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第四章 三角函数
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考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
任意角一、知识概述1、角的分类：正角、负角、零角.2、象限角：（1）象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同．4、准确区分几种角锐角：0°<α<90°；0°～90°：0°≤α<90°；第一象限角：．5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）.1 rad=，1°=rad.6、弧长公式：l=αR.7、扇形面积公式：.二、例题讲解例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′．解：（1），S中满足的元素是（2），S中满足的元素是（3），S中满足的元素是例2、写出终边在y轴上的角的集合.解析：∴.注：终边在x轴非负半轴：.终边在x轴上：.终边在y=x上：.终边在坐标轴上：.变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.答案：.角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.答案：任意角的三角函数一、知识概述1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=.注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，则.②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置.2、公式一：，，，其中.3、三角函数线角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM （余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT （正切线）.注：若，则.二、例题讲解例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．解：，∴，.当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴．例2、化简下列各式（1）；（2）．解：（1）（2）同角三角函数的基本关系一、知识概述1、平方关系：．2、商数关系：．二、例题讲解例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．解：∵，，∴.∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角．当在第一、四象限时，即有，从而，；当在第二、三象限时，即有，从而，．例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．例3、已知，求sinx，cosx的值．解：由等式两边平方：．∴，即，∴为一元二次方程的两个根，解得．又∵，∴．因此．例4、化简：.解法一：原式=.解法二：原式=. 解法三：原式=. 例5、已知，则（1）____________________．(2)____________________．(3)____________________．解：（1）；（2）；三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一：.诱导公式二：.诱导公式三：，，．诱导公式四：，，.诱导公式五：，．诱导公式六：，．引申：诱导公式七：，．诱导公式八：，．记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．二、例题讲解例1、化简：（1）；（2）（3）．（4）（5）．解：（1）原式．（2）原式=.（5）例2、已知求的值．解：由得，所以例3、已知则________．解：．正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质：①定义域：x∈R②值域：[－1，1]③周期性：都是周期函数，且最小正周期为.二、例题讲解例1、作函数的简图．（2）描点连线（图象见视频）.例2、求下列函数的周期（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则.∵f(x＋T)=f(x)恒成立，.∴周期为4.注：.（2）.注：.（3）T=π．（4）T=．假设，使令x=0，得，，与时矛盾．∴T=.例3、求下列函数的定义域：（1）； (2) y=lg(2sinx＋1)＋．解：（1），∴，∴．(2) ，∴.∴其定义域为.正弦函数与余弦函数的图象与性质（二）一、知识概述1、图象（见视频）2、性质：（1）定义域：都为R.（2）值域：都为[－1，1].（3）周期性：都是周期函数，且T=2π.（4）奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.（5）对称性：y=sinx的对称中心为(kπ，0)（k∈Z），对称轴为.y=cosx的对称中心为，对称轴为.（6）单调性：y=sinx在上单调递增；在上单调递减.y=cosx在上单调递减；在上单调递增.二、例题讲解例1、在中，，若函数y=f(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．解：∵，∴，.所以．答案：C例2、求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）；（3）；（4）y=－|sin（x＋）|解：（1）法一：图象法（图象见视频）.法二：令，∴.所以，函数单调递增区间为．（2）令，∴，所以，函数单调递增区间是．（3）令.所以，函数单调递增区间是.法二：∵，令，，所以，函数的递增区间是．（4）函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）．（图象见视频）法二：令.解得.∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象：2、性质：（1）定义域：；（2）值域：R；（3）周期性：；（4）奇偶性：奇函数；（5）对称性：y=tanx的对称中心为.（6）单调性：在内单调递增．二、例题讲解例1、求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．解：（1）由，得，∴．∴的定义域为．（2）令，∵sinx∈[－1，1]且，∴定义域为R.（3）由已知，得，∴，∴原函数的定义域为（备注：视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间）．例2、求函数的定义域，周期和单调区间．函数y=Asin（ωx＋φ）的图象一、知识概述的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到：①将y=sinx的图象向左（右）平移个单位得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的倍，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍，得到的图象.A表示振幅，为周期，为频率，为初相，为相位.二、例题讲解例1、函数的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．解：①将的图象向左平移个单位，得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图象．变式1：y=sinx的图象由的图象经过怎样的变换得到.解：横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sinx的图象.变式2：函数y=f(x)的图象先向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象，求f(x)的解析式.答案：.例2、已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知，∴，∴，法一：∴，∴，∴.，代入上面两式检验，得满足条件.∴．法二：..法三：令，.三角函数模型的简单应用例1、已知电流在一个周期内的图象如图：（1）根据图中数据求的解析式．（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：t时0 3 6 9 12 15 18 21 24y米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象．（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？解：（1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10，（视频板书中应为f(t)）．（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米，，解得:，在同一天内，取.∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时．例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时：（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．（2）令，则，，，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．三角函数的综合应用例1、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）∵，∴，∴，所以，值域为．（2）..另解：，∴，∴，解得，．（3），，.（4）由题意，∴，∵，∴时，，但，∴，∴原函数的值域为．（5）∵，又∵，∴，∴，∴函数的值域为．例2、是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π），使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－cos（π＋β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．解：由条件得①2＋②2得sin2α＋3cos2α=2，∴cos2α=，∴.∵α∈（－，），∴，α=或－．由②得cosβ=．又β∈（0，π），∴β=，又.∴存在α=，β=满足条件．例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．解：由是偶函数，得，即，或对任意x∈R恒成立.，，.又f(x)图象关于对称，.，则k=1时，，满足条件.当k=2时，，此时，满足条件.当k≥3时，不合要求.综上.。
