2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷与解析PDF(文科)

武昌区 2017 届高三年级元月调研考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|05,|20A x N x B x x =∈≤≤=-<，则()R A C B = （ ） A. {}1 B. {}0,1 C. {}1,2 D. {}0,1,22. 在复平面内，复数12iz i-+=-（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若,x y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+=⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ） A. -3 B.12 C. 1 D.324. 执行如图所示的程序框图，若输入的2017x =，则输出的i =( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.设公比为()0q q >且的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 若224432,32S a S a =+=+，则1a =（ ） A. -2 B. -1 C.12 D.236. 已知函数()23f x ax a =-+，若0x ∃()1,1∈-，f ( x 0 )=0 ，则实数 a 的取值范围是( )A. ()(),31,-∞-+∞B. (),3-∞-C. ()3,1-D.()1,+∞7.在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4，AD=3，则AN MN ⋅=A. 08. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的x =（ ）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D.2.49. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A. 甲B. 乙C.丙D.丁10. 已知函数f ( x )的部分图象如图所示，则f ( x )的解析式可以是（ ）A. ()222x f x x -= B. ()2cos x f x x =C. ()2cos xf x x= D. ()cos x f x x =11.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）12.若()cos 2cos 2f x x a x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)2,-+∞B. ()2,-+∞C. (),4-∞-D.(],4-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 将圆22:210C x y x y ++-+=平分，且与直线230x y ++=垂直，则l 的方程为 .14.某射击运动员每次射击击中目标的概率为80%，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0—9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击记过，敬随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为 . 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 已知129,a a =为整数，且5.n S S ≤则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前9项和为 .16.在矩形ABCD 中，现ABD ∆将沿沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.其中正确的结论序号为 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知13cos 2cos ,tan .2a C c AC == （1）求B;（2）若5b =，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1 ．（Ⅰ）证明：SD ⊥平面 SAB ； （Ⅱ）求四棱锥S ABCD -的高．19.（本题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x （吨），用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5) ，[0.5,1) ，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中 a 的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.20.（本题满分12分）已知直线()2y k x =-与抛物线21:2y x Γ=相交于A,B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N.（1）证明：抛物线Γ在点N 处的切线与AB 平行；（2）是否存在实数k 使0NA NB ⋅=？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln .2f x x a x a x =+-- （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a <，若对()12,0,x x ∀∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

武汉市2017届高中毕业生五月模拟考试文 科 数 学2017.5.8一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={0，1，2}，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．9 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α=4π，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠4π D ．若tan α≠1，则α=4π3．函数－x )的定义域为A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]4．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 5．设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n －1B ．S n =3a n －2C ．S n =4－3a nD ．S n =3－2a n6．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定7．执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =A ．1111234+++B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是A ．(,)-∞+∞ B.(2,)-+∞ C.(0,)+∞ D.(1,)-+∞9．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6-10．设a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若复数i +=1z （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为 ．12．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．13．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m 3．15．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则→AP·→AC＝．16．在区间]3,3[-上随机取一个数x，使得1|2||1|≥--+xx成立的概率为____.17．已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O、A为焦点，OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，也有另一个真命题：若A 为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sin(x－π6)＋cos(x－π3)，g(x)＝2sin2x2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；（Ⅱ）求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=.{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b )(*N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和T n ．20．（本小题满分13分）如图，在△ABC中，∠B＝π2，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(2x2－4ax)ln x＋x2（a＞0）．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式(2x－4a)ln x＞－x恒成立，求a的取值范围．22．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.武汉市2017届高中毕业生五月模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．C 3．B 4．D 5．D6．B 7．B 8．D 9．A 10．A二、填空题11．0 12．78 13．18＋9π 15．1816．1 317．以O、A为焦点，OB长为实轴长的双曲线三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f(x)＝32sin x－12cos x＋12cos x＋32sin x＝3sin x，g(x)＝1－cos x．由f(α)＝335，得sinα＝35．又α是第一象限角，所以cosα＞0，从而g(α)＝1－cosα＝1－1－sin2α＝1－45＝15．（Ⅱ）f(x)≥g(x)等价于3sin x≥1－cos x，即3sin x＋cos x≥1，于是sin(x ＋π6)≥12． 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ． 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ． （Ⅱ）由（Ⅰ），知2n+1n a =， 所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以12n n T b b b =+++ =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)． 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，设F 为A ′B 的中点，连结PF ，FE ．则有EF ∥BC ，EF ＝12BC ，PD ∥BC ，PD ＝12BC ，∴DE ∥PF ，又A ′P ＝PB ， ∴PF ⊥A ′B ， 故A ′B ⊥DE ．（Ⅱ）令PA ＝x （0＜x ＜2），则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x ．因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ， 故A ′P ⊥平面PBCD ．∴VA ′-PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x＝233．当x ∈(0，233)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(233，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．∴当x ＝233时，f (x )取得最大值，故当V A ′-PBCD 最大时，PA ＝233．21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝(4x －4a )ln x ＋2x 2－4axx＋2x ＝4(x －a )(ln x ＋1)（x ＞0），令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝1e．①当0＜a ＜1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，a )，(1e，＋∞)；单调递减区间为(a ，1e)．②当a ＝1e时，f ′(x)≥0，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．③当a ＞1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，1e)，(a ，＋∞)；单调递减区间为(1e，a )．（Ⅱ）由(2x －4a )ln x ＞－x （x ≥1），得(2x 2－4ax )ln x ＋x 2＞0，即f (x )＞0对x ≥1恒成立． 由（Ⅰ）可知，当0＜a ≤1e时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min＝f (1)＞0恒成立；当1e＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min＝f (1)＝1＞0恒成立；当a ＞1时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (a )＞0，即(2a 2－4a 2)ln a ＋a 2＞0，解得1＜a ＜e ．综上可知，a 的取值范围为(0，e)．22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解法1：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根， 所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.。

全国大联考2017届高三第五次联考·文科数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z=(1+i )(2-i )(i 为虚数单位),则z −在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|0<x ≤3},N={x ∈N|0≤x-1≤1},则M ∩N 等于A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}3.用反证法证明命题“若正整数a ,b ,c 满足b 2-2ac=0,则a ,b ,c 中至少有一个是偶数”时,反设应为A.假设a ,b ,c 都是偶数B.假设a ,b ,c 都是奇数C.假设a ,b ,c 至多有一个偶数D.假设a ,b ,c 至多有两个奇数4.某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5:由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是y ＾=-3.2x+4a ,则a 等于A.7B.8.5C.9D.105.已知a>b>0,则“x2-5x+6<0”是“lgxa<lgxb”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm),可得几何体的体积是A.1 cm3B.2 cm3C.43cm3D.53cm37.下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A.25B.710C.45D.9108.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点,直线OA的斜率为2(O 为坐标原点),且A到F的距离为3,则p等于A.32B.3C.4D.29.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是A.6B.7C.8D.910.将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组2x-3y+7≥0,1≤x≤4,y≥1所构成的四边形区域内,则该质点到此四边形的四个顶点的距离均不小于1的概率是A.1-π9B.1-π8C.1-π7D.1-π611.下列说法正确的是A.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为π6B.已知点A(cos 10°,sin 10°)、B(sin 40°,cos 40°),则直线AB的倾斜角为πC.若函数f(x)=2sin x,则将函数y=f'(x)sin x的图像向左平移3π个单位后可得到函数y=2sin2x-1的图像D.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若cos C=19,acos B+bcosA=2,则△ABC面积的最大值512.已知2a=3b=6c,k∈Z,不等式a+b c>k恒成立,则整数k的最大值为A.6B.5C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知i是虚数单位,则|3−i(1+i)2-1+3i2i|=▲.14.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成绩在[85,90),[90,95),[95,100]三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取12人参加面试,则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为▲.15.给出下列三个类比结论.①“(ab)n=a n b n” 类比推理出“(a+b)n=a n+b n;②已知直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.类比推理出:已知向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c;③同一平面内,直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.类比推理出:空间中,已知平面α,β,γ,若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ.其中结论正确的个数是▲.16.设Sn 为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:若此数阵中第i行从左到右的第j个数是-588,则i+j=.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(2)若从上表第三、四组的乘客中选2人做进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.18.(本小题满分12分)设a,b,c均为正实数.(1)若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1;(2)求证:a2+b2+c23≥a+b+c3.19.(本小题满分12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,统计(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为:S=0,0≤ω≤100,4ω-400,100<ω≤300, 2000,ω>300.试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该市本年空气重度污染与供暖有关.附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分别为AC,B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面ABB1A1;(2)线段CC1上是否存在点Q,使A1B⊥平面MNQ?说明理由.21.(本小题满分12分)定义函数f k(x)=alnxx k为f(x)的k阶函数.(1)求f(x)的一阶函数f1(x)的单调区间;(2)讨论方程f2(x)=1的解的个数.22.(本小题满分12分)过椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为B,与y轴的交点为C,已知AB=6BC.(1)求椭圆的离心率;(2)设动直线y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点P ,且与直线x=4相交于点Q ,若x 轴上存在一定点M (1,0),使得PM ⊥QM ,求椭圆的方程.2015届高三第五次联考·数学试卷参 考 答 案1.D 由z=(1+i )(2-i )得z=3+i ,故选D.2.A ∵N={1,2},则M ∩N={1,2}.3.B “至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”,即反设应为“假设a ,b ,c 都是奇数”.4.D 由题意得x −=9+9.5+10+10.5+115=10,y −=11+a+8+6+55=a5+6,回归直线必过点(x −,y −),所以a 5+6=-3.2x −+4a ,解得a=10.5.A 由x 2-5x+6<0得2<x<3,∵a>b>0,1<1,lg x>0,即x>1,故选A.6.C 直观图是一个三棱锥,体积为13×12×2×2×2=43(cm 3).7.C 由题意可得甲的平均成绩为90,设被污损的数字为x ,则依题意可得83+83+87+99+90+x<450,解得x<8,所以x 的值可以为0、1、2、3、4、5、6、7,所以所求事件的概率为810=45. 8.D 设A (a ,b ),则有b a= ,即b= a ,∴( a )2=2pa ,可得p=a ,又∵a+p 2=3,∴p=2. 9.B 由程序框图可得S=10-log 2(1×2×3×…×k ).当k=6时,S>0;当k=7时,S<0.所以输出k 的值为7.10.A 根据约束条件画出可行域,如图所示.直角梯形ABCD 的面积为1×3(2+4)=9,离三个顶点距离等于1的地方为四个小扇形,它们的面积之和为π,所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率P=1-π.11.C 由向量加法的平行四边形法则知a+b 与a 的夹角为π3,故A 错;直线AB 的斜率k=cos40°−sin10°sin40°−cos10°=cos(30°+10°)−sin(30°+10°)−cos10°= 32cos10°−32sin10°32sin10°−12cos10°=- 3,则直线AB 的倾斜角为2π3,故B 错;C 正确;由acos B+bcos A=2得a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·c 2+b 2-a 22bc=2⇒c=2,则4=a 2+b 2-2ab×19≥2ab-2ab×19=169ab ,∴ab≤94,则 S △ABC =12absin C ≤12×94×4 59= 52,故D 错. 12.D 设2a=3b=6c=m ,则a=log 2m ,b=log 3m ,c=log 6m ,所以a+b =log 2m+log 3m 6=lg6+lg6=lg2+lg3+lg2+lg3=2+lg3+lg2,∵lg3+lg2>2 ×=2,lg3+lg2=log 23+log 32<3,∴4<a+bc<5,则整数k 的最大值为4. 13. 5 |3−i (1+i)2-1+3i |=|3−i -1+3i|=|-2-i|= 5.14.6 (0.016+0.064+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.040.第3组的人数为0.060×5×50=15,第4组的人数为0.040×5×50=10,第5组的人数为0.020×5×50=5,所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生,第4组应抽取1030×12=4人,第5组应抽取530×12=2人. 则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为6.15.0 当n=2时,(a+b )2=a 2+2ab+b 2≠a 2+b 2,故①错;当b=0,向量a 与c 不一定平行,故②错;若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能平行也可能相交,故③错.16.29 设数列{a n }的公差为d ,由S 8=4a 3,a 7=-2得a 1=10,d=-2,则a n =12-2n ,令a n =12-2n=-588,解得n=300.在数阵中,从第1行到第m 行共有1+3+5+…+2m -1=m 2个数,∵172=289<300<182=324,∴i=18,j=300-289=11,则i+j=29.17.解:(1)候车时间少于10分钟的概率约为2+615=815, 所以候车时间少于10分钟的人数约为60×8=32. ........................... 4分 (2)将第三组乘客编号为a 1,a 2,a 3,a 4,第四组乘客编号为b 1,b 2.从6人中任选两人包含以下基本事件:(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,a 4),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,a 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,a 4),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(a 4,b 1),(a 4,b 2),(b 1,b 2)共15个基本事件,其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,故所求事件的概率为8. .......... 10分 18.解:(1)∵a+b+c=1,∴(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1,∵2ab≤a 2+b 2,2bc ≤c 2+b 2,2ac ≤a 2+c 2,∴a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1≤3(a 2+b 2+c 2),∴a 2+b 2+c 2≥1. .......................................................... 6分(2)由已知得a+b+c>0,欲证 a 2+b 2+c 23≥a+b+c 3,只需证a 2+b 2+c 23≥(a+b+c)29,只需证3(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c )2,只需证2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ≥0,即证(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≥0,上述不等式显然成立,故原不等式成立. .................................... 12分 19.解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ,由200<S ≤600,得150<ω≤250,频数为39,P (A )=39100. .......................... 4分 (2)k=100×(63×8−22×7)285×15×30×70≈4.575>3.841,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为空气重度污染与供暖有关. .... 12分20.解:(1)取AB 中点D ,连接DM ,DB 1.在△ABC 中,∵M 为AC 中点,∴DM∥BC ,DM=1BC. 在矩形B 1BCC 1中,∵N 为B 1C 1中点,∴B 1N ∥BC ,B 1N=1BC , ∴DM∥B 1N ,DM=B 1N ,∴四边形MDB 1N 为平行四边形,所以MN ∥DB 1. ∵MN ⊄平面ABB 1A 1,DB 1⊂平面ABB 1A 1,∴MN∥ 平面ABB 1A 1. ..................................................... 6分 (2)线段CC 1上存在点Q ,且Q 为CC 1中点时,有A 1B ⊥平面MNQ. 证明如下:连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ,所以A 1C 1⊥QN ,从而NQ ⊥平面A 1BC 1, ∴A 1B ⊥QN.同理可得 A 1B ⊥MQ ,∴A 1B ⊥平面MNQ.故线段CC 1上存在点Q ,使得A 1B ⊥平面MNQ. ................................. 12分 21.解:(1)f 1(x )=alnx x (x>0),f 1'(x )=a-alnx x 2=a(1-lnx)x 2(x>0), 令f 1'(x )=0,当a ≠0时,x=e. ∴当a=0时,f 1(x )无单调区间;当a>0时,f 1(x )的单增区间为(0,e ),单减区间为(e ,+∞);当a<0时,f 1(x )的单增区间为(e ,+∞),单减区间为(0,e ). ......................... 4分 (2)由alnx x 2=1,当a=0时,方程无解;当a ≠0时,lnx x 2=1a.令g (x )=lnx x 2(x>0),则g'(x )=x-2xlnx x 4=1−2lnx x3.由g'(x )=0得x= e , 从而g (x )在(0, e )上单调递增,在( e ,+∞)上单调递减.g (x )max =g ( e )=1. 当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0. 当0<1<1,即a>2e 时,方程有两个不同解. 当1a >12e ,即0<a<2e 时,方程有0个解. 当1a =12e或1a<0即a=2e 或a<0时,方程有唯一解.综上,当a>2e 时,方程有两个不同解;当0<a<2e 时,方程有0个解;当a=2e 或a<0时,方程有唯一解................................................................ 12分 22.解:(1)∵A (-a ,0),设直线方程为y=2(x+a ),B (x 1,y 1), 令x=0,则y=2a ,∴C (0,2a ),∴AB =(x 1+a ,y 1),BC =(-x 1,2a-y 1). ............................................ 3分 ∵AB=613BC ,∴x 1+a=613(-x 1),y 1=613(2a-y 1),整理得x 1=-1319a ,y 1=1219a , ∵B 点在椭圆上,∴(13)2+(12)2·a 2b2=1,∴b 22=3,∴a 2-c 22=3,即1-e 2=3,∴e=1. ............................................... 6分 (2)∵b 2a 2=34,可设b 2=3t ,a 2=4t ,∴椭圆的方程为3x 2+4y 2-12t=0,由 3x 2+4y 2-12t=0y =kx +m得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12t=0. .......................... 8分 ∵动直线y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点P ,∴Δ=0,即64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12t )=0,整理得m 2=3t+4k 2t.设P (x 2,y 2),则有x 2=-8km2(3+4k 2)=-4km 3+4k2,y 2=kx 2+m=3m3+4k2,∴P (-4km3+4k 2,3m3+4k 2), (10)分又M (1,0),Q (4,4k+m ),若x 轴上存在一定点M (1,0),使得PM ⊥QM , ∴(1+4km3+4k2,-3m 3+4k2)·(-3,-(4k+m ))=0恒成立,整理得3+4k 2=m 2,∴3+4k 2=3t+4k 2t 恒成立,故t=1.所求椭圆方程为x 2+y 2=1. ................................................ 12分。

武昌区2017届高三年级五月调研考试理科数学试卷本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z A.1 B. 2 C. 5 D. 222．设B A ,是非空集合，定义A B ⊗={B A x x ∈且B A x ∉}，己知集合{}02A x x =<<，{}0≥=y y B ，则A B ⊗等于A ．{}()+∞,20B ．[)[)+∞,21,0C ．()()+∞,21,0D ．{}[)+∞,20 3．下列选项中，说法正确的是A ．命题“0,0200≤-∈∃x x x R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ” B ．命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题D ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题4．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅ 等于A ．12-B ．12C ．32-D ．325．已知随机变量X 服从正态分布()2,σμN，且()9544.022=+<<-σμσμX P ，()6826.0=+<<-σμσμX P ，若1,4==σμ, 则()=<<65X PA ．0.1358B ．0.1359C ．D ．0.27186．已知ABC ∆，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin ac A BA BC <⋅，则A ．ABC ∆是钝角三角形B ．ABC ∆是锐角三角形C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D ．无法判断l7．如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是A ． 4B ．2-C ．12-或14D ．2-或4 9．设12A A 、分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于12A A 、的点P ，使得20PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是A ． (2 B ．[2 C ． (0)2， D ．(02， 10．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为 A ．8 B ．9 C ． 10 D ． 11二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．下图给出的是计算111124618++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________.t12. 一个空间几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为 .13. 已知lg 8(2)x x x -的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则实数x 的值为 . 14. 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为()N ∈≥n n n ,3等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的花. 如图①，圆环分成的3等份分别为1a ，2a ，3a ，有6种不同的种植方法.（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 1a ，2a ，3a ，4a ，有 种不同的种植方法； （2）如图③，圆环分成的()N ∈≥n n n ,3等份分别为1a ，2a ，3a ，,n a , 有 种不同的种植方法.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果记分.） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分 线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F .若35AC AB =，则FDAF的值为 . 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=.224,222t y t x 直线l 与曲线C 分别交于M N 、.若||||||PM MN PN 、、成等比数列,则实数a 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A =2.b c +=求实数a 的最小值. ABCDE F O①②③……在平面xoy 内，不等式224xy+≤确定的平面区域为U ，不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩确定的平面区域为V .（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点．．”. 在区域U 任取3个整点．．，求这些整点．．中恰有2个整点．．在区域V 的概率；（Ⅱ）在区域U 每次任取1个点．，连续取3次，得到3个点．，记这3个点．在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：31=a ，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；对于任意的正整数n ， ++212b bn n n na b =+-12．设数列{}n b 的前n 项和为n S .（Ⅰ）计算2a 、3a ，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足1413<<n S 的正整数n 的集合.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，AB =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且).0(>==λλFABFED PE （Ⅰ）当1λ=时，证明DF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为60？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C y x =，过点(1,2)A 作抛物线C 的弦AP ,AQ ． （Ⅰ）若AP AQ ⊥,证明直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ 过点(5,2)T -，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ? 若存在，求出APQ ∆的个数？如果不存在，请说明理由．A BCDPEF已知函数()ln (0)f x x p =>.（Ⅰ）若函数(f 在定义域内为增函数，求实数p 的取值范围； （Ⅱ）当*∈N n时，试判断1nk k =与2ln(1)n +的大小关系，并证明你的结论； (Ⅲ) 当2≥n 且*∈N n 时，证明：21ln ln nk n k=>∑.武昌区2017届高三5月调考数学参考答案一、选择题：1.C2.D3.C4.A5.B6.A7.D8.D9.A 10.C二、填空题：11．9?i > 12．8π 13．1110x x ==或 14．18 ；322(1)n n --⋅-(3n ≥且)n N ∈ 15．5816．1三、解答题：17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+--12cos 21+sin(2)26x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A ，132(,)666A πππ∴+∈， ∴ 5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1………………………………………………（12分）18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题可知平面区域U 的整点为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1)±±±±±±共有13个，上述整点在平面区域V 的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，∴2131031315143C C P C ==. ……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）依题可得，平面区域U 的面积为224ππ⋅=，平面区域V 与平面区域U 相交部分的面积为21282ππ⨯⨯=.（设扇形区域中心角为α，则1123tan 1,11123α+==-⨯得4πα=，也可用向量的夹角公式求α）.在区域U 任取1个点，则该点在区域V 的概率为188ππ=，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3. 31343(0)(1)8512P X ==-=， 12311147(1)()(1)88512P X C ==⋅-=，2231121(2)()(1)88512P X C ==⋅-=， 33311(3)()8512P X C ==⋅=，∴X∴X 的数学期望：()01235125125125128E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………（12分） （或者：X ～⎪⎭⎫⎝⎛81,3B ，故13()388E X np ==⨯=）.19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又31=a ，故.52=a 同样取3=n ，可得.73=a由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减，可得411=--+n n a a ， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ，故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n a n ……………………………………………… （6分） (注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.) （Ⅱ）在n n n na b b b =+++-12122 中，令1=n ，得.311==a b由()111211222++-+=++++n n n n n a n b b b b 与11222n n n b b b na -+++=L (2)n ≥两式相减，可得34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n ，化简，得nn n b 2341+=+. 即当2≥n 时，1214--=n n n b .经检验31=b 也符合该式，所以{}n b 的通项公式为1214--=n n n b .∴()1)21(142173-⋅-++⋅+=n n n S .()()n n n n n S )21(14)21(54)21(72132112-+⋅-++⋅+⋅=- . 两式相减，得()nn n n S )21(14])21()21(21[432112--++++=- .利用等比数列求和公式并化简,得127414-+-=n n n S .可见，对+∈∀N n ，14<n S .经计算，13323114,1316271465>-=<-=S S ， 注意到数列{}n b 的各项为正，故n S 单调递增，所以满足1413<<n S 的正整数n 的集合为{}.,6N ∈≥n n n ……………………………… （12分）20.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点.又AB =，12AF AB =∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆Rt ACD 中，222tan ===∠AD AD AFADAFD ，22tan ===∠ADADAD CD CAD ，CAD AFD ∠=∠，∴AC DF ⊥. 又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ， ∴PA DF ⊥.∴DF ⊥平面PAC ………………………………………………………… （6分） （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2==PD AB .连结AE ，则⊥FA 面APD .∴⊥FA AE . ∵)0(>==λλFA BF ED PE ，∴211λ+=AF ，21λλ+=PE .在APE ∆中，22202cos 45AE PA PE PA PE =+-⋅2121=+-⋅， 设异面直线EF 与CD 所成的角为060，则060=∠AFE ，∴060tan =AFAE, ∴223AF AE =.∴21212+-⋅223(1)λ=+. 解得5=λ.∴存在实数5=λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为60. ……………………………… （12分）方法二：（坐标法）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.（Ⅰ）当1λ=时，则F 为AB 的中点，设1PA AD ==, 则2==PD AB ，则(0,0,0A ），C ），(0,0,1P ），(0,1,0D ）,(2F ）. 1,0)DF ∴=-,,0)AC = ，(0,0,1)AP = . 0DF AC ⋅= ，0DF AP ⋅= ,,DF AC ∴⊥ DF AP ⊥ .∴DF ⊥平面PAC . ………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）设1PA AD ==, 则2==PD AB ，∴(0,0,0A ），C ），(0,0,1P ）,(0,1,0D ）. ∵(0)PE BF ED FAλλ==>, ∴F ）, 1(0,,11E λλλ++）. 1(,,111FE λλλλ∴=-+++ ）,(CD = . 2,1FE CD λ∴⋅=+依题意，有1=cos ,2FE CDFE CD FE CD⋅<>=，∵ 0λ>，∴12= ∴λ=.∴存在实数5=λ使异面直线EF 与CD 所成的角为 60. ……………………………… （12分）21.（本小题满分13分）证明（Ⅰ）设直线PQ 的方程为x my n =+，点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消x ，得2440y my n --=. 由0>∆，得20m n +>,124,y y m +=124y y n ⋅=-.∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，∴1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=.221212,44y y x x ==∴1212(2)(2)[(2)(2)16]0y y y y --+++=，∴12(2)(2)0y y --=或12(2)(2)160y y +++=.∴ 21n m =-或25n m =+，∵0>∆恒成立. ∴25n m =+.∴直线PQ 的方程为 5(2)x m y -=+ ，∴直线PQ 过定点(5,2)-. ………………………………（6分） （Ⅱ）假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ，由第（Ⅰ）问可知，将n 用25m +代换得 直线PQ 的方程为25x my m =++.设点P 、Q 的坐标分别为11(,),P x y 22(,)Q x y .由2254x my m y x=++⎧⎨=⎩消x ，得248200y my m ---=. ∴ 124,y y m += 12820y y m ⋅=--.∵PQ 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++，即221212(,)82y y y y ++， ∵221212()22258y y y y m m +-=++， ∴PQ 的中点坐标为2(225,2)m m m ++. 由已知得2222251m m m m -=-++-，即32310m m m ++-=． 设32()31g m m m m =++-，则2()3230g m m m '=++>， ()g m ∴在R 上是增函数.又(0)10,g =-<(1)40g =>，()g m ∴在(0,1)内有一个零点.函数()g m 在R 上有且只有一个零点，即方程32310m m m ++-=在R 上有唯一实根．所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．……………………………………………………… （13分）22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）0p >，函数()ln f x x 的定义域为[1,)+∞.1()f x x'=-.1x ≥在(1,)x ∈+∞恒成立，24(1)x p x -∴≥在(1,)x ∈+∞恒成立.224(1)1114[()]124x x x -=--+≤ ， 1p ∴≥，∴p 的取值范围为[1,)+∞. ……………………………………………………… （4分） （Ⅱ）当*n N ∈时，1n k =2ln(1)n >+. 证明：当*n N ∈时，欲证1n k =2ln(1)n >+*2[ln(1)ln ]()k k k N >+-∈. 由（Ⅰ）可知：取1p =，则()(1)(1)f x f x ≥≥， 而()01=f，ln x ≥（当1x =时，等号成立）. 用21()x x +代换x21ln()(0)x x x +>>2[ln(1)ln ](0)x x x >+->，*2[ln(1)ln ]()k k k N >+-∈. 在上式中分别取1,2,3,,k n =，并将同向不等式相加，得1n k =>2ln(1)n +. ∴当*n N ∈时，1n k =2ln(1)n >+. ………………………………………… （9分） (Ⅲ)由（Ⅱ）可知x x ln 1≥-（1x =时，等号成立）.而当2x ≥时：1x - 当2x ≥时，1ln x x ->.设()1ln ,(0,2)g x x x x =--∈，则11()1x g x x x-'=-=， ∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，∴()(1)0g x g ≥=，即1ln x x -≥在(0,2)x ∈时恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，1ln x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）. …… ①用x 代换1x -得： ln(1)x x ≥+（当且仅当0x =时，等号成立）. …… ②当*2,k k N ≥∈时，由①得1ln 0k k ->>，11ln 1k k ∴>-. 当*2,k k N ≥∈时，由②得 ln(1)k k >+，用11k -代换k ，得11ln(1)11k k >+--. ∴当*2,k k N ≥∈时，11ln(1)ln 1k k >+-，即1ln ln(1)ln k k k>--. 在上式中分别取2,3,4,,k n = ，并将同向不等式相加，得21ln ln1ln n k n k =>-∑. 故当2≥n 且*n N ∈时，21ln ln n k n k=>∑. …………………………………………………（14分）。

武昌区2017届高三年级5月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCCAACB DACD二、填空题：13. 1 14. 13-=n n a 15. 2- 16.21三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为C A C B cos sin 2tan tan =+，所以CAC C B B cos sin 2cos sin cos sin =+,所以B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+，即B A C B cos sin 2)sin(=+. 因为π=++C B A ，所以A C B sin )sin(=+. 因为0sin ≠A ，所以22cos =B .因为π<<B 0，所以4π=B . 由正弦定理R B b 2sin =，得2222⨯=b，所以2=b . ……………………6分 （Ⅱ）由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 2422-+=. 由基本不等式，得ac ac ac c a 222422-≥-+=， 所以)22(2224+=-≤ac .因为ac ac B ac S ABC 424sin 21sin 21===∆π， 所以21)22(24242+=+⨯≤=∆ac S ABC . 所以ABC ∆面积的最大值为21+. ………………………………………12分18．解：（Ⅰ）由茎叶图可得甲学生的平均成绩 101（61+73+76+78+80+82+89+85+92+94）=81. 方差为87]1311481)1()3()5()8()20[(1012222222222=+++++-+-+-+-+-. ……4分 （Ⅱ）记事件A 为“a ＞b ”，由于乙学生的平均成绩79.6, ∴101[61+69+74+75+78+89+86+（80+a ）+（80+b ）+94]=79.6， 解得a +b=10.∵]9,0[,∈b a ， 且a ≥1，b ≥1，∴a 和b 的取值为：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），共9种情况，其中满足a ＞b 的有：（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），共4种情况， ∴所求概率94=P . ………………………………………12分19．解：（Ⅰ）因为23=AC ，3=BC ，BC AC ⊥，所以33=AB .因为FB AF 2=，所以3=FB . 又31333cos ===AB BC B ，所以6cos 2222=⨯-+=B BF BC BF BC CF . 因为222BC BF CF =+，所以AB CF ⊥.因为⊥EA 平面ABC ，⊂CF 平面ABC ，所以EA CF ⊥.因为A AB EA = ，所以⊥CF 平面EABD ，所以EF CF ⊥.…………………4分 （Ⅱ）解法一：直接法 连结DF .在EAF ∆Rt 中，求得4=EF ；在DBF ∆Rt 中，求得32=DF . 在直角梯形EABD 中，求得72=ED . 因为222DF EF ED +=，所以EF DF ⊥. 所以⊥CF 平面EABD ，所以CF DF ⊥. 所以⊥DF 平面EFC ，.所以DF 为点D 到平面CEF 的距离.所以，点D 到平面CEF 的距离32. ………………………………………12分 解法二：间接法利用DEF C CEF D V V --=求.20．解：（Ⅰ）设),(11y x A ，),(22y x B .将t x y +=31代入椭圆方程143622=+y x ，消去y 并整理，得03696222=-++t tx x . 由0>∆，得2222<<-t .于是t x x 321-=+，2369221-=t x x .从而23211--=x y k PA ，23222--=x y k PB .所以2322322211--+--=+x y x y k k PB PA )23)(23()23)(2()23)(2(211221----+--=x x x y x y将t x y +=1131，t x y +=2231代入，得0)23)(23()2(26))(22(32212121=----+-+=+x x t x x t x x k k PBPA ，所以0=+PB PA k k . ………………………………………6分 （Ⅱ）点)2,23(P 到直线l ：033=+-t y x 的距离10|3|t d =.线段)8(104)(911||1||221221212t x x x x x x k AB -=-+⋅+=-+=. 所以6423)8(23||2122=⨯≤-=⋅=∆t t d AB S PAB ， 当且仅当228t t -=，即2±=t 时，PAB ∆面积的最大值为6. ………………12分21．解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ . 因为函数)(x f 存在单调增区间，所以0ln 1ln )(2>--='a xx x f 有解. 因为a a x a x x a x x -≤-+--=-+-=--414121ln 1(ln 1ln 1ln 1ln 222， 所以041>-a ，即41<a . 所以，a 的取值范围为)41,(-∞. ………………………………4分 （Ⅱ）问题等价于“当]e ,e [2∈x 时，有41)(min ≤x f ”. （ⅰ）当41≥a 时，04121ln 1()(2≤-+--='a x x f ，函数)(x f 在区间]e ,e [2上单调递减， 所以222mine 2e )e ()(af x f -==.由41e 2e 22≤-a ，解得2e 4121-≥a .（ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在区间]e ,e [2上单调递增，其值域为]41,[a a --.①当0≥-a ，即0≤a 时，0)(≥'x f 在]e ,e [2上恒成立，所以)(x f 在区间]e ,e [2上单调递增， 于是e e )e ()(min a f x f -==. 由41e e ≤-a ，得e411-≥a ，与0≤a 矛盾，无解. ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性及值域知，存在唯一)e ,e (20∈x ，使0)(='x f ，且满足当),e (0x x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当)e ,(20x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数.所以，41ln )()(0000min ≤-==ax x x x f x f ，其中)e ,e (20∈x . 所以414121e 41e ln 141ln 1200=->->-≥x x a ，与410<<a 矛盾. 综上，a 的取值范围为),e 4121[2+∞-. ………………………………12分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．解：（Ⅰ）1C 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin 5,cos 52y x 可化为5)2(22=+-y x .因为θρcos =x ，θρsin =y ， 所以5)sin ()2cos (22=+-θρθρ，化简，得01cos 42=--θρρ，即为1C 的极坐标方程. ………………………………5分 （Ⅱ）将3πθ=代入01cos 42=--θρρ，得0122=--ρρ，解得211-=ρ，212+=ρ.因为2212=-ρρ，即22||=PQ . ………………………………………10分23．解：（Ⅰ）当1<x 时，原不等式化为03)2()1(>-----x x ，解得0<x ；当21≤≤x 时，原不等式化为03)2()1(>----x x ，无解； 当2≥x 时，原不等式化为03)2()1(>--+-x x ，解得3>x .所以，不等式03|2||1|>--+-x x 的解集为0|{<x x 或}3>x .……………………5分（Ⅱ）因为+∈R 1a ，所以111121a a a =⋅≥+， 即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+， ……n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，+∈R n a ，由不等式的性质，得 n n n n a a a a a a 2)(2)1()1)(1(2121=≥+++ .因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a 时取等号. 所以不等式成立. ………………………………………10分。

2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，2）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）3．（5分）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣84．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣45．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）A．a﹣1＞b B．a+1＞b C．|a|＞|b|D．a3＞b36．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a3﹣3，则S9=（）A．25 B．27 C．50 D．549．（5分）已知函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．2 C．3 D．412．（5分）已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l 1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为．14．（5分）某路公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为．15．（5分）棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体ABCD的棱长为．16．（5分）已知平面向量满足与的夹角为60°，记，则|的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣ax（a为常数）有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：==+i，则复数z的虚部为．故选：B．2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，2）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2）B={y|y=2x﹣1}={y|y＞﹣1}=（﹣1，+∞）则A∩B=（﹣1，2）．故选：D．3．（5分）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1=2，a3﹣4=a2，∴2q2﹣4=2q，解得q=﹣1．则a3=2×（﹣1）2=2．故选：A．4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣4【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣．由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=1﹣2×0=1．故选：B．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）A．a﹣1＞b B．a+1＞b C．|a|＞|b|D．a3＞b3【解答】解：∵a＞b，∴a+1＞b，反之不一定成立．例如取a=，b=1．∴使a＞b成立的必要而不充分条件是a+1＞b．故选：B．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选B．7．（5分）定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：f（x）为偶函数；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴a=f（log0.53）=，，c=f（0）=20﹣1=0；∴c＜a＜b．故选C．8．（5分）若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a3﹣3，则S9=（）A．25 B．27 C．50 D．54【解答】解：记数列{a n}的公差为d，则由a1=2a3﹣3可知a1=3﹣4d，又S9=9a1+d=9（a1+4d）=27，故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）=2sin（2017x+），∵函数f（x）最大值为A，∴A=2．函数的周期T=．存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，可知实数x1，x2使得函数取得最大值和最小．∴|x1﹣x2|．当|x1﹣x2|=时，可得A|x1﹣x2|的最小值为．故选B．10．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，PA=PB，由三视图可知，AB∥CD，AB=BC=2，CD=1，侧面PAB中P到AB的距离为h=，∴几何体的体积V===．故选A．12．（5分）已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l 1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由=λ，即（2﹣x1，1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），则，同理可得：，∴，则2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：=﹣×，即﹣=﹣×，则a2（y1+y2）=2b2（x1+x2）①，同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4）②，①+②得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴=则=，则椭圆的离心率e===，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为0．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），∵直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，∴圆心C（1，﹣2）在直线2x+y+m=0上，∴2×1﹣2+m=0，解得m=0．故答案为：0．14．（5分）某路公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为．【解答】解：小明在6：50至7：30之间到达发车站乘坐班车，总时长为40分钟，设小明到达时间为y，当y在6：50至7：00，或7：20至7：30时，小明等车时间不超过10分钟的时长为20分钟，由几何概型的公式得到故P=；故答案为：．15．（5分）棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体ABCD的棱长为．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为a，正方体的对角线长为a，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为a．，∴a=，则正四面体的棱长为=，故答案为：16．（5分）已知平面向量满足与的夹角为60°，记，则|的取值范围为[，+∞）．【解答】解：设=，=，=，则OA=1，∠OAB=120°，∵，∴A，B，C三点共线，O到直线AB的距离d=OA•sin60°=，∴OC≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a．【解答】解：（1）由，则（2c﹣b）cosA=acosB，由正弦定理可知：===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，整理得：2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，由A=π﹣（B+C），则sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），即2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，则cosC=，即A=，∴角A的大小；（2）过D作DE∥AC于E则△ADE中，ED=AC=1，∠DEA=，由余弦定理可知AD2=AE2+ED2﹣2AE•EDcos，又AC=3，A=，则△ABC为直角三角形，∴a=BC=3，∴a的值为3．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∵BC=2AD，E是BC的中点，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，又AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD．（2）解：连结DE，BD，设AE∩BD=O，则四边形ABED是正方形，∴O为BD的中点，∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴BD=2，OB=，OA=，PA=PB=2，∴OP⊥OB，OP=，∴OP2+OA2=PA2，即OP⊥OA，又OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，OA∩BD=O，∴OP⊥平面ABCD．∴V P===2．﹣ABCD19．（12分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由题意，得出下表；计算=×x i=5，=×y i=1.072，（x i﹣）（y i﹣）=0.64，∴===0.064，=﹣=1.072﹣0.064×5=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为=0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时，=0.064×12+0.752=1.52；即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．【解答】解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M（2k，﹣1），∴M到l的距离d==2，•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2，=y 1y2d2=•×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣ax（a为常数）有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），f（x）有2个不同的极值点，即方程x2﹣ax+a=0有2个不相等的正根，故，解得：a＞4；（2）由（1）得x1+x2=a，x1x2=a，a＞4，∴f（x1）+f（x2）=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2=aln（x1x2）+﹣x1x2﹣a（x1+x2）=a（lna﹣﹣1），不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，即λ＞=lna﹣﹣1恒成立，记h（a）=lna﹣﹣1，（a＞4），则h′（a）=﹣＜0，则h（a）在（4，+∞）递减，故h（a）＜h（4）=ln4﹣3，即λ≥ln4﹣3．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由ρ=可得ρ=x+2，∴ρ2=（x+2）2①，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=ρ（cos2θ+sin2θ）=ρ2②由①②两式子可得y2=4（x+1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f （1）＞10成立的实数m 的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x +|+|x ﹣2m |（m ＞0）， ∴f （x ）=|x +|+|x ﹣2m |≥|x +﹣（x ﹣2m ）|=|+2m |=+2m ≥2=8，当且仅当m=2时，取等号，故f （x ）≥8恒成立．（Ⅱ）f （1）=|1+|+|1﹣2m |，当m ＞时，f （1）=1+﹣（1﹣2m ），不等式即+2m ＞10，化简为m 2﹣5m +4＞0，求得m ＜1，或m ＞4，故此时m 的范围为（，1）∪（4，+∞）．当0＜m ≤时，f （1）=1++（1﹣2m ）=2+﹣2m 关于变量m 单调递减， 故当m=时，f （1）取得最小值为17， 故不等式f （1）＞10恒成立．综上可得，m 的范围为（0，1）∪（4，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

k =k +2输出k结束开始S =0，kS S 1+= 是否武昌区高三年级五月调研考试文科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}|{2x x x A ≤=，}1,0,1{-=B ，则集合B A 的子集共有（ C ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 2．若复数i)i)(1(2m m ++是实数，则实数=m ( B ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-3．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,2y y x x y 则y x z 2+=的最大值是( C )A ．25-B ．0C ．35D ．25 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A ．32 B ．52 C ．53 D ．109 5．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为03=+y x ，则该双曲线的方程为( B )A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．12622=-y x D ．16222=-y x6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan ( A ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B ) A ．?43≤SB ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 8．设2log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则( C )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 9．下面是关于公差0>d 的等差数列}{n a 的四个命题：p 1：数列}{n a 是递增数列； p 2：数列}{n na 是递增数列； p 3：数列}{na n是递增数列； p 4：数列}3{nd a n +是递增数列． 其中的真命题为( D )A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B) A ．54 B ．60 C ．66 D ．7211．动点A (x ，y )在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0=t 时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )A ．]1,0[B ．]7,1[C ．]12,7[D ．]1,0[和]12,7[12．已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与Γ相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点)2,1(-P ，线段PQ 的中点M 的坐标为)1,1(-．若向量PQ 与向量a =(λ，1)共线，则λ= ． 答案：32-14．已知数列{a n }是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则=q ．答案：115．已知直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上．若21===AA AC AB ，=∠BAC90=，则该球的体积等于 ．答案：π3416．函数1cos sin )(++-=x x x x f 在]47,43[ππ上的最大值为 ． 答案：2+π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）24 53 正视图侧视图俯视图在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c ．解：（Ⅰ）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝3sin A cos B ．在△ABC 中，sin A ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3．∵0＜B ＜π，∴B ＝π3．……………………………………………………………6分（Ⅱ）由sin C ＝2sin A 及正弦定理，得c ＝2a ． ①由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即a 2＋c 2－ac ＝9． ②解①②，得a ＝3，c ＝23． (12)分18．（本小题满分12分）工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄1 402 443 404 415 336 407 458 429 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x 和方差2s ；（Ⅲ）求这36名工人中年龄在),(s x s x +-内的人数所占的百分比．解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得x -＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009．…………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ），得x -＝40，s ＝103，∴x -－s ＝3623，x -＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x -－s ，x -＋s )内共有23人，所占的百分比为2336×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 为P A 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22==AC AB ．（Ⅰ）求证：//QG 平面PBC ； （Ⅱ）求G 到平面P AC 的距离．解：（Ⅰ）如图，连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ． ∵G 为△AOC 的重心，∴M 为AC 的中点． ∵O 为AB 的中点，∴OM ∥BC ．∵OM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴OM ∥平面PBC ． 同理QM ∥平面PBC ．又OM ⊂平面QMO ，QM ⊂平面QMO ，OM ∩QM ＝M ， ∴平面QMO ∥平面PBC ． ∵QG ⊂平面QMO ，∴QG ∥平面PBC ． (6)分（Ⅱ）∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ．由（Ⅰ），知OM ∥BC ，∴OM ⊥AC ．∵P A ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，∴P A ⊥OM ． 又P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，∴OM ⊥平面P AC ，∴GM 就是G 到平面P AC 的距离． 由已知可得，OA ＝OC ＝AC ＝1，∴△AOC 为正三角形，∴OM ＝32． 又G 为△AOC 的重心，∴GM ＝13OM ＝36．故G 到平面P AC 的距离为36．…………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（Ⅰ）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4与直线y ＝x －1的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1．解得C (3，2)，于是切线的斜率必存在． 设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0，或k ＝－34．故所求切线方程为y ＝3，或y ＝－34x ＋3，即y ＝3，或3x ＋4y －12＝0．……4分（Ⅱ）∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，OGM∴圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1．设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简，得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， ∴点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，∴圆C 和圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，∴1≤(a －0) 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤3，即1≤5a 2－12a ＋9≤3． 由5a 2－12a ＋8≥0，得x ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125． 故圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．…………………………………12分21．（本小题满分12分）已知函数xkx x f e ln )(+=（k 为常数， 71828.2e =是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设)()()(2x f x x x g '+=，其中)(x f '为)(x f 的导函数．证明：0>∀x ，2e 1)(-+<x g ．解：（Ⅰ）由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由已知，得f ′(1)＝1－ke＝0，∴k ＝1．……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得g (x )＝(x 2＋x )·1－x －x ln x x e x ＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝1－x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)．令h ′(x )＝0，得x ＝e －2．当0＜x ＜e －2时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，e －2)上是增函数；当x ＞e －2时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(e －2，＋∞)上是减函数．故h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (e －2)＝1＋e －2，即h (x )≤1＋e －2． 设φ(x )＝e x －(x ＋1)，则φ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)， ∴φ(x )在(0，＋∞)上是增函数，∴φ(x )＞φ(0)＝0，即e x －(x ＋1)＞0，∴0＜x ＋1e x ＜1．∴g (x )＝x ＋1ex h (x )＜1＋e －2．因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．……………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．（Ⅰ）求AD AB ⋅的值； A（Ⅱ）求线段AE 的长．解：（Ⅰ）∵AC 切⊙O ′于A ，∴∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，∴△ACB ∽△DAB ，∴AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AB ·AD ． ∵AC ＝BD ＝3，∴AB ·AD ＝9．…………………………………………………5分 （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，∴△EAD ∽△ABD ，∴AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AB ·AD ． 由（Ⅰ）可知，AC ·BD ＝AB ·AD ，∴AE ＝AC ＝3． (10)分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 215,23（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 32=．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当||PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cos θ，得ρ2＝23ρcos θ，从而有x 2＋y 2＝23x ，∴(x －3)2＋y 2＝3．∴曲线C 是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分 （Ⅱ）由题设条件知，|PQ |＋|QC |≥|PC |，当且仅当P ，Q ，C 三点共线时，等号成立，即|PQ |≥|PC |－3，∴|PQ |min ＝|PC |min －3． 设P (－32t ，－5＋12t )，又C (3，0)， 则|PC |＝(－32t －3)2＋(－5＋12t )2＝t 2－2t ＋28＝(t －1)2＋27． 当t ＝1时，|PC |取得最小值，从而|PQ |也取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2．（Ⅰ）求b a +的值；（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|(x －a )－(x ＋b )|＝|－a －b |＝|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )min ＝a ＋b ．由题设条件知f (x )min ＝2，∴a＋b＝2． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab≤a＋b＝2，∴ab≤1．假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。

武汉市2017届高中毕业生五月模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知31iz i =-，则复数z 的虚部为 A. 32- B. 32 C. 32i - D.32i2.设集合{}{}|2,|21,x A x x B y y =<==-则AB =A. [)1,2-B. ()0,2C. (),2-∞D.()1,2- 3.设{}n a 是公比负数为的等比数列，1322,4a a a =-=，则3a = A. 2 B. 2- C. 8 D.8-4.若实数,x y 满足约束条件0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值是A. 2B. 1C. 0D. -15.下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分条件是 A. 1a b -> B. 1a b +> C.a b > D. 33a b >6.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，朱长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n = A. 2 B. 3 C. 4 D. 57.定义在R 上的函数()21x mf x -=-为偶函数，记()()()0.52log 3,log 5,2a f b f c f m ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 8.若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且1323a a =-，则9S = A. 25 B. 27 C. 50 D. 549.已知函数()()()2017cos 2017f x x x =+的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π10.已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A. 3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是2 C.3 D. 412.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内有一点()2,1M ，过M 的两条直线12,l l 分别与椭圆E 交于A,C 和B,D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1λ≠），若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为A. 12B. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线20x y m ++=过圆22240x y x y +-+=的圆心，则m 的值为 .14.某路公交车在6:30,7:00,7:30准时发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为 .15.棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体ABCD 的棱长为 . 16.已知平面向量,a b 满足1,a a =与b a -的夹角为60，记()()1m a b R λλλ=+-∈，则m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为，且满足2cos .cos c b Ba A-= （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且2,3,CD DB b AD ===a .18.（本题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，90,2,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆与PAD ∆都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点.（1）求证：//AE 平面PCD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本题满分12分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测帝12月份该市新建住宅销售均价.20.（本题满分12分）已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln 2f x a x x ax =+-（a 为常数）有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 D C A D B C 7 8 9 10 11 12 B DACAB13．16 14．向右平移3个单位长度 15． (],6-∞- 16．(322,322-+ 17．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==．又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++13πcos sin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos A B +取得最大值，为1．……12分 18．【解析】（I ）因为2PA AB ==，22PB =，所以222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，由题意知60ABC ADC ∠=∠=︒，1122AB AD BC ==，在ABC △中，由余弦定理有：222AC AB BC =+ 2cos60AB BC -⋅⋅︒ 12=，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥. ．．5分 （Ⅱ）由题意知PA AD ⊥，由（I ）知AB PA ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，由已知得122PA AB AD ===，所以2PA AB ==， 4AD =,因为E 为PD 的中点，所以E 点到平面ADC 的距离为112PA =，所以多面体PABCE 的体积为11124sin 60224sin 60123332P ABCD E ADC V V ---=⨯⨯⨯︒⨯-⨯⨯⨯⨯︒⨯=. ．．．．12分19．【解析】(Ⅰ)由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分(Ⅱ) 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为,A B ，则()()23P A P B ==，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C ，则()14P C =，显然,,A B C 相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为()113111133412P ABC -=-⨯⨯= .故至少有一人使用微信支付的概率为1112 . .．．．．12分20．【解析】（Ⅰ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=．……………………5分 （Ⅱ）①若直线ON 的斜率不存在，23ON =， 2OM =， 4MN =， 原点O 到直线MN 的距离·3OM ON d MN==．②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 的方程为y kx =，代入22143x y +=，得221234x k =+，2221234k y k =+，直线ON 的方程为1y x k=-，代入23y =，得()23,23N k -．由题意知222MN ON OM =+ ()()222323k=-+()()222221214813434k k k k +++=++．设原点O 到直线MN 的距离为d ，由题意知··MN d OM ON =⇒ 2222·3OM ON d MN==，则3d =．综上所述，原点O 到直线MN的距离为定值3．……………………12分21．【解析】（Ⅰ）由()2ln f x ax a x =--，得21212)(0)(ax ax x x f xx -=-=>'，当0a ≤时， 0()f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由0()f x '=，解得2x a =，所以10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 0()f x '<， ()f x 单调递减，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， 0()f x '>， ()f x 单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ……4分. （Ⅱ）21ln e 0e x ax a x x --+->在()1,+∞上恒成立等价于()2e 1e 1ln xa x x x ->--在()1,+∞上恒成立，设()e e e 1e ex x xx k x x x =-=-，记()1e e xk x x =-，则()1e e x k x ='-，当1x >时，()10k x '>，()1k x 在()1,+∞上单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()e 10e xf x x+->在()1,+∞上恒成立时，必有0a >. ……6分. 当0a >时，①若112a >，则102a <<，由（Ⅰ）知11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减； 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，因此()1102f f a ⎛⎫<=⎪⎝⎭，而102k a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即存在112x a =>，使()e 10e x f x x +-<，故当102a <<时， ()e 10e x f x x +->不恒成立. ……9分. ②若112a≤，即12a ≥，设()()21e 1ln e x s x a x x x =---+，()211e 2e x s x ax x x '=-+-，由于2ax x≥且1()e e 0xk x x =->，即e 1e x x <，故e 1e xx->-，因此()()2322222111121210x x x x x s x x x x x x x x--+-+'>-+-=>=> ，故()s x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10s x s >=，即12a ≥时，()e 10e x f x x +->在()1,+∞上恒成立. ……11分.综上，1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()e 10e x f x x+->在()1,+∞上恒成立. ……12分. 22.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.………5分（Ⅱ）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221323422t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12125t t +=- ， 124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，2121212414()45PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分 23.【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----=∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。

试稚类型曲武昌区2010届高三年级五月调研测试文科数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利★注憲事项：1. 本*1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分,全卷共4页，考试结束，监考人员将试题暮和答题卡一并就回。

2. 生务必将自已的学校、班圾、址名、准考证号填写衣试题參和答题卡権定位JL,并将准考证号条形码鮭砧在答题卡上的指定位暨.用2B铅笔将试卷矣型(B)境涂在答题卡和应位录上。

3. 逸择题的作答:选出答案后■用2B命笔把答题卡上对应題司的苓案标号涂舄，知需改动，用千净后，再选涂其他答案标号.签在谏题春上无效。

4. 非选择題的作答:用0.5亳耒忍色恳水的签字笔直接答在答题卡上的莓题所对应的答题区域内.答在擔定区城外无效。

一.选择履:本大童共10小■，毎小JB5分，共50分.在毎小题给出的四个督选项中•只有一项是符合議目要求的.1•直线工*鬲+1 =0的倾斜角是A-f B-f2. g»r=^/?TT(<<的反函数是A.y = J/ + l(x >0)C.y= Jd - 1(Q0)() C・第 D.寥50() B. y = —Jp +1(% >0)D. y = - J』・l(Q0)3.等比数列｛%｝的公比为初则“如□，且"1”是“对于任意正自然数心都有的A.充分非必要条件c•充要条件() B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件4.设m,n9l是三条不同的酸,片是三个不同的平面，则下列命題中的真命题是() A.若e』与I 所成的角相等，则m//n B.若a作,mUa,则m〃0C.若与a所成的角相等，则m//^D.若y与平面a，B所成的角相等，则a血离三年级文科数学试卷B型第1页共4页高三年级文科数学试卷B 型第2页共4页5・若不等式給x + 3烂4所表示的平面区城彼直线尸后+抄为面积相等的两部分,JM13老"W4 实数*的值为-36•某人朝正东方走二km 后，向左转150。