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第 6 讲§2—3 单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义（1课时）( Identity inverses cancellation law and another definition of finite group )教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代数特征，根据这个特征我们可以对有限群做出新的定义。
本讲要求学生能理解消去律的意义和有限群的新定义。
本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不长，但要吃透证明过程中的每一步骤，并非易事，要求同学能弄通这一定理的证明过程。
注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了（譬如：单位元、逆元等概念），所以在本讲中，对有些内容只需一带而过。
一、复习本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提一下。
（1）单位元 任一个群G 中都在唯一的单位元e 具有性质：a ea ae G a ==∈∀,注：如果G 是加法群时，G 中的单位元换叫做“零元”，记为“0”（2）逆元 群G 中任一个元素a ，都在G 中有唯一的逆元1-a ，具有性质： e a a aa ==--11. 注：如果G 是加法群时，a 的逆元改叫做“负元”，并记为“a -”.（3）群元素的指数律和倍数律（略）（4）模n 剩余类加群]}1[,],2[],1[],0{[},{-=+n Z n .课后思考题：模n 剩余类集合n Z 对于给定的“加法”确实能构成一个加法群。
那么对于整数的乘法是否也能成群？譬如规定：][]][[ij j i =？为此，可做如下讨论.（1）如果},{⋅Z 成为群，那么单位元就只能是[]1——这一点凭直觉就能察觉出。
那么[]0会充当什么角色？[]0有逆元吗？（回答是否定的）（2）既然},{⋅Z 不能成群（都是 []0惹的祸）那么令]}1[,],2[],1{[]}0{[-=-=∙n Z Z n n . 这样一来，},{⋅∙n Z 就能成群吗？仔细观察会发现新问题：当6=n 时，]}5[],4[],3[],2[],1{[6=∙Z ，而]0[]6[]3][2[==这表明6∙Z 对运算不封闭，故也成不了群.（3）试问: },{⋅∙n Z 有可能成为群吗?对n 有什么要求?结论1：当p n =—素数时， },{⋅∙n Z 必是一个群.证明：∙（p Z ∙中元素对乘法是封闭的）]}1[,],2[],1{[-=∙p Z pp Z b a ∙∈∀][],[，则p 不整除a ，p 不整除b . 由于p 是素数，由素数的性质知p 不能整除ab （b p a p ab p 或若⇒ ）。
群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。
群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。
一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。
2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。
4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。
如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。
二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。
整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。
2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。
所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。
置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。
三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。
2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。
3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。
4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。
5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。
四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。
在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。
在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。
在化学中，群被用于描述分子的对称性。
在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。
总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
群运算规则-回复引言：群运算是数学中重要的概念之一，它广泛应用于代数学、几何学和物理学等领域。
在群运算中，集合元素之间的运算必须满足一定的规则，这些规则被称为群的公理。
本文将以群运算规则为主题，逐步说明群的定义、群的运算性质以及一些常见的群结构，帮助读者更好地理解和应用群运算。
第一部分：群的定义1. 集合的定义：在群运算中，首先需要定义一个集合，用于存储待运算的元素。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他对象。
2. 代数结构的定义：群是一种代数结构，它由一个集合和一个运算组成。
集合中的元素在该运算下满足一些特定的性质。
3. 群的定义：群是一个非空集合G，其中定义了一个二元运算*，满足以下四个公理：公理1：封闭性。
对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G。
公理2：结合律。
对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c = a*(b*c)。
公理3：单位元存在性。
存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e = e*a = a。
公理4：逆元存在性。
对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a*a' = a'*a = e，其中e表示单位元。
第二部分：群的运算性质1. 封闭性：群的封闭性是指在群的运算下，任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
这意味着群中的运算不会使元素跳出该群。
2. 结合律：群的运算满足结合律，即无论如何添加括号，得到的结果都是一样的。
这保证了对于群中任意三个元素的运算，结果不会受到计算顺序的影响。
3. 单位元存在性：群中存在一个特殊的元素，称为单位元，它在群的运算下与其他元素的运算结果不变。
这个单位元类似于数学中的常数1，相当于群中的“零”。
4. 逆元存在性：群中的每个元素都有一个逆元，即与其相乘得到单位元的元素。
这类似于数学中的相反数，例如正整数与其相反数相乘得到0。
第三部分：常见的群结构1. 加法群：加法群是指群的运算定义为加法，并满足以下条件：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
群、环、域、向量空间沐风信达代数结构(集合+一套运算规则)•概念•算术(arithmetic)，算术运算不仅仅指加减乘除，还可以是百分比、平方根、取幂和对数；算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数(兴许还包括复数)；进制不仅仅是十进制，还可以是二进制、十六进制、六十进制。
算术运算不仅仅指加减乘除，还可以是百分比、平方根、取幂和对数；算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数(兴许还包括复数)；进制不仅仅是十进制，还可以是二进制、十六进制、六十进制。
•代数，初等用符号(成了变量)代替具体的数字。
以解方程为中心的初等代数，抽象代数，群、环、域、向量空间，伽罗瓦(Évariste Galois, 1811-1832)是现代群论的创始人(与阿贝尔独立发明)，他利用群的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题(称为伽罗瓦理论)，系统阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解，使代数学从解方程的科学转变为研究代数结构的科学，即把代数推广到抽象代数。
线性代数是抽象代数特殊的一类，其代数结构为：向量空间(vector spaces，也叫线性空间) + 线性变换(linear mappings)。
•从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。
一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构初等代数–>抽象代数•(1)数–> 集合•2)+ –> 二元运算，加号+被抽象为二元运算*•(3)0/1 –> 单位元，0和1被抽象成单位元(identity elements)，0为加法单位元，1为乘法单位元。
单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足a ∗e = a 与e ∗a = a。
可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。
•(4)负数–> 逆元素，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数a^−1。
