2021届山东省潍坊市3月高考模拟考试(高三一模)数学试卷(word版)

山东潍坊2021届高三数学模拟试题一、单项选择题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2)-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()3sin x xx x f x e e -+=+的图象大致是 ( )6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10B ．12C ．14D ．167．已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π[,]39上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．28lg 2ab >D ．lg 6b a ->12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．已知函数21()2,0()34log ,0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则((8))f f = ．14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差()D X = ．15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DGDD = ，1AHHC = ． 四、解答题17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求三棱锥的体积．19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．①求X的分布列和数学期望；②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.22．（12分）已知函数()ln x f x ae x =，其中 2.71828e =是自然对数的底数，2()ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．山东潍坊2021届高三数学模拟试题答案一、单项选择题 1．A2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C【解析】因为1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即11101e e e a ae--+=++，解得1a =，即12()111xx x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D二、多项选择题 9．ABD10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13f x x x x =-+=-+，所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ3π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()39k x k =+∈Z ，所以直线5π9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3T ω==，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π18x =，故函数()g x 的图像关于点11π(,1)18对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π99x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg1002a b +==，25lg lg 64b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =⋅>⋅=，故选ACD ．12．AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则124PA AA ==，2OA =，所以22111322OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60︒，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114(23)(2)2222h PE PO OE '==+=+=， 所以该四棱台的表面积为2222214(22)(2)4106722+++⨯⨯=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====，22112A O O OA OB OC OD +=====，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为24π216π⨯=，故D 正确． 三、填空题 13．5【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．14．47.5【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =⨯⨯-=． 15．185【解析】因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)3255a b +≥⨯+=． 16．16，38【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，所以116DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，因为AB CE ∥，所以32AM AB MC CE ==，所以132AN AM NC MC ==， 所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =． 四、解答题17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B =， ∵0πB <<，∴π3B =或2π3B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π3B =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1cos 2B =，∵0πB <<，∴π3B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故ABC △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得sin sin 3sin B A A=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66B -=，得π3B =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．18．（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．（2）略19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.……………………………………2分在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007……6分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，……10分所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.…………12分20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =⨯+⨯+-⨯=．②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为所以()270.4300.4360.230E Y =⨯+⨯+⨯=．所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为3610302027203050⨯+⨯+⨯=， 所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<．所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．21．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；……6分（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………8分 23223222,,1,,,1,,,12222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由23202320m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；…………………9分设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由2320220n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取x 1=，得()1,-1,-2=n .…………………11分 1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m n………………………13分 ∴二面角A MD B --的余弦值为105．………………………12分22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1[,)e +∞．【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x'=+，(0,)x ∈+∞． 令1()ln k x x x =+，则21()x k x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，所以()(1)10k x k ≥=>．又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增．（2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x ae x ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x=，则21ln ()x H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()0()x H ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x x a e>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x G x e=，(0,1)x ∈， 则1()x x G x e-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以1()(1)G x G a e<=≤， 即实数a 的取值范围为1[,)e +∞．。

2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（3月份）（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则以下结论正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，故A，选项A错误；，选项B正确；2，，选项C错误；，D错误．故选：B．先求出集合B，然后结合集合的交并及包含关系分别检验各选项即可判断．本题主要考查了集合的交并及集合包含关系的判断，属于基础题．2.已知复数为虚数单位，则的最大值为A. 1B.C. 2D. 4【答案】C【解析】解：复数为虚数单位，，，故当时，则取最大值2，故选：C．求出，得到其模长，再结合余弦函数的性质即可求解结论．本题考查了复数模的求法，考查了三角函数的有界性，是基础题．3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x123y在以下四个函数模型b为待定系数中，最能反映x，y函数关系的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由表格数据作出散点图如下：数据散点图和指数函数图象类似，故选项D最能反映x、y的函数关系，故选：D．由表格数据作出散点图，结合图象的特点选择对应的函数即可．本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，考查数形结合的思想，属于基础题．4.在空间中，下列命题是真命题的是A. 经过三个点有且只有一个平面B. 平行于同一平面的两直线相互平行C. 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D. 如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面【答案】D【解析】解：经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，若三点共线，经过该三点有无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故B错误；如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，正确，证明如下：，，，，，在内，a与b外任取一点P，作，，，，，又，则，作，同理可得，而，PA、，则．故选：D．由平面的基本性质判定A；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定B；由等角定理判定C；直接证明D正确．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得随机变量服从二项分布，则最多1人被感染的概率为，故选：A．由题意可得随机变量服从二项分布，根据概率公式即可求出．本题考查了服从二项分布问题，以及概率公式，属于基础题．6.多项式展开式中的系数为A. 6B. 8C. 12D. 13【答案】C【解析】解：多项式展开式中的系数为，故选：C．由题意利用二项展开式的通项公式，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．7.已知，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，，，，即A错误；，，，，，即BC都错误，D正确．故选：D．根据条件可得出，，，然后根据对数函数、指数函数和幂函数的单调性即可判断每个选项的正误．本题考查了指数式和对数式的互化，指数函数、对数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为A. 144B. 72C. 36D. 24【答案】B【解析】解：由正六棱柱的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即，，可得正六边形的底面边长为，则正六棱柱的底面积为，则此包装盒的体积为．故选：B．利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解．本题考查正六棱柱体积的求法，解答此题的关键是求出底面边长，是中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知双曲线的左，右焦点分别为，，一条渐近线方程为，P为C上一点，则以下说法正确的是A. C的实轴长为8B. C的离心率为C. D. C的焦距为10【答案】AD【解析】解：由双曲线，得其一条渐近线方程为，又一条渐近线方程为，，则C的实轴长为，故A正确；，C的离心率为，故B错误；P为C上一点，则，故C错误；C的焦距为，故D正确．故选：AD．由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，是基础题．10.已知函数，则下列结论正确的是A. 是偶函数B.C. 是增函数D. 的值域为【答案】BD【解析】解：函数，其图像如图，由图可得，不是偶函数，也不是增函数，故AC错误，的最小值为，无最大值，故值域为，D正确，，，即B成立，故选：BD．画出大致图像，结合图像即可判断ACD，再代入求解可判断B．本题考查的知识点是分段函数的应用，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．11.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设各层球数构成一个数列，则A. B.C. D.【答案】BC【解析】解：由题意可知，，，，，，故，所以，故选项A错误；因为，故选项B正确；因为，故选项C正确；因为，，所以，故选项D错误．故选：BC．根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，由此对各个选项进行逐一的判断即可．本题考查了归纳推理的应用，解题的关键是通过给出的信息寻找规律，利用规律进行研究，属于中档题．12.已知实数x，y，z满足，且，则下列结论正确的是A. B. z的最大值为C. z的最小值为D. xyz的最小值为【答案】ACD【解析】解：因为，且，所以，故选项A正确；因为，解得，所以z的最小值为，最大值为0，故选项B错误，选项C正确；令，则x，y，z是方程的三个根，令，则，令，解得或，要使得有3个零点，则需，解得，所以xyz的最小值为，故选项D正确．故选：ACD．利用，即可判断选项A，利用，求解z的范围，即可判断选项B，C，设，则有三个零点，列出不等式，求出c的范围，即可判断选项D．本题考查了不等式的综合应用，涉及了一元二次不等式的解法，函数与方程的综合应用，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力有较高的要求，属于中档题．三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知正方形ABCD边长为1，，则______ ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．由题意可得，，，，，，根据，利用两个向量的数量积的定义运算求得结果．【解答】解：由题意可得，，，，，，再由，可得，故答案为．14.写出一个存在极值的奇函数______ ．【答案】sin x【解析】解：根据题意，要求函数为奇函数且存在极值，则可以为正弦函数，即，故答案为：答案不唯一．根据题意，分析可得可以为正弦函数，即可得答案．本题考查函数的奇偶性和极值的定义，注意常见函数的性质，属于基础题．15.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则______ ．【答案】5【解析】解：由抛物线方程可得：，准线方程为：，由抛物线定义可得，如图所示，，设PQ与y轴交于点M，因为，，且，所以≌TOF，所以，则，所以，代入抛物线方程可得，所以，故答案为：5．先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，利用数形结合求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义即可求解．本题考查了抛物线的定义，涉及到三角形全等的问题，考查了学生的数形结合的能力，属于中档题．16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时______ ．【答案】【解析】解：作交QP于M，交AB于C，且，设，则，，设，作交AB于E，交AB于F，，，，，，则，即，，．，当，即时，最大，也就是OP最长时，．故答案为：．作交QP于M，交AB于C，设，把AB，OC用含有的三角函数表示，设，作交AB于E，交AB于F，结合，求解三角形得到，进一步用含有的三角函数表示OM，MP，列式整理后可得得到当，即时，最大，也就是OP最长时，．本题考查三角形的解法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，函数的图象经过点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数最小正周期为，且____，判断函数在、上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由．【答案】解：因为的周期，所以，选函数的图象关于直线对称，故，即，，因为，故，，由得，当即时，函数取得最大值1；选函数的图象关于点对称，故，即，，因为，故，，当，即时，函数取得最大值1；选函数的图象经过点，则，所以，所以，，当，即时，函数取得最大值1．【解析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求，代入可求函数解析式，选函数的图象关于直线对称，结合正弦函数的对称性先求出，进而可求；选函数的图象关于点对称，结合正弦函数的对称性先求出，进而可求；选函数的图象经过点，把已知点代入可求，进而可求．本题主要考查了三角公式，正弦函数的周期共线，对称轴及对称中心，最值的求解，属于三角知识的综合应用．18.已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列，并求出；求数列的前n项和．【答案】证明：，，，又，，，数列是首项为3，公比为3的等比数列，且，；解：由可得：，，，又，，，当时，，当时，，综上，．【解析】先由题设条件得到：，再求得，即可证明结论，求得；先由求得，进而求得，再求得其前n项和即可．本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、分类讨论思想在数列的求和中的应用，属于中档题．19.如图，在四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是棱PD上的动点除端点外，F，M 分别为AB，CE的中点．求证：平面PAD；若直线EF与平面PAD所成的最大角为，求平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】证明：取CD中点N，连接MN、NF，因为M为DE中点，所以，又因为，F为AB中点，所以，，MN、平面MNF，，AD、平面PAD，所以平面平面PAD，又因为平面MNF，所以平面PAD．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，则0，，0，，2，，2，，，平面PAD的法向量为0，，直线EF与平面PAD所成的正弦值为，当时，取最大值，解得，3，，设平面CEF 的法向量为y ，，，令，，所以平面CEF与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为．【解析】根据直线与平面平行的判定定理证明；先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角的计算问题，属于较难题．20.在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据2，，20，，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，，，，，．请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x 的线性回归方程的计算结果保留两位小数；科学健身能降低人体脂肪含量，如表是甲，乙两款健身器材的使用年限整年统计表：使用年限5年6年7年8年合计台数款式甲款520151050乙款152010550某健身机构准备购进其中一款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？参考公式：相关系数；对于一组具有线性相关关系的数据2，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】解：相关系数，接近1，该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合．，，关于x的线性回归方程为．甲款健身器材的平均使用年限为，乙款健身器材的平均使用年限为，，该机构选择购买甲款健身器材，才能使用更长久．【解析】根据参考公式，求得相关系数r，并判断与1的接近程度；求出和，即可得线性回归方程；分别计算甲、乙两款健身器材的平均使用年限，即可得解．本题主要考查相关系数、线性回归方程的求法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．21.已知函数．若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数a；当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．【答案】解：的导数为，可得曲线在点处的切线的斜率为，，即切点为，由于切线经过原点，可得，解得；，令，则，当时，，当时，，在递增，且，所以在无零点；当时，时，，递减；时，，递增，因为，所以，即在递增，趋向于负数，所以在有一个零点；综上可得，当时，在无零点；当时，在有一个零点．【解析】求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得a的值；求得的导数，令，求得导数，讨论当时，当时，，的单调性，可得所求零点个数．本题考查导数的运用：求切线方程和零点的个数的求法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；过点作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方，记直线，的斜率分别为，．证明：为定值；设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．【答案】解：设，由题可知，所以．证明：设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，所以，，所以，所以为定值．，不妨设，所以，，所以，当时，最大，，直线l的方程为，，，，点Q到直线l的距离为，，所以．【解析】设，由题列，化简即可得出答案．设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，即可得出答案．，不妨设，推出，当时，最大，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

山东潍坊2021届高三数学模拟试题一、单项选择题1．已知集合2{|60}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2)-∞C ．(,1)-∞D ．[2,1)-2．函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，e ） C ．（e ，3） D ．（3，+∞）3．已知sin θ+sin （θ+）＝1，则sin （θ+）＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x ∈R ，则“24x >”是“lg(||1)0x ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()3sin x xx x f x e e -+=+的图象大致是 ( )6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有( )种． A ．10B ．12C ．14D ．167．已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为（ ）A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（kg ）情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（kg ）情况如图（2）．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在[90,100)内的肥胖者增加了2名 B ．他们健身后，体重在[100,110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在[110,120)内的肥胖者体重都有减少10．将函数()sin 33cos31f x x x =-+的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，给出下列关于函数()g x 的结论：①它的图像关于直线5π9x =对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图像关于点11π(,1)18对称；④它在5π19π[,]39上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④11．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b +=B ．1b a -=C ．28lg 2ab >D ．lg 6b a ->12．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，11112AA BB CC DD ====，则下列叙述正确的是（ ）A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题13．已知函数21()2,0()34log ,0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则((8))f f = ．14．某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差()D X = ．15．已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DGDD = ，1AHHC = ． 四、解答题17．（10分）在①cos 23sin 20B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由．18．（12分）如图（1），平面四边形ABCD 中，2AB AC ==，AB AC ⊥，AC CD ⊥，E为BC 的中点．将ACD △沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图（2）的三棱锥D ABC -．（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求三棱锥的体积．19．（12分）如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点D ，E ，F.设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．20．（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概率．①求X的分布列和数学期望；②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值.22．（12分）已知函数()ln x f x ae x =，其中 2.71828e =是自然对数的底数，2()ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的(0,1)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．山东潍坊2021届高三数学模拟试题答案一、单项选择题 1．A2．A 解：函数f （x ）＝lnx ﹣+1在x ＞0时，是连续增函数，∵f （1）＝ln （1）﹣2+1＝﹣1＜0，而f （2）＝ln 2﹣1+1＞ln 2＞0，∴函数f （x ）＝lnx ﹣+1的零点所在区间是 （1，2）， 3．B 4.B 5．A 6．C 7．C【解析】因为1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即11101e e e a ae--+=++，解得1a =，即12()111xx x e f x e e -==-++，故()f x 在R 上为增函数， 又2(3)(9)f x f x -<-，所以239x x -<-，解得43x -<<，故选C ． 8．D二、多项选择题 9．ABD10．BC 【解析】因为π()sin 33cos312sin(3)13f x x x x =-+=-+，所以πππ()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x =+-+=++．令ππ3π()62x k k +=+∈Z ，得ππ()39k x k =+∈Z ，所以直线5π9x =不是()g x 图像的对称轴，①错误；最小正周期2π2π3T ω==，②正确；令π3π()6x k k +=∈Z ，得ππ()318k x k =-∈Z ，取2k =，得11π18x =，故函数()g x 的图像关于点11π(,1)18对称，③正确； 令πππ2π32π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得2π2π2ππ3939k k x -≤≤+，k ∈Z ， 取2k =，得10π13π99x ≤≤；取3k =，得16π19π99x ≤≤，所以④错误，故选BC ． 11．ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg1002a b +==，25lg lg 64b a -=>，24lg 2lg54lg 2lg 48lg 2ab =⋅>⋅=，故选ACD ．12．AD【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥P ABCD -，并取E ，1E 分别为BC ，11B C 的中点， 连接AC ，BD ，11AC ，11B D ，1A O ，OE ，OP ，PE ，记四棱台上、下底面中心分别为1O ，O ，由条件知1A ，1B ，1C ，1D 分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则124PA AA ==，2OA =，所以22111322OO PO PA OA ==-= 3，故A 正确；由4PA PC ==，4AC =，得PAC △为正三角形，则1AA 与1CC 所成角为60︒，故B 不正确； 四棱台的斜高222211114(23)(2)2222h PE PO OE '==+=+=， 所以该四棱台的表面积为2222214(22)(2)4106722+++⨯⨯=+C 不正确； 易知11110OA OB OC OD ====，22112A O O OA OB OC OD +=====，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为24π216π⨯=，故D 正确． 三、填空题 13．5【解析】因为2(8)4log 8431f =-+=-+=-，所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．14．47.5【解析】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，()10000.95(10.95)47.5D X =⨯⨯-=． 15．185【解析】因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++． 因为0a >，0b >，所以525b a a b +≥（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)3255a b +≥⨯+=． 16．16，38【解析】如图，G 为平面BEF 与1DD 的交点，连接GE ，EF ． 易证BF ∥平面11CDD C ，则BF GE ∥，则AFB DGE △△∽，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，所以116DG DD =． 连接1AC ，连接AC 交BE 于点M ，过点M 作1MN CC ∥，MN 与1AC 交于点N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，因为AB CE ∥，所以32AM AB MC CE ==，所以132AN AM NC MC ==， 所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =． 四、解答题17．【解析】选①．∵2cos 212sin B B =-，∴22sin 330B B +-=， 即(2sin 3)(sin 3)0B B +=，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B =， ∵0πB <<，∴π3B =或2π3B =． 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∴b 不是三角形中最大的边，∴π3B =， ∵2222cos b a c ac B =+-，∴2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形． 选②．由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理，得2cos sin sin 0B C C -=， ∵0πC <<，∴sin 0C >，∴1cos 2B =，∵0πB <<，∴π3B =， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，故ABC △是等边三角形． 选③．由正弦定理，得sin sin 3sin B A A=．∵sin 0A ≠，∴3cos 1B B -=，即π1sin()62B -=，∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<，∴ππ66B -=，得π3B =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC △是等边三角形．18．（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥， 又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD ，又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD ．（2）略19．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3.……………………………………2分在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000，所以DE ＝1007……6分(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos ∠CEF ＝2y cos θ. .…………………………………8分 在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DE sin ∠DBE，即200－2y cos θsin θ＝ysin 60°，……10分所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，0＜θ＜π2，.…………………………10分所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3.…………12分20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）①由题意可知，X 的所有可能取值为1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X 的分布列为所以数学期望()10.800.1(1)0.10.7E X =⨯+⨯+-⨯=．②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为27，30，36，所以Y 的分布列为所以()270.4300.4360.230E Y =⨯+⨯+⨯=．所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为3610302027203050⨯+⨯+⨯=， 所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分为21365766510000⨯=<．所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．21．（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ……2分 则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，………4分而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；……6分（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，………7分由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,1A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， ………………………8分 23223222,,1,,,1,,,12222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由23202320m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；…………………9分设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由2320220n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取x 1=，得()1,-1,-2=n .…………………11分 1cos 0,⋅∴==-⋅m n m n m n………………………13分 ∴二面角A MD B --的余弦值为105．………………………12分22．（1）()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；（2）1[,)e +∞．【解析】（1）因为()ln x f x ae x =，所以1()(ln )x f x ae x x'=+，(0,)x ∈+∞． 令1()ln k x x x =+，则21()x k x x-'=， 当(0,1)x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，所以()(1)10k x k ≥=>．又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，则()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增．（2）由()0h x >，得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以ln ln ln()x x x x x x a ae x ae ae ae <+=，即ln()ln x x ae x ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设ln ()x H x x=，则21ln ()x H x x -'=． 当(0,1)x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当(1,)x ∈+∞时，()0H x >；当(0,1)x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()0()x H ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以x ae x >． 综上可知，x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x x a e>对任意(0,1)x ∈恒成立． 设()x x G x e=，(0,1)x ∈， 则1()x x G x e-'=，所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以1()(1)G x G a e<=≤， 即实数a 的取值范围为1[,)e +∞．。

2021年山东省潍坊市高三一模理科数学试题及答案高三数学（理工农医类） 03本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合M1?{x|()x?1}，N?{x|y?lg(x?2)}，则M?N等于2A．[0,??) B．(?2,0] C．(?2,??) D．(??,?2)?[0,??) 2. 设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1?1?2i，则z2z1的虚部为A．3 B．?3 C．4 D．?455553. 如果双曲线x2y2?2?1(a?0,b?0)2ab的一条渐近线与直线3x?y?3?0平行，则双曲线的离心率为A．2 B．3 C．2 D．3f(x)的定义域为{x|x?R，且x?0}，且满足4. 已知函数y?f(x)?f(?x)?0，当x?0时，f(x)?lnx?x?1，则函数y?f(x)的大致图像为5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：- 1 -50岁以下 50岁以上合计偏爱蔬菜 4 16 20偏爱肉类 8 2 10合计 12 18 30则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为 A．90% B．95% C．99% D．99.9% 附：参考公式和临界值表由P(K2≥k） k0.00.00.050 10 01 3.86.610.41 35 828n(ad?bc)2， K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)26. 下列结论中正确的是：①命题：?x?(0,2),3x?x3的否定是?x?(0,2),3x?x3；②若直线l上有无数个点不在平面?内，则l//?；③若随机变量?服从正态分布N(1,?2)，且P(??2)?0.8，则P(0???1)?0.2；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4?3，则S7?21。