人教版-必修4-1.三角函数的概念

高中数学必修4 三角函数（1）一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y x =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于o90的角”= ；（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；周长公式 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，x y O x y O则=αsin ；=αcos ；=αtan如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

（2）诱导公式：ααπ⇒+k 2： ， ， ；ααπ⇒+： ，， ；αα⇒-： ， ， ；ααπ⇒-： ， ， ；ααπ⇒-2：， ， ；ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒+2：， ， ；ααπ⇒-23： ， ， ；ααπ⇒+23： ， ， ；诱导公式可用概括为：奇变偶不变，符号看象限（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k kαα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k kαα=⋅∈Z终边在y轴上的角的集合为{}18090,k kαα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k kαα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k kββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈N所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭问题1各是第几象限角问题：已知α角是第三象限角，则2α，2问题21．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

三角函数的定义[考点透视]一、考纲指要1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.二、命题落点1．考查象限角的概念.如例1.2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2.3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3.[典例精析]例1：α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z παπππ+<<+∈, 可知2α在第二象限或第四象限．答案：D ．例2： tan600°的值是〔 〕A ．33-B ．33C ．3-D ．3解析:360tan 240tan 600tan 000===．答案：D ．例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔 〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ．答案：B ．[常见误区]1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用.2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点.[基础演练]1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔 〕A ．0B ．1C ．－1D ． ±12．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔〕 A ．32B ．－32C ．－34D ．－23．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C 〔C≠2π〕，那么以下结论中正确的是〔 〕A ．sinA<sinCB ．cotA<cotCC ．tanA<tanCD ．cosA<cosC4．在〔0，2π〕内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值X 围为〔 〕A ．〔4π，2π〕∪〔π，45π〕B ．〔4π，π〕C ．〔4π，45π〕D ．〔4π，π〕∪〔45π，23π〕5．点P 〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在第 象限.6．在△ABC 中，假设最大角的正弦值是22，那么△ABC 必是 三角形.7．比较sin 52π，cos 56π，tan 57π的大小.8．sinθ＋cosθ＝51，θ∈〔0，π〕，求cotθ的值.9．:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值.。

第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。

三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。