高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广优化训练北师大版必修4课件

1.2 角的概念的推广5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.任意角的形成：角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置角的顶点角的始边角的终边正角负角零角2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像这种动作名称表示的角是多大？解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°；若顺时针转体，则分别为-1 080°和-900°.3.在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角. （1）908°28′；（2）-734°.解：（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.4.在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°<720°,得k=-2,-1,0,1，相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列说法中,正确的有（）①第一象限的角一定是锐角②终边相同的角一定相等③相等的角终边一定相同④小于90°的角一定是锐角⑤钝角的终边在第二象限A.1个B.2个C.3个D.4个解析：终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角；小于90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以①不正确；同理，可知②④均不正确；③⑤正确. 答案：B2.下列各角中属于第二象限的是（）A.-290°B.585°C.-950°D.182°解析：将角写成k·360°+α（k∈Z）（0°≤α＜360°）（k∈Z）的形式，α与它在同一象限.将超过［-360°，360°］范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知-290°在第一象限，182°在第三象限，585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限.答案：C3.若A={α|α=k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}，则下列关系正确的是（）A.A C BB.B A CC.C B AD.A B C解析：A中，α=k·360°，α的终边落在x轴非负半轴上；B中，α=k·180°，则α的终边落在x轴上；C中，α=k·90°，则α的终边落在坐标轴上.故可判断A B C.答案：D4.在0°—360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角. （1）-150°；（2）650°；（3）-950°15′.解：（1）因为-150°=-360°+210°，所以在0°—360°范围内，与角-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角.（2）因为650°=360°+290°，所以在0°—360°范围内，与角650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角.（3）因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°—360°范围内，与角-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合；（2）在（1）的集合中，将适合不等式-1 080°＜α＜360°的元素α求出来.解：（1）与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°，k∈Z}.（2）在M中适合-1 080°<α<360°的元素是：取k=-3时，-3×360°+15°=-1 065°;取k=-2时，-2×360°+15°=-705°;取k=-1时，-1×360°+15°=-345°;取k=0时，0×360°+15°=15°,即元素-1 065°，-705°，-345°，15°为所求.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若α是第二象限的角，则180°-α是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角解析：α与-α的终边关于x轴对称，又α是第二象限的角，所以-α是第三象限的角.而-α与180°-α的终边关于原点对称，∴180°-α为第一象限的角.或者可以直接由已知得k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z），∴-k·360°-180°＜-α＜-k·360°-90°（k∈Z）.∴-k·360°＜180°-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.确定180°-α是第一象限的角.答案：A2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（）A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-2,-1,0,1,2,3，验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.答案：C3.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（）A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°,k∈ZD.α-β=k·360°+90°,k∈Z解析：由题意，α=k·360°+x+45°,k∈Z；β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.答案：D4.在0°—360°范围内，与-45°角终边相同的角是____________.解析：由于-45°是第四象限的角，所以0°—360°之间终边与之相同的角是315°. 答案：315°5.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.解析：时针走过2小时40分钟，则分针走过322周，所以转过的角度为322-×360°=-960°. 答案：-960°6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为____________；(2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为____________.解析：（1）终边落在第一象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+45°,k∈Z }； 终边落在第三象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+225°,k∈Z }.所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为S={α|α=k·360°+45°,k∈Z }∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z }={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°,k∈Z }={α|α=2k·180°+45°或α=(2k+1)·180°+45°, k∈Z }={α|α=n·180°+45°,n∈Z }.（2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α=n·180°+135°,n∈Z }. 答案：（1）{α|α n·180°+45°,n∈Z }（2）{α|α=n·180°+45°,n∈Z }7.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求∠AOC 的大小.解：由题意知∠AOB=270°，∠BOC=-360°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=270°+（-360°）=-90°.8.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C，C∩D，A∪D.解：因为A={α|0°<α<90°};B={α|0°≤α<90°};C={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z }; D={α|α<90°},所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α| k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z };C∩D={α|k·360° <α<k·360°+90°，k 为非正整数}；A∪D={α|α<90°}.9.已知α是第一象限角，试确定2α，2α终边的位置. 解：(1)由已知k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z )得k·180°<2α<k·180°+45°（k∈Z ). ∴k 为偶数时，2α是第一象限角，k 为奇数时，2α为第三象限角，即2α为第一或第三象限角.如图（1）中阴影部分.（2）由已知得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).故2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.如图（2）中阴影部分），写出角α的集合.10.若角α的终边经过点P（-1，3解：如图，AO=1，AP=3，所以∠AOP=60°.所以角α的集合为{α|α=240°+k·360°，k∈Z}.11.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合，求这个角.解：由题意知6α=k·360°，k∈Z，所以α=k·60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.。