设点2P 的横坐标为3，那么线段13P P 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是A.3B.5C.6D.不确定，与d 的值有关第II 卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13.过点〔2，3〕且以3y x =±为渐近线的双曲线方程是________.14.设()f x 为定义在()3,3-上的奇函数，当()()230log 3,x f x x -=+＜＜时，()0f 则()1f +=_________.15.运行如下图的程序框图，输出的S 值为_______.16.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且AB 、CD 均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A看点D 的仰角为α，看点C 的俯角为β，45αβ+=，那么BC 的长度是______m. 【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.〔本小题总分值12分〕函数()()3sin 22sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. 〔I 〕求函数()f x 的单调增区间；〔II 〕假设3,2122f απα⎛⎫-= ⎪⎝⎭是第二象限角，求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 18.〔本小题总分值12分〕如图，在几何体ABCDE 中，平面//,ABC BCD AE BD ABC ⊥∆平面，为边长等于2的正三角形，=23=4CD BD M ，，为CD 的中点.〔I 〕证明：平面ECD ⊥平面ABC ；〔II 〕求二面角C AB M --的大小.19.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且362755,16a a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为,22n n n S S b =-且.〔I 〕求数列{}{},n n a b 的通项公式；〔II 〕设12,n n n n n a c T c c c b ==++⋅⋅⋅+，试比较421n n T n +与的大小，并予以证明. 20.〔本小题总分值12分〕某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A 或B 处投篮，在A 处投进一球得3分，在B 处投进一球得2分，否那么得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否那么继续投篮，直到投完三次为止.投篮方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮.甲同学在A 处投篮的命中率为0.4，在B 投投篮的命中率为0.6.〔I 〕甲同学假设选择方案1，求X=2时的概率；〔II 〕甲同学假设选择方案2，求X 的分布列和期望；〔III 〕甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由.21.〔本小题总分值12分〕 椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的离心率为32，设过椭圆的焦点且倾斜角为45的直线l 和椭圆交于A ，B 两点，且8.AB =〔I 〕求椭圆C 的方程；〔II 〕对于椭圆C 上任一点，假设,OM OA OB λμλμ=+求的最大值.22.〔本小题总分值14分〕定义：()[),k h x k x+∞若在上为增函数，那么称()h x 为“k 次比增函数”，其中*k N ∈，()ax f x e =. 〔I 〕假设()f x 是“1次比增函数”，求实数a 的取值范围；〔II 〕当12a =时，求函数()()[](),10f x g x m m m x =+在＞上的最小值； 〔III 〕求证：()117.2n i i ei e =⋅∑＜。

山东潍坊2019高三5月仿真重点考试-数学（理）本试卷分第I 卷和第二卷两部分，共5页、总分值150分、考试用时120分钟、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、 本卷须知1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上、2、第I 卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案不能答在试卷上、3、第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效、4、填空题请直截了当填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程、第I 卷(共60分)【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.集合{}2M x x 30=-≤，那么以下关系式正确的选项是A.0M ∈B.0M ∉C.0M ⊆D.3M ∈2.设i 是虚数单位，那么()()321i 1i -+是A.1i -B.1i -+C.1+ID.1i --①21x R,x x 04∀∈-+≥；②2x R,x 2x 20∃∈++<；③函数x y 2-=是单调递减函数.A.0个B.1个C.2个D.3个4.如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图基本上边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，那么其 体积是B.3D.835.椭机变量X 服从正态分布N 〔4，1〕，且()P 3x 50.6826≤≤=，那么()P X 3=<A.0.0912B.0.3413C.0.3174D.0.15876.假设()()()()8280128x 1a a 1x a 1x a 1x ,-=+++++⋅⋅⋅++那么6a =A.112B.28C.28-D.112-7.函数()()xx a a y a 0a 1x a-∙=≠-且>的图象能够是8.把函数()y sin x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数为 A.y sin 2x ,x R3π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.1y sin x ,x R26π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭C.y sin 2x ,x R3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ D.1y sin x ,x R26π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭9.假如执行如下图的程序框图，输入n 6,m 4==，那么输出p 等于 A.720B.120C.240D.36010.点F ，A 分别是椭圆)(2222x y 1a a b +=>b >0的左焦点、右顶点，B 〔0,b 〕满足0=FB AB uu r uu u rg ，那么椭圆的离心率等于A.12+B.12-11.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目竞赛，最正确人选是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 12.关于函数()f x ，假设存在区间[]M a,b =〔其中a＜b 〕，使得(){}y y f x ,x M M=∈=，那么称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出以下4个函数：①()()2f x x 1=-；②()x f x 21=-；③()f x cos x2π=；④()x f x e =.其中存在“稳定区间”的函数有 A.①③ B.①②③C.①②③④D.第II 卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分. 13.二次函数()2f x ax 4bx 1=-+，点()a,b 是区域x y 80,y x 0,y 0+-≤⎧⎪⎨⎪⎩>>内的随机点，那么函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率为_______.14.设F 1、F 2分别为双曲线()2222x y 1a a b-=>0,b >0的左、右焦点，假设在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为________.15.商家通常依据“乐观系数准那么”确定商品销售价格，即依照商品的最低销售限价a ，最高销售限价b 〔b ＞a 〕以及实数()x 0x <<1确定实际销售价格()c a x b a =+-.那个地方，x 被称为乐观系数.经验说明，最正确乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x 的值等于_____. 16.给出的以下四个命题中：①命题“2x R,x 13x ∃∈+>”的否定是“2x R,x 13x ∀∈+≤”； ②“m 2=-”是“直线()m 2x my 10+++=与直线()()m 2x m 2y 30-++-=相互垂直”的充分不必要条件； ③设圆()2222x y Dx Ey F 0D E 4F 0++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为()()()()1212A x ,0,B x ,0,C 0,y ,D 0,y ，那么1212x x y y 0-=；④关于x 的不等式x 1x 3m++-≥的解集为R ，那么m 4.≤其中所有真命题的序号是________.【三】解答题：本大题共6小题，共74分. 17.〔本小题总分值12分〕向量()1a s i n x ,13c o s x ,2⎫=-=-⎪⎭，函数()()f x a b a 2.=+⋅-〔1〕求函数()f x 的最小正周期T ；〔II 〕a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，其中A为锐角，a 4==且()f A 1=，求A ，b 和△ABC 的面积S.18.〔本小题总分值12分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. 〔I 〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔II 〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.〔本小题总分值12分〕在三棱锥P-ABC 中，△PAC 和△PBC的等边三角形，AB=2，O 是AB 中点. 〔I 〕在棱PA 上求一点M ，使得OM//平面PBC ； 〔II 〕求证：平面PAB ⊥平面ABC ； 〔III 〕求二面角P-BC-A 的余弦值. 20.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 中，12a 4,a 6==，且()n 1n n 1a 4a 3a n 2+-=-≥〔1〕设n n 1n b a a +=-，求数列{}n b 成等比数列，求m 的值及{}n c 的前n 项和. 21.〔本小题总分值12分〕椭圆中心在坐标原点焦点在x轴上，离心率为2，它的一个顶点为抛物线2x 4y =的焦点. 〔I 〕求椭圆方程；〔II 〕假设直线y x 1=-与抛物线相切于点A ，求以A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；〔III 〕假设斜率为1的直线交椭圆于M 、N 两点，求△OMN 面积的最大值〔O 为坐标原点〕. 22.〔本小题总分值14分〕函数()()12e f x p x 2ln x,g x ;p R.x x ⎛⎫=--=∈ ⎪⎝⎭〔I 〕假设()f x 在x 2=处取得极值，求p 的值；〔II 〕假设()f x 在其定义域内为单调函数求p 的取值范围；〔III 〕假设在［1,e ］上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求p 的取值范围.潍坊市2018年一般高考理科数学仿真试题答案。

山东潍坊2019年5月高考考前适应性练习（三模）（数学理）word版数学〔理〕2018.05 本试卷共5页，分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分.150分.考试时间120分钟。

第I 卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它的答案标号。

【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.A.假设a ＞b ，那么2a ≤2bB.假设2a ＞2b，那么a ＞bC.假设a ≤b ，那么2a ≤2bD.假设2a ≤2b，那么a ≤b 2.设全集U=R ，集合x 1A x y ln x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，那么A.()(),01,-∞⋃+∞B.[]0,1C.()0,1D.(][),01,-∞⋃+∞3.m R ∈，复数m 1i-在复平面内对应的点在直线x y 0-=上，那么实数m 的值是A.1-B.0C.1D.24.函数y x cos x=⋅的图象大致是5.211x dxx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值是 A.3+ln2B.3ln 22+ C.4+ln2D.7ln 22+6.变量x ，y 满足约束条件y 10,x y 0,x y 20,-≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩那么x y z 24=⋅的最大值为A.16B.32C.64D.27.一个盒子内装有4张卡片，每张卡片上依次写有如下4个定义在R 上的函数中的一个()()()()34f x sin x,g x cos x,h x x ,k x x .====现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，那么所得新函数是偶函数的概率是 A.16B.13C.12D.238.右图是某同学求50个奇数3，5，7，…，101的平均数而设计的程序框图的部分内容，那么在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是 A.x i 100,x 50=>B.x i 100,x 100≥=C.x i 100,x 50=<D.x i 100,x 100≤=9.各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，那么1113810a a a a +=+A.1-或3B.3C.27D.1或2710.在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD=3，点P 在AD 上且满足3=AD AP ，那么()⋅+=DA PB PCA.6B.6-C.12D.13-11.如图1所示，正△ABC 中，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 的中点.现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD 〔如图2〕，那么以下结论中不正确的选项是 A.AB//平面DEF B.CD ⊥平面ABD C.EF ⊥平面ACDD.V 三棱锥C —ABD =4V 三棱锥C —DEF 12.曲线()22C :x y 4x 0,y 0+=≥≥，与抛物线2x y =及2y x =的图象分别交于点()()1122A x ,y ,B x ,y ，那么2212y y +的值等于 A.1B.2C.4D.8第II 卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。

山东省潍坊市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D 【解析】 【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B．C．D ．62根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.3．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 4．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点FC 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） AB．C．D．联立方程解得M(3，23)，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由2314y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，23)，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形 点M 到直线NF 的距离为34232⨯= 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 6．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率A ．25B ．1325C ．35D ．1925【答案】D 【解析】 【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A 种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P =-=. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.8．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C．4D．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

潍坊市高考模拟考试理科数学本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再利用交集并集的定义判断选项．【详解】∵B＝，＝{x|}，∴A∩B＝．，故选：B．【点睛】本题考查交集并集的求法，是基础题，解题时要注意交集并集的区别．2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】表示两个不同平面，直线是内一条直线，若∥，则∥，所以∥是∥的充分条件；若∥不能推出∥，故不是充分条件∴∥是∥的充分不必要条件故选A4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．【详解】由已知双曲线C（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得∴，，故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考查计算能力．5.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或1【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．【详解】程序对应的函数为y，若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选：C．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．7.若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D【解析】【分析】根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）＝cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为π，故C不正确；显然，f（x）＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【详解】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（-1，0）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2﹣x＝（）x，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sinα＞sin （90°﹣β）＝cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题．10.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得, ，∴，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，∴，故选：C．考点：数量积表示两个向量的夹角.11.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（）A. 33B. 31C. 17D. 15【答案】D【解析】【分析】由简单的合情推理得：是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，得解．【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，即P（4）＝24﹣1＝15，故选：D．【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．12.定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】B【解析】【分析】当m＞0时，∵m⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，根据韦达定理以及f（1），f（2）的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得．【详解】当m＞0时，∵0⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则0，且x1+x23，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝33，故选：B．【点睛】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得，，化目标函数为直线方程的斜截式.由图可知，当直线过，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为；当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为.的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.14.在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．【答案】10【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，分析可得q4＝8×q，解可得q的值，结合等比数列的前n 项和公式可得S n2n﹣1＝1023，解可得n的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝8a2，则有q4＝8×q，解可得q＝2，若S n＝1023，则有2n﹣1＝1023，解可得：n＝10；故答案为：10．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列前n项和的形式，属于基础题．15.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【答案】2【解析】【分析】由已知|MN|＝2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．【详解】如图，过M作MH⊥l＝H，由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y（x），联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：，则|GF|，即p＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．16.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】②④【解析】【分析】对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC 共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．【详解】对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD ＝MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.（1）求角的大小和的长；（2）设的角平分线交于，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCE S△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．【详解】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，∴sin C+cos（A+B）＝0，又A+B＝π﹣C，∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，∵C∈（0，π），∴C，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，解得：BD＝1，（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，∴∠DBC，∴S△DBC BD•BC，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠BCE＝∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE，S△CED，可得：，∴S△BCE S△CED，∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，∴S△CED（2）＝23．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．【详解】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】【分析】（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：0 1 2 3 415 12 11 9 8（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）每株“相近”的株数的最大值为5.（3）的分布列为：11一株产量的期望为【解析】【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．【详解】（1）由题意得：，，∴，，所以，，所以.（2）设每株的产量为，根据题意：，解得，令，解得，所以每株“相近”的株数的最大值为5.（3）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，当时，，由题意得：，，，，所以的分布列为：11所以，所以一株产量的期望为.【点睛】本题考查了线性回归方程的计算及应用，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．21.已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln•2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt•2，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）的定义域为，，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以函数的极小值为，无极大值.（2），当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，综上，，故在单调递增，故只须证明，即证，由，可知，故，即证，，，也就是，，，.不妨设，，即证，，即证，设，，故在单调递增.因而，即，因此结论成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．【详解】（1）由得，所以，即.（2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，属于基础题．。

学霸养成.2020高考数学热点难点必杀技系列—导数用导数研究含有参数的函数单调性,是高考的热点与难点,难点在于如何确定分类标准,特别是含有ln x 的函数,还要注意定义域问题,在讨论过程中有时需要两次或三次划分.本专题总结一些常见的类型及分类原则,供教师或高三学生参考.1.【2019全国卷Ⅲ】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在,求出,a b 的所有值；若不存在,说明理由.2.【2017全国卷Ⅰ】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围．3.【2019新课标Ⅲ】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在,求出,a b 的所有值；若不存在,说明理由.一、把研究函数的单调性转化为解不等式()()00ax b x +><>或0此类问题,若a 为参数,要注意分0,0,0a a a >=<进行讨论,还要注意0x >这一条件. 【例1】【天津市耀华中学2019届高三二模】已知函数()ln f x e x ax =-,()212g x x ax =-（e 为自然对数的底）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在均属于区间[]1,3的1x ,2x ,且121x x -≥,使()()12f x f x =,证明：3lnln 22e a e ≤≤； （3）对于函数()f x 与()g x 定义域内的任意实数x ,若存在常数k ,b ,使得()f x kx b ≤+和()g x kx b ≥+都成立,则称直线y kx b =+为函数()f x 与()g x 的分界线.试探究当1a =时,函数()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在,请给予证明,并求出k ,b 的值；若不存在,请说明理由. 【对点训练】【辽宁省葫芦岛市2019届高三二模】已知函数()ln af x x x=-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)令()(1)g x f x =+,当2a =,11x e >-时,证明：23ln(1)()1ln(1)e x g x x -+++<++.221(1)ln(1)22111ln(1)x x x e e x x x ----++++++++剟.故原不等式成立.二、把研究函数的单调性转化为解不等式()()e 0x a b x +><∈或0R求解此类问题,要注意e 0x >,若0,0a b >>,则e 0x a b +>恒成立,若0,0a b <<,则e 0xa b +<恒成立. 【例2】【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】设定义在R 上的函数()()xf x e ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[)01,x ∈+∞,使得0()f x e a <-成立,求实数a 的取值范围；（3）定义:如果实数,,s t r 满足|s-r||t-r|≤, 那么称s 比t 更接近r .对于（2）中的a 及1x ≥,问:ex和1x e a -+哪个更接近ln x ？并说明理由.【对点训练】【湖南长沙第一中学2019届高三下学期模拟】已知函数()(1)xf x e m x n =+-+ （1）讨论函数()f x 的单调性 （2）函数21()()12xg x e mx m n x =-++-,且(2)0=g ．若()g x 在区间（0,2）内有零点,求实数m 的取值范围.三、把研究函数的单调性转化为一元二次不等式在R 上的解集此类问题一般为三次函数或形如()()2e xf x ax bx c =++的函数【例3】【天津市红桥区2019届高三一模】已知函数()3223f x x ax a x =+-+,a R ∈.（1）若0a <,求函数()f x 的单调减区间；（2）若关于x 的不等式()22ln 1x x f x a +'≤+恒成立,求实数a 的范围.【对点训练】已知0a ≤,设函数2()xax x af x e++=. （1）讨论()f x 单调性；（2）若当BC AP λ=时,()ln(1)f x m x ≤+,求m 的取值范围.四、把研究函数的单调性转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0求解此类问题,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.【例4】【山西省晋城市2019届高三第三次模拟】已知函数1()ln a f x x ax x+=++. （1）若0a <,讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a ≥,证明：1()21x f x a x e--…. 【对点训练】【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞,()0f x ≥,求实数a 的取值范围.五、把研究函数的单调性转化为解不等式()()200ax bx c x ++><>或0,然后根据判别式的符号进行讨论求解此类问题既要考虑判别式的符号,又要注意二次项系数的符号,还要注意定义域. 【例5】【广东省2019届高三适应性考试】已知函数2()ln 31f x x x ax =+++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时,讨论函数()f x 的零点个数.【对点训练】【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点,证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.1.设()3221f x x ax a x =+-+,()221g x ax x =-+,其中实数0a ≠（1）若0a >,求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点,且()g x 存在最小值时,记()g x 的最小值为()h a ,求()h a 的值域；（3）若()f x 与()g x 均在区间(),2a a +内为增函数,求a 的取值范围. 2.【天津市部分区2019届高三联考一模】设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时,试判断()f x 零点的个数；（3）当1a =时,若对(1,)x ∀∈+∞,都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立,求k 的最大值.3.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-,1a >. （1）若'(2)0f = ,求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性.4.【安徽省泗县2019届高三高考最后一模】已知：21()ln ()2f x ax x a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <,0t <<,证明： （i ）()y f x =在点(,())P t f t 处的切线与()y f x =的图像至少有两个不同的公共点；（ii ）若另有公共点为()()00,x f x ,其中0x t >,则0t x +>5.【山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习】已知函数()()21xf x e ax x =--.(1)求()f x 的单调区间；(2)若0x ≥,()1f x ≤,求实数a 的取值范围．6.【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟】已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.（1）讨论()f x 的单调性；（2）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >,并证明你的结论.7.【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（5月三模)】已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立,求实数m 的取值范围. 8.【山东省威海市2019届高三二模】已知函数2()(1)1xa x f x e x x -=>-+. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当[0,1]m ∈时,函数222()(0)xmx m e g x x x+-=>有最大值.设()g x 的最大值为()h m ,求函数()h m 的值域.。