15集合中元素的个数

教学设计1.1.1集合的含义与表示教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．三维目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．课时安排1课时教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0,1,2,3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1,2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A,4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．答案：(1)(3)变式训练1．下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人答案：D2．已知集合S的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是() A．1B．－2C．6D．2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要注意元素的无序性.例2 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；(3)1～20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性. 变式训练1．用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满足不等式1＜1＋2x ＜19的素数组成的集合．答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；(2){2,3,5,7}．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 86－x ∈N ，试用列举法表示集合A . 解：由题意可知6－x 是8的正约数，当6－x ＝1时，x ＝5；当6－x ＝2时，x ＝4；当6－x ＝4时，x ＝2；当6－x ＝8时，x ＝－2；而x ≥0，∴x ＝2,4,5，即A ＝{2,4,5}． 点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x 2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x 2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x 2－2＝0的实数根为x ，并且满足x 2－2＝0，因此，用描述法表示为A ＝{x ∈R |x 2－2＝0}；方程x 2－2＝0的两个实根为x 1＝－2，x 2＝2，因此，用列举法表示为A＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的所有字母组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由所有非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x－3＞2的解集．解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；(4)描述法：{(x，y)|x＜0，且y＜0}；(5)描述法：{x|x＞2.5}.知能训练课后练习1,2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N，5__________N，16__________N；(2)－12__________Q，π__________Q，e__________∁R Q(e是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x |x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q }．答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ (3)∈3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值． 解：∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．∴m 只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4. 列举法：{(1,4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2,3,5,7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2,0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y,0}，Q ＝{y 2，－y 2,0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 此时P ＝Q ＝{1，－1,0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意． (2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98. ∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根． 综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98. 点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }．(1)若a ∈Z ，则a 是否是集合S 中的元素？(2)对S 中的任意两个x 1，x 2，则x 1＋x 2，x 1·x 2是否属于S?活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S 中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a 能否表示成m ＋2n 的形式；如果能，m 和n 分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x 1，x 2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x 1＋x 2，x 1·x 2是否是集合S 中的元素．解：(1)a 是集合S 中的元素，a ＝a ＋2×0∈S .(2)不妨设x 1＝m ＋2n ，x 2＝p ＋2q ，m ，n ，p ，q ∈Z .则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．备课资料集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数21世纪教育网子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”。

集合中元素的个数练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x+y|x∈A,y∈B}，则C中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62. 已知集合A={x∈Z|−3<x<5}，B={y|y+1>0}，则A∩B的元素个数为( )A.0B.3C.4D.53. 已知集合M={(x,y)|x−y=0}，N={(x,y)|y=x3}，则M∩N中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.34. 已知集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x−y+1)=0}，则集合A中元素个数是( )A.0个B.1个C.2个D.无数个5. 已知集合A={1, 3, 4, 5}，集合B={x∈Z|x2−4x−5<0}，则A∩B的元素个数为（）A.1B.2C.3D.46. 已知集合A={(x,y)|y=1}，B={(x,y)|x2+y2≤2}，则集合A∩B中含有的元素有( )A.无数个B.零个C.一个D.两个7. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0}，若集合A为单元素集，则a的取值为( )A.1B.−1C.0或1D.−1或0或18. 若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为⌀，则实数a的取值范围是( )A.[0,4]B.(0,4)C.[0,4）D.(−∞,0]∪(4,+∞)9. 已知全集U=R，集合M={x|3x2−13x−10<0}和N={x|x=2k,k∈Z}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A.1个B.2个C.3个D.无穷个10. 设函数f:R→R满足f(0)=−1，且对∀x,y∈R，都有2f(xy)+f(y)(f(x)+1)=t⋅(t−f(x))=62020，t∈N∗，x∈N∗}，则集合A中的2(x−1)．令集合A={(t,x)|12元素个数为( )A.2020B.2021C.4040D.404211. 已知集合A={−1，0，1，2}，B={x|x2−2x<0}，则A∩B元素的个数为________.12. 已知集合A={1,3,a}, B={4,5}.若A∩B={4}，则实数a的值为________.13. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则集合A∪B中元素的个数为________．14. 已知集合A={(x, y)|x2+y2≤1, x, y∈Z}，B={(x, y)||x|≤2, |y|≤2, x, y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2, y1+y2)|(x1, y1)∈A, (x2, y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为________ .15. 已知集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围是______．16.(10分) 已知集合A={x|2x2−5x+2≤0}，集合B={x|y=log2(ax2−2x+2)}. (1)求集合A；(2)若B=R，求实数a的取值范围；参考答案与试题解析集合中元素的个数练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】集合中元素的个数集合的确定性、互异性、无序性【解析】根据题意表示出集合C即可【解答】解：∵A={1,2,3}，B={4,5}，∴C={5,6,7,8}，则C中一共有4个元素.故选B.2.【答案】D【考点】交集及其运算集合中元素的个数【解析】【解答】解：因为A={−2，−1，0，1，2，3，4}，B={y|y>−1}，所以A∩B={0，1，2，3，4}．故选D.3.【答案】D【考点】集合中元素的个数交集及其运算【解析】因为直线y=x与曲线y=x3交于(−1,−1),(0,0),(1,1)三点，所以M∩N中有3个元素，故选D．【解答】解：因为直线y=x与曲线y=x3交于(−1,−1)，(0,0)，(1,1)三点，所以M∩N中有3个元素．故选D．4.【答案】D【考点】集合的含义与表示集合中元素的个数【解析】由题可得x+y+1=0或2x−y+1=0，则集合A是直线x+y+1=0与直线2x−y+1=0上的点的个数，为书无数个.【解答】解：由题A={(x,y)|(x+y+1)(2x−y+1)=0}，可得(x+y+1)(2x−y+1)=0，即x+y+1=0或2x−y+1=0，则集合A是直线x+y+1=0与直线2x−y+1=0上的点的个数，为无数个.故选D.5.【答案】C【考点】交集及其运算集合中元素的个数【解析】求出集合B的等价条件，结合交集的定义进行计算即可．【解答】解：B={x∈Z|x2−4x−5<0}={x∈Z|(x+1)(x−5)<0}={x∈Z|−1<x<5}={0, 1, 2, 3, 4}，则A∩B={1, 3, 4}，有3个元素.故选C．6.【答案】A【考点】交集及其运算集合中元素的个数【解析】根据集合的性质，画出图形，即可求出结果．【解答】解：集合A表示直线y=1，集合B表示以坐标原点为圆心，√2为半径的圆，如图，A∩B表示两图形的交点的集合，有无数个．故选A．7.【答案】C【考点】集合中元素的个数【解析】由已知中集合A={x|ax2+2x+1=0, a∈R}只有一个元素，根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1=0有且只有一个解，分类讨论二次项系数a的值，结合二次方程根与△的关系，即可得到答案．【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0}为单元素集，即集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解.当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，一元二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解，即Δ=4−4a=0，解得a=1，故满足条件的a的取值为0或1.故选C.8.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法集合中元素的个数【解析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，当不为0时，把解集为⌀化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．【解答】解：当a=0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为⌀，即所对应图象均在x轴上方，∴{a>0，Δ=a2−4a<0，解得0<a<4，综上，满足要求的实数a的取值范围是[0,4). 故选C．9.【答案】C【考点】集合中元素的个数Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】本题考查集合的表示方法．【解答】解：求解二次不等式3x2−13x−10<0，可得M={x|−23<x<5}，集合N={x|x=2k,k∈Z}表示所有的偶数组成的集合. 由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合M∩N，由于区间(−23,5)中含有的偶数为0，2，4，故M∩N={0,2,4}，即阴影部分所示的集合的元素共有3个．故选C．10.【答案】D【考点】集合中元素的个数抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：令y=0，则有2f(0)+f(0)(f(x)+1)=2(x−1)．又f(0)=−1，∴f(x)=−2x−1．从而集合A中，12t(t−f(x))=62021可化为12t(t+2x+1)=62021，即t(t+2x+1)=2×62020=22021×32020．∵t∈N∗，x∈N∗，∴t，t+2x+1必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为22021，22021×3，22021×32，⋯，22021×32020，共有2021个(t,x)．若t+2x+1为偶数时，同理也有2021个(t,x)．∴集合A中的元素个数共有2021×2=4042（个）．故选D．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）11.【答案】1【考点】集合中元素的个数一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合B={x|0<x<2}，∴A∩B={1}.故答案为：1.12.【答案】4【考点】集合中元素的个数交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A∩B={4}，∴a=4.故答案为：4.13.【答案】4【考点】集合中元素的个数并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，∴A∪B={1, 2, 3, 4}．∴集合A∪B中元素的个数为4．故答案为：4.14.【答案】45【考点】集合新定义问题集合中元素的个数集合的含义与表示【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得A={(−1, 0), (0, 0), (1, 0), (0, 1), (0, −1)}，如下图所示：因为B={(x, y)||x|≤2, |y|≤2, x, y∈Z}，由A⊕B的定义可得，A⊕B相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0，1，2个单位，如下图所示：所以A⊕B中的元素个数为7×7−4=45．故答案为：45.15.【答案】{a|a≥98或a=0}【考点】集合中元素的个数【解析】本题考查的是二次函数的性质问题．在解答时，首先应将集合的元素个数问题转化为一元二次方程的根的个数问题，结合△即可获得根的情况与a的范围的对应．继而问题可获得解答．【解答】解：由题意可知：当A中仅有一个元素时，a=0，或Δ=9−8a=0，解得：a=0或a=98；当A中有0个元素时，Δ=9−8a<0，解得：a>98.所以，集合A={x|ax2−3x+2=0}至多有一个元素时a的取值范围为：{a|a≥98或a=0}．故答案为：{a|a≥98或a=0}．三、解答题（本题共计 1 小题，共计10分）16.【答案】解：(1)∵A={x|2x2−5x+2≤0}={x|12≤x≤2}，∴A={x|12≤x≤2}．Δ(2)B=R，则ax2−2x+2>0恒成立，若a=0，则不满足条件，若a≠0，则{a>0,Δ=4−8a<0,即a>12，∴实数a的取值范围是{a|a>12}．【考点】集合中元素的个数一元二次不等式的解法对数函数的定义域集合的相等【解析】(1)根据不等式的解法即可求集合A；(2)若B=R，利用对数函数成立的条件，求实数a的取值范围；【解答】解：(1)∵A={x|2x2−5x+2≤0}={x|12≤x≤2}，∴A={x|12≤x≤2}．(2)B=R，则ax2−2x+2>0恒成立，若a=0，则不满足条件，若a≠0，则{a>0,Δ=4−8a<0,即a>12，∴实数a的取值范围是{a|a>12}．。

1.1.1集合中元素的个数的教案【教学目标】：1.知识与技能：使学生初步理解集合的基本概念，常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念。

2.过程与方法：通过让学生从一些集合的事例中概况集合的定义，了解集合与元素的关系。

3.情感态度与价值观：学生感受数学与生活之间的密切联系，提高学习数学的积极性，知道集合的重要性。

【教学重点】：集合概念、性质，元素的相关概念；【教学难点】：集合概念的理解；【教学用具】：多媒体，黑板【教学过程】：一、引入课题“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。

比如初中学习的整数集，有理数集，以及不等式的解集等。

军训前学教学难点校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。

集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造）。

的集合论是近代许多数学分支的基础。

（参看阅教材中读材料P17下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。

二、新课教学1、集合的定义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用字母A，B，C，D等表示。

2、集合的元素的概念和特征：（1）集合中的每个研究对象叫做这个集合的元素，用字母a，b，c，d等表示。

(2) 集合的中元素的三个特性：①元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

②元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

集合元素个数的表示方法一、使用自然数表示最常见的表示集合元素个数的方法是使用自然数。

当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为|A|=n，其中A表示集合的名称，|A|表示集合A的元素个数。

例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为|A|=3。

二、使用符号表示除了使用自然数表示集合的元素个数外，我们还可以使用一些特殊符号来表示。

常用的符号有#和card。

符号#表示集合的基数。

当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为#A=n，其中A表示集合的名称，#A表示集合A的元素个数。

例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为#A=3。

符号card表示集合的势。

当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为card(A)=n，其中A表示集合的名称，card(A)表示集合A的元素个数。

例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为card(A)=3。

三、使用集合运算表示除了直接表示集合的元素个数外，我们还可以使用集合运算来间接表示。

常用的集合运算有并集、交集和差集。

对于两个集合A和B，我们可以使用并集运算来表示它们的元素个数之和。

即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么它们的并集中有m+n个元素。

例如，如果集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，那么它们的并集中有2+3=5个元素。

类似地，我们可以使用交集运算来表示两个集合的公共元素个数。

即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么它们的交集中有min(m, n)个元素。

例如，如果集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，那么它们的交集中有min(2, 3)=2个元素。

我们还可以使用差集运算来表示一个集合相对于另一个集合的元素个数。

即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么A相对于B的差集中有m-n个元素。

例如，如果集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，那么A 相对于B的差集中有3-2=1个元素。

四、使用数学符号表示除了使用自然数和符号表示集合的元素个数外，我们还可以使用一些数学符号来表示。

高中数学新教材必修第一册第一章1.1 集合的概念（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 集合的元素个数有A. 个B. 个C. 个D. 无数个2. 设集合，，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则的值为A. B. C. D. 或4. 设集合，，定义，则中元素的个数为A. B. C. D.5. 用列举法可以将集合表示为A.B.C.D.6. 下列说法正确的有①与表示同一个集合；②由，，组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．A. 只有①和④B. 只有②和③C. 只有②D. 以上四种说法都不对7. 下面关于集合的表示正确的个数是①；②；③．A. B. C. D.8. 若集合，，则中元素的个数是A. B. C. D.9. 设集合，，则“且”成立的充要条件是A. B. C. D.10. 设集合，若（为自然对数底数），则A. B.C. D.11. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.12. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.13. 设集合，，，则中的元素个数为A. B. C. D.14. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D.15. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.16. 设集合，，若，则A. B. C. D.17. 设集合，集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.18. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.19. 若集合，则集合中的元素个数是A. B. C. D.20. 若集合，则实数的取值集合是A. B.C. D.21. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.22. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是A. B. C. D.23. 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集24. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.25. 若集合，则实数的值的集合是A. B.C. D.26. 已知集合，集合中至少有个元素，则A. B. C. D.27. 已知，则集合的子集的个数是A. B. C. D.28. 已知集合，集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.29. 设是实数集的非空子集，如果，，，则称是一个“和谐集”．下面命题中假命题是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则30. 已知集合，，，则A. 或B. 或C. 或D. 或31. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，若集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.32. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.33. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.34. 设集合，则A. 对任意实数，B. 对任意实数，C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，35. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论：①；②；③若整数，属于同一“类”，则；④若，则整数，属于同一“类”．其中，正确结论的个数是A. B. C. D.36. 用表示非空集合中元素的个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则A. B. C. D.37. 已知集合，，，且，，．设，则A. B. C. D. 以上都不对38. 设是实数集的非空子集，如果，有，，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且，均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则39. 设是整数集的非空子集，如果对任意的，，有，则称关于数的乘法是封闭的．若，是的两个不相交的非空子集，，且对任意的，，，有，对任意的，，有，则下列结论恒成立的是A. ，中至少有一个关于数的乘法是封闭的B. ，中至多有一个关于数的乘法是封闭的C. ，中有且只有一个关于数的乘法是封闭的D. ，关于数的乘法都是封闭的40. 若集合且，且，用表示集合中元素个数，则A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 集合，当时，若，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为．42. 设集合，则．43. 集合中的最小整数为．44. 元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合（简称为集），通常用表示．45. 定义集合运算，设集合，，则集合．46. 集合的元素个数有个．47. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．48. 已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是．49. 已知，，则．50. 下列各组对象不能形成集合的是．（填序号）①大于的所有整数；②高中数学的所有难题；③被除余的所有整数；④函数图象上所有的点．51. 已知，若集合中恰有个元素，则的取值范围为．52. 已知集合，若，则实数的值为 .53. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是．54. 集合与集合的元素个数相同，则的取值集合为．55. 已知集合，若，则的值为．56. 设，，，则集合中元素的个数为个．57. 将，，，，这个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有和，第二张卡片上写有，第三张卡片上写有，则应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．58. 已知集合，则集合中元素的个数是．59. 已知集合，且，那么实数的取值范围是．60. 从集合中随机取一个点，若的概率为，则的最大值是．61. 已知是集合的非空子集，且当时，有，记满足条件的集合的个数为，则，．62. 若集合中只有一个元素，则．63. 已知集合，若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是．64. 设集合，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．65. 已知集合，若存在，使得集合中所有整数的元素的和为，则的取值范围是．66. 若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的：①；②；③；④．则符合条件的有序数组的个数是．67. 已知集合，存在，使得集合中所有为整数的元素和为，则的取值范围是．68. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．69. 已知集合，集合，定义集合，之间的运算“”：，则集合中最大的元素是，集合所有子集的个数为．70. 已知集合，若表示集合中元素的个数，则．71. 以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．72. 若集合，则实数的取值范围是．73. 设，，均为非零实数，则的所有值为元素组成的集合是．74. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，．定义在上的函数，若，则中所有元素之和为．75. 设全集，，，，则集合，．76. 设表示不超过的最大整数，集合中的元素个数为个．77. 若自然数使得加法运算均不产生进位现象，则称为"给力数"，例如：是"给力数"，因为不产生进位现象；不是"给力数"，因产生进位现象．设小于的所有"给力数"的各个数位上的数字组成集合，则集合中的数字和为．78. 已知数集（）具有性质对任意，其中，均有，若，则．79. 在边长为的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．80. 已知集合，对于元素和，有，（填“”或“”） .三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知集合．（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．82. 若数集具有以下性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．83. 已知集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．84. 已知，若，求实数的值．85. 已知集合，试用列举法表示集合．86. （1）已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围．（2）本例条件不变，问是否存在实数，使是的充要条件．（3）本例条件不变，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．87. 已知集合各元素之和等于，求实数的值．88. 集合中的元素为正整数，且满足“若，则”．（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试写出全部的有两个元素的集合；（3）满足上述条件的集合总共有多少个?89. 数集满足条件：若，则．（1）若，试求中必须含有的其它所有元素；（2）自己设计一个数属于，然后求出中必须含有的其它所有元素；（3）从上面的解答过程中你能悟出什么道理，并大胆证明你发现的"道理"．90. 设数集满足条件：①；②且；③若，则．（1）若，则中至少有几个元素?（2）证明：中不可能只有一个元素．91. 已知集合，其中，由的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．92. （1）设集合，，，求集合中的元素个数；（2）设，集合，求的值．93. 已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．94. 已知数集满足条件：，若，则．（1）若，则集合中还有哪些元素?（2）请你任意设集合中的一个元素（实数），再探讨该集合中其他元素；（3）从上面两题的解答过程中，你领悟到什么结论?并加以证明．95. 已知集合，，用列举法表示集合．96. 用适当的方法表示下列集合：（1）的正约数组成的集合；（2）大于且小于的实数组成的集合；（3）图中阴影部分的点（不包括边界）组成的集合．97. 已知集合．在下列条件下分别求实数的取值范围：（1）；（2）恰有两个子集；（3）．98. 已知数集且有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且；（3）当时，证明：，，，，成等差数列．99. 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，，，且，使，则；（3）记．若，，且，求的最大值．100. 已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】提示：由两个集合相等可知，或，当时，无意义，所以．4. D5. C【解析】集合中的元素是点，故A，B不对．又，分别可以取或，故选C．6. C 【解析】①错；表示元素不是集合；②对；考查集合中元素的无序性；③错；考查集合中元素的互异性；④错；为无限集．7. B 【解析】因为集合的元素具有无序性，•故①不正确；中的元素为，表示直线上的点组成的集合，中的元素是，表示函数的值域，故②不正确；和均表示大于的数组成的集合，故③正确．所以正确的说法只有③．8. B 【解析】由已知，得．由，得的取值只可能是和，从而，所以中含有个元素．9. D10. C11. C 【解析】集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．12. B13. B 【解析】因为集合中的元素，，，所以当，时，．当，时，．由集合元素的互异性，可知．即，共有个元素．14. A15. D【解析】因为方程的判别式，所以方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素，B选项中有无数个元素，即抛物线上的点，C选项中只有一个元素．16. C 【解析】已知，所以，则，所以，所以，，所以．17. C 【解析】当时，；当时，．所以集合B中的元素个数是．18. A 【解析】因为正方体的棱长为，，，，所以所以集合中元素的个数为．19. A20. D【解析】时，满足条件；时，由题意知且，得，所以．21. D22. B 【解析】当时，；当时，；当时，．由集合中元素的互异性知中有，，，，，，，共个元素．23. A 【解析】取自然数集中两个值，，而．24. D25. D【解析】当时符合题意；当时，相应一元二次方程中的，得．综上得．26. C27. B28. B29. D 【解析】A显然正确；B，对任意无理数，取，，，则，，所以是“和谐集”，正确；C，任意“和谐集”中一定含有，所以，正确；D，取，，但既不属于也不属于，所以，D为假命题．30. B31. C32. C 【解析】当时，，而，此时，，则中元素的个数为．当时，，而，此时，．由于，时，中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为，则中元素的个数为．33. C 【解析】或或，共个点；，共个点．由，知；同理由，知．当或时，可取；当时，可取．故中共有元素个．34. D35. C【解析】由于，对于①，除以等于余，所以，所以①对；对于②，，被除余，所以②错；对于③，因为，是同一类，可设，，则能被整除，所以，所以③正确；对于④，若，则可设，，即，，不妨令，，，，，，，则，，，所以，属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．36. B 【解析】由，则或，，当时，符合题意；当，，符合题意．综上，．37. B 【解析】要判断与集合之间的关系，只要看能否写成，，，，，的形式即可．，，分别是，，中的元素，分别可以写成，，，，，的形式，对它们进行运算即可．设，，，，，，则由于，所以．38. D 【解析】方法一：显然集合｛｝是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数，，，，，所以集合都是“和谐集”，选项B为真命题；若，且，均是“和谐集”，显然，，则，选项C为真命题．故选D．方法二：显然，均是“和谐集”，且，，而，选项D是假命题，故选D．39. A 【解析】由于，则整数一定在，两个集合中的一个中．不妨设，则，由于，，，则，即，从而对乘法封闭；另一方面，当非负整数，负整数时，关于乘法封闭，关于乘法不封闭，故D不对；当奇数，偶数时，，显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．40. A【解析】对于集合，当时，、、可取、、、，故个数为；当时，、、可取、、，故个数为；当时，、、可取、，故个数为；当时，、、可取，故个数为；所以集合中元素的个数为．对于集合，当时，可取、、、；当时，可取、、；当时，可取、；当时，可取；故、组共可取个，同理，、组也可取个，所以集合中元素的个数为．因此，．第二部分41.【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知，中只有一个孤立元素．42. 143.44. （1）研究对象小写拉丁字母 .（2）一些元素组成的总体大写拉丁字母45.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以．46.【解析】容易解得，于是集合中的元素个数为个．47.48. 由于，即不满足集合，则或，得．49.50. ②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．51.【解析】因为中恰有个元素，所以，故的取值范围为．52. 或53. 或54.【解析】由于集合中只有等式这一个元素，所以集合中也只有一个元素．当时，；当时，，．55.【解析】因为，所以或．当，即时，，此时集合中有重复元素，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时符合题意．所以．56.57. 二，【解析】显然不在第一张卡片上，也不在第三张卡片上，所以只能在第二张卡片上；因为第一张卡片上已经写有和，所以不在第一张卡片上，又第二张卡片上写有，所以也不在第二张卡片上，故在第三张卡片上；，不在第三张卡片上，不在第二张卡片上，所以在第一张卡片上，在第二张卡片上；在第三张卡片上．58.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．根据集合中元素的互异性知，中元素有，，，，，共个．59.【解析】因为，所以不满足集合中的不等式，所以，故．60.【解析】从集合中随机取一个点，共有种情况，即，；，；，，的概率为，即的情况有种，即，，，，，，则的最大值是．61. ，【解析】将，，，分为组，和，和，，和，为一组，每组中的两个数中必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，有两种情况，的可能性有，排除一个空集，的个数为，故，．62. 或【解析】若，则，符合题意；若，则由题意得，解得．综上，的值为或．63. 或【解析】由题意知或解得或．64.【解析】符合题意的集合是：，，，，，，共个．65.【解析】不等式可化为，当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有整数的元素的和为，则．66.【解析】由于题意是只有一个是正确的，所以①不成立，否则②成立，即可得．若，则或；若，则；若，则或或．所以共有个．67.【解析】不等式可化为．当时，集合，此时集合中所有为整数的元素和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有为整数的元素和为，则．68. ③④【解析】由题意可得集合是“垂直对点集”等价于对于过曲线上任意一点与原点的直线，都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直．①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，，满足，化为，无解，因此假设不成立，即集合不是“垂直对点集”；②，取，则不存在，满足，因此集合不是“垂直对点集”；③，结合图象可知，集合是“垂直对点集”；④，结合图象可知，集合是“垂直对点集”．综上可得，只有③④是“垂直对点集”．69. ，70.【解析】因为，，，，，因为，，，，成首项为、公差为的等差数列，所以易知该等差数列的项数为．所以．71. ②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则，都是偶数”，是假命题，如是偶数，但和均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．72.【解析】因为，所以，所以或解得．73.【解析】，，均为正数时，；，，均为负数时，；，，两正一负或两负一正时，．74.75.【解析】，由知，所以，即．所以，，故，所以，．76.【解析】设．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．77.【解析】"给力数"的个位取值有，，三种情况，"给力数"的其他数位取值有，，，四种情况，所以，故集合中的数字和为．78.【解析】当有，即，又因为，所以，故，由已知，又，，所以，即．又，且，故或，若，则，与已知矛盾，所以，即．同理可得出，故，故，．79.【解析】正方形如图所示，由题可知，，，；，，；因此，，，；再结合，当，时，如上图，，可算得为的最大值，则相应的，时，最大，且此时与夹角为，所以．80. ，【解析】因为，所以与均为整数，且．令，即，所以解得即二元方程有解，所以 .对于，即，令无整数解；再令亦无整数解．因此，．第三部分81. （1）因为中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即所求的范围是且．（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，综合知此时所求的范围是或．82. 由于与均不属于集数，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，均属于数集，所以该数集具有性质．83. 或．84. ．85. ．86. （1）由，得，所以，由是的必要条件，知．则所以，所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是．（2）若是的充要条件，则，所以方程组无解，即不存在实数，使是的充要条件．（3）由例题知，因为是的必要不充分条件，所以且．所以．所以或所以，即的取值范围是．87. 或．忽略集合的互异性，由直接得到，所以．漏解，此时．88. （1），即，则．（2），．（3）共有个，分别为，，，，，，．89. （1），则，即．则，即；则，即；所以中必须含有的其它所有元素为．（2）答案不唯一，如：若，则中必须含有的其它所有元素为．（3）分析以上结果可以得出，中只要含有元素，就至少含有个元素，分别是，且三个数的乘积为．证明如下：若，则有，且，所以又有，且，进而有．又因为（因为，则，而方程无解），同理，所以中至少含有个元素，它们分别是，且三个数的乘积是．90. （1）若，则，所以．所以．所以中至少有，，三个元素．（2）假设中只有一个元素，设这个元素为，由已知，则，即，此方程无解．这与中有一个元素矛盾，所以中不可能只有一个元素．91. 集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合，．92. （1）因为集合中的元素，，，所以当时，，此时；当时，，此时．根据集合中元素的互异性可知，．即，共有个元素．（2）因为，，所以，得，所以，，所以．93. （1）当时，，则．（2）由知解得，即实数的取值范围为．（3）当，即时，满足；当，即时，要满足，需有或，解得或，所以．综上，实数的取值范围是．94. （1）由已知，得，即，，即，，即，所以，．所以集合中还有，．（2）不妨设，则，即，，即，，即，所以，．（3）由（ 1）（ 2）猜测中仅有三个元素，即，，．下面证明这三个数在集合中且互不相等．先证存在．因为，所以存在且不等于，所以．由，可知．而，即时，有意义．再证互不相等．若，则，又，故无实数解，即，同理，．综上所述，集合中必有这三个互不相等的元素，而，因此中有且仅有这三个元素．95. 因为，，，，，，，所以．96. （1）的正约数有，，，，是个有限集，因此采用列举法表示为．（2）采用描述法表示为．（3）采用描述法表示为且．97. （1）若，则关于的方程没有实数解，则解得；（2）若恰有两个子集，则为单元素集，则关于的方程恰有一个实数解．①当时，，满足题意；②当时，解得．综上，的取值集合为．（3）若，则关于的方程在区间内有解．因为所以．98. （1）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质．因为，，，，，，，，，均属于集合，所以数集是具有性质．（2）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且，所以，故．从而．所以，因为，所以，故．所以．又因为，所以，所以，，，，，即．所以．（3）由知，当时，有，，即，因为，所以，所以，所以．由，得，且，所以，即，所以，，，，是首项为，公差为的等差数列．99. （1）当时，由，得所以．（2）设，，．由，使，即得所以，使得，其中．由此与同为非负数或同为负数．从而（3）首先证明如下引理：设，则有．证明如下：因为，，所以即成立．结合上述引理，得上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，且综上，的最大值为．100. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 .我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。

[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－5B ．－4C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M 解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x .当x ＝0时，它们均为0； 当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确．答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2； 当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0； 当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2. 所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3.答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R .(1)若－3∈A ，试求实数a 的值；(2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a 的值为0或－1.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1.10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ； 因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ； 因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．小于或等于1 解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12∈A ， 所以11－12＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b(b ≠0)仍是有理数， 所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。

1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数 答案：B解析：根据集合定义与性质一一判断即可. 详解：A 中对象不确定，故错；B 中对象可以组成集合；C 中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错. 故选：B2．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-= B ．{(-1,3)} C ．{3,-1} D ．{-1,3}答案：B解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解. 详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}， 故选：B.3．已知集合{1}A x Nx k =∈<<∣，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．3k > B ．3k ≥ C ．4k > D ．4k ≥答案：C解析：由集合A 中至少有3个元素，即可得到k 的取值范围. 详解：解：{1}A x Nx k =∈<<∣且集合A 中至少有3个元素，4k ∴>.故选：C.4．设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是 A ．13B ．23C ．112D ．512答案：C 详解：试题分析：根据题意，M 的长度为34，N 的长度为13，当集合M∩N 的长度的最小值时， M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N 的长度的最小值是31114312+-=，故选C ． 考点：新定义；集合运算5．已知集合{|21,}A x x m m ==-∈Z ，{|2,}B x x n n ==∈Z ，且123,,x x A x B ∈∈，则下列判断不正确的是（ ） A ．12x x A ⋅∈ B ．23x x B ⋅∈ C ．12x x B +∈ D ．123x x x A ++∈答案：D解析：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，所以12,x x 是奇数，3x 是偶数，奇数加奇数为偶数可判断D 选项错误. 详解：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集， ∴12,x x 是奇数，3x 是偶数，∴12x x ⋅为奇数，23x x ⋅为偶数，12x x +为偶数，123x x x ++为偶数. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合的关系，解题的关键是充分运用奇数、偶数相加或相乘的性质，属于基础题.6．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为A ．12- B ．0或12C ．1-D ．1-或12-答案：D解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解. 详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意； 当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-， 所以1a =-或12a =-. 故选:D. 点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题. 7．下列关系正确的是( ) A ．3∈y|y＝x 2＋π，x∈R} B ．(a ，b)}＝(b ，a)} C ．(x ，y)|x 2－y 2＝1}(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1} D ．x∈R|x 2－2＝0}＝答案：C解析：试题分析：2{y |y x x R}{y |y }ππ∈≥＝＋，＝， ∵3＜π，∴23{y |y x π∉＝＋｝. (a ，b)}与(b ，a)}中元素不相同， ∴(a，b)}与(b ，a)}不一定相等.(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1}＝(x ，y)|x 2－y 2＝1或x 2－y 2＝－1}， ∴C 是正确的.x∈R|x 2－2＝0}＝2，－2}≠.考点：元素与集合、集合与集合的关系 点评：此类问题要先确定集合，再进行判断． 8．集合3，x ，x 2–2x}中，x 应满足的条件是（ ） A ．x≠–1B ．x≠0C ．x≠–1且x≠0且x≠3D ．x≠–1或x≠0或x≠3答案：C解析：利用集合元素的互异性求解. 详解：集合3，x ，x 2–2x}中，x 2–2x≠3，且x 2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C ．9．下列关系中*102Q R N Z π∈∈∈①，③④，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：根据元素与集合的关系进行判断. 详解：解：对于①：12是一个有理数，Q 是有理数集，12Q ∴∈；故①正确．R 是实数集；R ；故②正确．对③：0是一个自然数，但不是正整数，*N 是正整数集，*0N ∴∉；故③错误． 对于④：π是实数但不是整数，Z 是整数集，Z π∴∉； 故④错误； 故正确的有2个 故选：B ． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题 10．下列四个集合中，不同于另外三个的是（ ） A ．{}2y y = B ．{}2x = C ．{}2D ．{}2440x x x -+=答案：B解析：选项A ，C ，D 中元素都是实数2，而选项B 中元素为等式2x =，即可得到答案. 详解：对选项A ，{}{}22y y ==，元素为实数2； 对选项B ，{}2x =，元素为等式2x =； 对选项C ，{}2，元素为实数2；对选项D ，{}{}24402x x x -+==，元素为实数2.故选：B 点睛：本题主要考查集合的概念，属于简单题. 二、填空题1．已知集合A=1，2，3，4，5，6，7}，则集合{|,,,}2x B x x a b a A b A N +==⨯∈∈∈中元素的个数为_____．答案：15解析：试题分析：B 表示任取的两个元素a ，b （a ，b 可以相同）之积为偶数的集合，又1×6=2×3，3×4=2×6，1×4=2×2，所以集合B 的元素的个数为11124333315C C C C ++-=．故答案是：15．考点： 元素与集合关系的判断．2．已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，则a 的值为 ．答案：0或1 详解：因为集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，所以中只有一个元素，0a =合题意， 4401a a ∆=-=⇒=，所以．3．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.答案：{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解. 详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意； 当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解， 所以△1680a =-， 解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =. 故答案为：{|2a a 或0}a =. 点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 4．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．答案：x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}． 故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}． 点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.5．数集{}22,a a a -中a 的取值范围是___________()a ∈R .答案：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞解析：由集合的互异性可得22a a a ≠-,计算可得a 不能取得的取值,再表示出a 的取值范围即可. 详解：由集合的互异性可知,22(3)0a a a a a ≠-⇒-≠,所以0a ≠且3a ≠, 故(,0)(0,3)(3,)a ∈-∞⋃⋃+∞. 故答案为：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞. 点睛：本题主要考查集合中元素的互异性,最后的答案可以写成集合或者区间的形式. 三、解答题1．已知集合A ＝x∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A.答案：1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：把1代入方程求得a ，然后再解方程得解集． 详解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝－13，1}.故答案为：1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查集合的概念，属于简单题． 2．已知3,⎛⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,求实数,a b 的值.答案：1,14a b ==解析：把3,⎛ ⎝⎭和代入方程221ax by -=列出方程组，即可求出实数,a b 的值. 详解：由题：3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,所以3,⎛ ⎝⎭和满足方程221ax by -=， 59141631a b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以1,14a b ==. 点睛：此题考查根据集合中的元素求参数的值，关键在于准确代值列出方程组，解方程组即可得解. 3．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()()R R ()(),,R R A B A B A B A B ⋃⋂⋂⋃，.答案：(){|2R A B x x ⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ⋂=<或7}x ，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x <，(){|2R A B x x ⋃=或37x <或10}x解析：直接根据交集，并集和补集的运算法则得到答案. 详解：{|210},{|37}A B x x A B x x ⋃=<<⋂=≤<，{|3RA x x =<或 7}x ≥，{|2RB x x =≤或10}x ≥，(){|2R A B x x ∴⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ≥⋂=<或7}x ≥，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x ≤<，(){|2R A B x x ⋃=≤或37x ≤<或10}x ≥.点睛：本题考查了交并补的混合运算，意在考查学生的计算能力. 4．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)答案：(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆. 解析：(1)PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合； (2)3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合． 详解：(1) PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合，这样的点在线段AB 的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段AB 的垂直平分线；(2) 3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合，这样的点在以O 为圆心，以3cm 为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆． 点睛：本题考查描述法表示集合，是基础题． 5．用区间表示下列的集合{|12}x x -<≤ 1{|}6x x -≤<- {|7}x x < {}|3x x ≥ {} 5|2x x ≤≤答案：(12]-，；[61)-，；(7)-∞，；[3)+∞，；[2]5， 解析：由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式. 详解：{|12}x x -<≤的区间表达为(12]-，; 1{|}6x x -≤<-的区间表达为[61)-，; {|7}x x <的区间表达为(7)-∞，; {}|3x x ≥的区间表达为[3)+∞， ; {} 5|2x x ≤≤的区间表达为[2]5，. 点睛：本题考查集合与区间的转换，属于基础题.。

高中（高考）数学知识点集合的概念练习卷试卷排列：按知识点知识点：集合的概念难度：中等以上版本：适合各地版本题型：填空题40多道，选择题20多道，解答题20多道，共100道有无答案：均有答案或解析价格：6元，算下来每题6分钱。

页数：46页1．已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是（ ） A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2 D ．{}4 【答案】C【解析】解：因为{2}}8,4,2,0{},5,3,2,1{,可以是A C B B A C A ∴==⊆⊆2．若A 、B 、C 为三个集合，且C B B A =，则一定有（ ） A 、C A ⊆ B 、A C ⊆ C 、C A ≠ D 、φ=A 【答案】A3．： 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则PM =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 【答案】：B ． 【解析】：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,24．设a ,b ∈R ，集合a b b aba b a -=+则},,,0{},,1{=（A ）1 （B ）－1 （C ）2 （D ）－2 【答案】C5．已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<，{(,)()}P x y y f x ==，现给出下列函数：①x y a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ⋂=，则()f x 所有可取的函数的编号是 （ ）A ． ①②③④B ．①②④C ．①②D ．④ 【答案】B 【解析】考点：补集及其运算；交集及其运算． 专题：计算题；数形结合．分析：利用补集的定义求出∁uM ，由P∩∁uM=P ，得到P ⊆∁uM ，故P 中的函数f （x ）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．解答：解：∵∁uM={（x ，y ）||x|+|y|≥a}，0＜a ＜1时，P∩∁uM=P ，∴P={（x ，y ）y=f （x ）}⊆∁uM ，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a （-a≤x≤a ）的上方．①中，x ∈R ，y ＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．②中，x ＞0，y=log a x ∈R ，满足||x|+|y|≥a，故②可取． ③中的函数不满足条件，如 x=0，a=π4时，y= 22，不满足|x|+|y|≥a．④中x ∈R ，-1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故选B ．点评：本题考查补集的定义和运算，交集的定义和运算，求出∁uM={（x ，y ）||x|+|y|≥a}，是解题的关键．6．对于集合M、N，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=--．设{}23A t t x x ==-，(){}lg B x y x ==-，则A B ⊕为（ ）A ．904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤B．904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭<-≥或C ．904x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭-<≤D ．904x x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭->≤或【答案】B7．设集合{|0},{|03},1xA xB x x x =<=<<-那么“x A ∈”是“x B ∈”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A8．设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是 （ ）A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a【答案】C 【解析】由题q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，可知p 、q 中有且仅有一个为真命题， i)若p 为真，q 为假，则0,12><<--a a a 且A ∉2，解得21≤<a ； ii) 若q 为真，则0,22><<--a a a ，解得2>a ，可知A ∈1，则p 为真，不符题意.9．含有三个实数的集合可表示为{a, ab,1}，也可表示为{a 2,a+b ,0}，则a 2007 +b 2007的值为（ ）A ．0B ．1C ．—1D ．1± 【答案】C【解析】100-=⇒=⇒=a b ab得a 2007 +b 12007-=10．设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是 （ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 【答案】A 【解析】当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。

1.1 集合的概念1．已知集合M=6*,5aN a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（ ） A ．2，3} B ．1，2，3，4} C ．1，2，3，6} D ．1-，2，3，4}2．集合{}14916P =，，，，，若a P b P ∈∈，，则a b P ⊕∈，则运算⊕可能是 A ．除法 B ．加法 C ．乘法 D ．减法3．下面有四个命题：①集合N 中最小元素是1；②若N a -∈，则a N ∈；③若a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2；④244x x +=的解集可表示为{}2,2．其中正确的命题的个数是．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知集合{,||,2}M a a a =-．若2M ∈，则实数a 的值为A ．-2B ．2±C ．2或4D ．2±或45．设集合A ＝x|﹣2＜x ＜4}，B ＝2，3，4，5}，则()R A B =（ ）A ．2}B ．4，5}C ．3，4}D ．2，3} 6．集合2{|60}?,M x x x =--=则以下正确的是（ ） A ．{}2M -∈ B ．2M -⊂ C ．3M -∈ D ．3M ∈ 7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（ ） A ．x ＝2，y ＝1} B ．21x y ⎧⎫=⎧⎨⎨⎬=⎩⎩⎭ C ．2，1} D ．（2，1）}8．已知集合{}3,1M m =+，4M ∈,则实数m 值为A ．4B ．3C ．2D ．1 9．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个 10．下列各组对象中能构成集合的是（ ）AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品11．下列说法正确的是（ ）A ．所有著名的作家可以形成一个集合B ．0与 {}0的意义相同C ．集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭ 是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素12．方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．(){}5,4 B ．(){}5,4-- C ．(){}5,4- D ．(){} 5,4- 13．已知集合{}21,1A a a =++，且2A ∈，则实数a 的取值是（ ）A ．1或-1B ．-1C ．1D ．-1或0 14．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14B ．－2C ．78D ．7 15．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1216．下列各对象可以组成集合的是A ．与1非常接近的全体实数B ．某校全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数相差很小的全体实数17．已知集合{}|04A x N x =∈≤≤，则下列表述正确的是A ．0A ∉B ．1A ⊆C 2A ⊆D ．3A ∈18．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．7 20．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（ ） A ．1A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆参考答案1．D解析：由元素具有的性质，5a -是6的正约数，由此可得a 的值．详解：因为集合M=6*,5a N a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6， 即a 可能为4，3，2，1-.所以M=1-，2，3，4}，故选：D.点睛：本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据．2．C解析：根据所给示例，可得集合P ，根据特殊值排除选项即可．详解：因为集合{}14916P =，，，， 所以集合P 为正整数的平方组成的集合当1,4a b ==时，满足a P b P ∈∈，若⊕运算为除法，计算后的结果为14，不满足a b P ⊕∈，排除A 选项若⊕运算为加法，计算后的结果为5，不满足a b P ⊕∈，排除B 选项若⊕运算为减法，计算后的结果为3-，不满足a b P ⊕∈，排除D 选项所以C 选项正确点睛：本题考查了集合中新定义的应用，注意用特殊值法排除选项，属于基础题．3．A解析：N 是自然数集,最小的自然数是0，集合中的元素是互异的,即相同的元素写一次即可. 详解：①集合N 中最小元素是0；所以①错；②若N a -∈，则a N ∈：当3a N -=∈时，3a N =-∉，所以②错；③若a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是0；所以③错；④244x x +=的解集可表示为{}2；所以④错.点睛：本题考查学生对常用数集符号的认识，同时考查学生的推理能力.4．A解析：根据2M ∈依次验证每个元素等于2的情况，根据元素的互异性排除错误结果. 详解：当2a =时，2=a ，不满足集合中元素的互异性；当22a -=时，4a =，4a =，不满足集合中元素的互异性；2a ∴=且2a ≠ 2a ∴=-，此时{}2,2,4M =--，满足题意故选A点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数值的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，造成增根出现.5．B解析：首先根据补集的运算得到A R ，再根据交集的运算即可得出答案.详解：解：因为{}|24A x x =-<<，所以{|2R A x x =≤-或}4x ≥.所以(){}4,5R A B =故选：B.6．D解析：解一元二次方程得{}2,3M =-，由元素与集合的关系得3M ∈，得解.详解：解:解方程260x x --=,解得3x =或2x =-,即{}2,3M =-,则3M ∈,故选:D.点睛：本题考查了一元二次方程的解法及元素与集合的关系，属基础题.7．D解析：利用“消元法”即可得出．详解：31x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②可得：2x ＝4，解得x ＝2，把x ＝2代入①可得2+y ＝3，解得y ＝1．∴方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（2，1）}， 故选D ．点睛：本题考查了方程组的解法、“消元法”，考查了计算能力，属于基础题．8．B详解：因为集合{}3,1M m =+，4M ∈，故必有m+1=4,m=3,选B9．C解析：直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.详解：由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6.故选C点睛：本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．C解析：根据集合中元素的确定性，即可得解.详解：选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.点睛：本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.11．D解析：根据集合的相关概念逐项分析即可.详解：所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A 错误；0可以表示一元素，{}0表示的是集合，故B 错误； 集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故C 错误； 由2210x x ++=得1x =-，则方程的解集为{1},- 故D 正确.故选：D.12．D解析：把一次方程代入二次方程消去y 后求得x ，即可求得y.详解：把一次方程代入二次方程得22(1)9x x --=，整理得210x =，5x =5x =代入一次方程，求得514y =-+=-故方程组的解集为{}(5,4)-，故选：D.点睛：本题主要考查了方程组的解集问题.涉及点集的表示方法及列举法..13．B解析：根据元素与集合的关系求解．详解：∵2A ∈，∴12a +=或212a +=，若12a +=，则1a =，此时212a +=，不合题意，舍去，若212a +=，1a =±，其中1a =不合题意．∴1a =-．故选：B.点睛：本题考查元素与集合的关系，解题时要注意检验，是否符合集合的定义．符合集合元素的性质．14．D解析：由题意知a 应为无理数，故a 选D.15．B详解： 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B16．B详解：略17．D详解：试题分析：由题意知，集合，又由元素与集合关系，易知选项D 正确有.故选D.考点：元素与集合关系.18．B解析：首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 详解：A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确. 故选：B点睛：关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.19．B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论. 详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合， 所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A.点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.。

比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。

在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。

本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。

方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。

我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。

•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。

•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。

方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。

•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。

•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。

方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。

在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。

•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。

•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。

方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。

例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。

•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。

•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。

方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。

通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。

•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。

集合的元素个数与集合的基数集合是数学中的基本概念之一，常见于各个学科领域的研究中。

在集合论中，集合的元素个数与集合的基数是重要的概念，本文将对这两个概念进行详细的论述。

一、集合的元素个数集合的元素个数指的是一个集合中包含的元素的数量。

在集合论中，通常用符号“|A|”来表示集合A的元素个数。

下面以一个简单的例子来解释集合的元素个数。

例子：假设有一个集合A，该集合包含了整数1、2和3。

则该集合A的元素个数为3，即|A|=3。

在实际应用中，集合的元素个数常常用于描述某一现象或事物的数量。

比如：一批商品的种类，一场比赛的参赛人数等。

对于集合的元素个数的研究与计算，可以对集合的特性进行进一步的分析和比较。

二、集合的基数集合的基数是指集合中不同元素的个数。

在集合论中，通常用符号“#A”或“card(A)”来表示集合A的基数。

下面以一个简单的例子来解释集合的基数。

例子：假设有一个集合A，该集合包含了整数1、2和3。

则该集合A的基数为3，即#A=3。

集合的基数描述的是一个集合中不同元素的个数，因此基数也可以看作是集合的“大小”。

不同的集合可以有相同的元素个数，但基数不同。

例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5, 6}都包含3个元素，但集合A的基数为3，而集合B的基数也为3。

在实际应用中，基数也可以用于对集合进行分类和比较。

通过比较集合的基数，可以得知各个集合的大小、重要性或特殊性。

三、集合的元素个数与基数的关系集合的元素个数与集合的基数之间有着密切的关系。

当一个集合中的元素没有重复时，集合的元素个数与基数相等。

但是当集合中的元素存在重复时，集合的元素个数与基数不相等。

例如，假设有一个集合A={1, 1, 2, 3}。

该集合中包含了整数1、2和3，但元素1重复了两次。

在这种情况下，集合A的元素个数为4，而基数为3。

因此，元素个数与基数的关系取决于集合中元素的重复情况。

总结起来，集合的元素个数与集合的基数是描述集合特性的重要概念。

专题15集合专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A ，B 满足{}1,2,3A B = ，若A B ≠，且[]&A B ，[]&B A 表示两个不同的“AB 互衬对”，则满足题意的“AB 互衬对”个数为（）A ．9B ．4C ．27D ．8【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当A =∅时，集合B 可以为{1,2,3}；当{1}A =时，集合B 可以为{2,3},{1,2,3}；当{2}A =时，集合B 可以为{1,3},{1,2,3}；当{3}=A 时，集合B 可以为{1,2},{1,2,3}；当{1,2}A =时，集合B 可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；当{1,3}A =时，集合B 可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；当{2,3}A =时，集合B 可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；当{1,2,3}A =时，集合B 可以为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}∅.故满足题意的“AB 互衬对”个数为27.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{A B x x A ⊗=∈∣且}x B ∉，已知集合{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，则A B ⊗=（）A ．{3,2}-B ．{1,1}-C ．{2,3}-D ．{0}【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合{A B xx A ⊗=∈∣且}x B ∉，{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，所以A B ⊗={2,3}-故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{}*,,A B z z xy x A y B ==∈∈∣，设集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则*A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得*A B ，从而确定正确答案.【详解】因为{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，所以{}*3,1,0,1,3A B =--，故*A B 中元素的个数为5.故选：B.4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P ，Q 是两个非空集合，定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，若{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，则P Q ⨯中元素的个数是（）A ．3B ．4C ．12D ．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，且{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，所以()()()()()()()()()()()(){}3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7P Q ⨯=，P Q ⨯中元素的个数是12，故选：C.5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U ，定义一种运算 ，(){}U M N x x M N =∈⋂ ð，若全集U =R ，{}2M x x =≤，{}31N x x =-<<，则M N = （）A ．{}21x x -≤<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}21x x -≤≤【答案】C【分析】解不等式求得集合M ，求得U N ð，根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得{}2{|22}M x x x x =≤=-≤≤，{3U N x x =≤-ð或1}x ≥，则M N = {}12x x ≤≤，故选：C6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G 满足“如果a 、b G ∈，则a b +、a b -、ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）①0是任何数域中的元素；②若数域G 中有非零元素，则2022G ∈；③集合{2,}P xx k k ==∈Z ∣是一个数域；④有理数集Q 是一个数域．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据数域定义逐一验证即可.【详解】由定义可知，a a G -∈，即0是任何数域中的元素，①正确；若域G 中有非零元素a ，则1aG a=∈，所以112G +=∈，123G +=∈，…，120212022G +=∈，②正确；记2,4,a b ==则,a b P ∈，但12a Pb =∉，故③错误；易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.故选：C7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U 是非空数集，若非空集合A ，B 满足以下三个条件，则称(,)A B 为集合U 的一种真分拆，并规定(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆．①A B ⋂=∅；②A B U ⋃=；③A 的元素个数不是A 的元素个数不是B 中的元素．则集合{1,2,3,4,5}U =的真分拆的种数是（）A ．4B ．8C ．10D ．15【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合A 只有一个元素时，B 有四个元素，此时只能是{}{}114,1,2,3,5A B ==；当集合A 有两个元素时，B 有三个元素，此时包括{}{}223,1,2,4,5A B ==、{}{}333,4,2,1,5A B ==、{}{}443,5,2,1,4A B ==，因为(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆，故只有四种真分拆.故选：A8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x Z x =∈-<<，则A B ⋂真子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，而{}34B x Z x =∈-<<，所以{}1,2,3A B = ，因此A B ⋂真子集个数为3217-=，故选：C9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A 同时具有以下三个性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若,x y A ∈，则x y A -∈；（3）若x A ∈且0x ≠，则1A x∈．则称A 为“好集”．已知命题：①集合{}1,0,1-是好集；②对任意一个“好集”A ，若,x y A ∈，则x y A +∈．以下判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为{}{}11,0,1,11,0,1∈--∈-，而{}1121,0,1--=-∉-，所以集合{}1,0,1-不是好集，故①错误；对于②，因为集合A 为“好集”，所以0,0A y y A ∈-=-∈，所以()x y x y A --=+∈，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M ，定义函数1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，对于两个集合M N 、，定义集合，{}()()1M N M N x f x f x ∆=⋅=-∣，已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,16B =，用||M 表示有限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ，||||M A M B ∆+∆的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】先根据定义化简M A ∆，M B ∆，再根据文恩图确定||M A ∆+||M B ∆最小值取法，即得结果.【详解】解：因为1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，所以()(){}()(){}Δ|1|1,1M N M N M N x f x f x x f x f x =⋅=-===-⋃{}|()1,()1M N x f x f x =-=，{}|,U x x M x N =∈∈⋃ð{}|,()()U U U x x M x N M N N M ∈∈= 痧，所以，M A ∆()()U U M A A M = 痧,M B ∆()()U U M B B M = 痧，所以，当()M A B ⋂⋂元素个数最多且M 中不含有A ,B 的元素之外的元素时，||M A ∆+||M B ∆最小，因为{2,4,8}A B = ,所以当{}2,4,8M A B =⋂=时，||M A ∆+||M B ∆最小，为|{6,10}||{1,16}|224+=+=，故选：B11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙件关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A ．15B ．16C ．64D ．128【答案】A【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1-，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A ∈，111A =∈；1A -∈，111A =-∈-；2A ∈，12A ∈；3A ∈，13A ∈；这样所求集合即由1，1-，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115-=，故选:A.12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合{}2,3,4,5M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和（如{}2,3,5A =，可求得和为：()()()2352131516⋅-+⋅-+⋅-=-），则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（）A ．18B ．16C ．-18D ．-16【答案】D【分析】由已知，先求解出集合M 的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由已知，因为{}2,3,4,5M =，那么每个元素在集合M 的所有非空子集分别出现32个，则对于M 的所有非空子集执行乘以()1k-再求和的操作，则这些数的总和为：()()()()4235322131415116⎡⎤⋅-+⋅-+⋅⋅-=-⎣⎦+-.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如{4,6,9}的交替和是9647-+=；而{5}的交替和是5，则集合{1,2,3,4,5,6}M =的所有非空子集的交替和的总和为（）A ．32B ．64C ．80D ．192【答案】D【分析】依次计算集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．【详解】集合{1}的所有非空子集的交替和的总和为1=1S ，集合{1,2}的所有非空子集的交替和的总和为212(21)4S =++-=，集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为3123(21)(32)(31)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和为41234(21)(32)(43)(31)S =++++-+-+-+-(42)(41)+-+-(321)+-+(432)+-+(421)(431)(4321)32+-++-++-+-=，由此猜测集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，证明如下：将集合{1,2,3,,}n 中所有的子集分为两类：第一类，集合中无n ，第二类，集合中有n 这个元素，每类中集合的个数为12n -我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合A 对应着第二类中集合{}A n ，此时这两个集合的交替和为n ，故集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，所以5662192S =⨯=．故选：D ．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，且A 为互斥集，则111a b c++的最大值为（）A ．116B ．1312C ．74D ．4760【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合A ，而要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，从而确定,,a b c ，即可求解【详解】因为{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，所以A 为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5又且A 为互斥集，所以A 为{}{}{}{}{}{}1,2,4,1,2,5,1,3,5,2,3,4,2,4,5,3,4,5，要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，此时{},,1,2,4a b c ∈，不妨令1,2,4a b c ===，则11111171244a b c ++=++=，故选：C15．（2022·上海·高一专题练习）设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可．【详解】解：①中由于{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D ．16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算{=A B x x A -∈且}x B ∉称为集合A 与集合B 的差集；定义集合运算()()A B A B B A ∆=--U 称为集合A 与集合B 的对称差，有以下4个命题：①A B B A∆=∆②()()A B C A B C ∆∆=∆∆③()()()A B C A B A C ∆=∆I I I ④()()()A B C A B A C ∆=∆U U U 则4个命题中是真命题的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，()()()()B A B A A B A B B A A B ∆=--=--=∆ ，①对；对于②，{=A B x x A -∈且}{x B x x A ∉∈且()}()=x A B A A B ∉⋂-⋂，同理()B A B A B -=- ，则()()()()A B A B B A A B A B ∆=--=- ，所以，()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：同理()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 也表示如上图阴影部分区域所示，故()()A B C A B C ∆∆=∆∆，②对；对于③，()()()()A B C A B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ，③对；对于④，如下图所示：所以，()()()A B C A B A C ∆≠∆U U U ，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.二、多选题17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，其中{}0,1,2,3k ∈，记为[k ，即[]{}4,Z k x x n k n ==+∈，以下判断正确的是（）A ．[]20221∈B ．[]33-∈C ．[][][][]0123Z = D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一个类【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A ，B ；推理判断C ，D 作答.【详解】{}0,1,2,3k ∈，[]{|4,Z}k x x n k n ==+∈，202245052=⨯+，即2022[2]∈，而[1][2]=∅ ，因此2022[1]∉，A 不正确；34(1)1-=⨯-+，即3[1]-∈，而[1][3]=∅ ，因此33[]-∉，B 不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即[][][][]()Z 0123⊆⋃⋃⋃，反之，集合[][][][]0123⋃⋃⋃中任一数都是整数，即[][][][]()0123Z ⋃⋃⋃⊆，所以[][][][]0123Z = ，C 正确；,Z a b ∈，不妨令1122124,4,,Z,a n k b n k n n =+=+∈{}12,0,1,2,3k k ∈，则12124()()a b n n k k -=-+-，因[]0a b -∈，于是得120k k -=，即12k k =，因此整数a ，b 属于同一个类，D 正确.故选：CD18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A ．{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 没有最大元素，N 没有最小元素D ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素【答案】ABC【分析】根据戴德金分割的定义可判断A ；举例{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥判断B;结合A 中例子可判断C;假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义判断D.【详解】对于A ，{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，A 正确；对于B,取{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥，符合戴德金分割，M 没有最大元素，N 有一个最小元素，B 正确；对于C ，取{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，M 没有最大元素，N 没有最小元素，C 正确；对于D ，假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义，必有m n <，则无法满足Q M N ⋃=，D 错误，故选：ABC .19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，以下结论正确的是（）A ．集合{}0A ＝为闭集合；B ．集合{}42024A =--,，，，为闭集合；C ．集合{}3|A n n k k =∈Z ＝，为闭集合；D ．若集合12A A 、为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断a b A +∈,且a b A -∈是否满足即可得到结论.【详解】对于A ：按照闭集合的定义，000,000,0.A +=-=∈故A 正确;对于B ：当4,2a b =-=-时,()()426a b A +=-+-=-∉.故{}42024A =--,，，，不是闭集合.故B 错误;对于C ：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故{}3|A n n k k =∈Z ＝，是闭集合.故C 正确;对于D ：假设{}1|3,Z A n n k k ==∈,{}2|5,Z A n n k k ==∈.不妨取123,5A A ∈∈,但是,12358A A +=∉⋃,则12A A ⋃不是闭集合.故D 错误.故选：AC三、填空题20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合{}1,2,3,I A I =⊆，若把集合M A I ⋃=的集合M 叫做集合A 的配集，则{}1,2A =的配集有___________个.【答案】4【分析】直接按定义求出符合条件的集合M ，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M 可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个.故答案为：4.21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合{}()123,,,,0,1,2,3,n i A a a a a a i n =≥= ，其所有元素的几何平均数记为()E A ，即()E A =．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ；②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“保均值真子集”，据此，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有__个．【答案】6【分析】求出()4E A =，由此利用列举法能求出集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”的个数．【详解】因为集合{}1,2,4,8,16A =，则()4E A ==，所以，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有：{}4、{}1,16、{}2,8、{}1,4,16、{}2,4,8，{}1,2,8,16，共6个.故答案为：6.22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合{}1,2,3,,n S n = ，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，则5S 的所有奇子集的容量之和为______.【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】当5n =时，{}51,2,3,4,5S =，含有一个元素的奇子集为{}{}{}1,3,5，含有两个元素的奇子集为{}{}{}1,3,1,5,3,5，含有三个元素的奇子集为{}1,3,5，故所有奇子集的容量之和为13513153513547+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.故答案为：47.23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，集合{}1235T =,,,中的“孤立元”是___________；对给定的集合{}123456S =,,,,,，由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．【答案】56【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.【详解】解：①对于1，112T +=∈，则1不是“孤立元”；对于2，211T -=∈，且213T +=∈，则2不是“孤立元”；对于3，312T -=∈，则3不是“孤立元”；对于5，514T -=∉，且516T +=∉，则5是“孤立元”；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，所以由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有{}1,2,3,4，{}1,2,4,5，{}1,2,5,6，{}2,3,4,5，{}2,3,5,6，{}3,4,5,6，共6个，故答案为：5；6.24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有a F b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1b F b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是的倍数，当6,3a b ==时，623a Pb ==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，a F b ∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：325．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合A ，B 满足：（1）A B =Q ，A B ⋂=∅；（2）1x A ∀∈，若2Q x ∈且21x x <，则2x A ∈；（3）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈.给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数；④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】②③【分析】根据集合中元素的特点进行判断A ，B 的关系．【详解】解：依题意可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <；如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x ≥，则B 有最小数为x ；如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x ≤；1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确；故答案为：②③．26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用()Card A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),,Card A Card B Card A Card B A B Card B Card A Card A Card B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，若{}2,3A =，()(){}2210B x x mx x mx =+++=，且1A B = ，若B 中元素取最少个数时m =______.若B 中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B =______.【答案】0{}2,1,0--或{}0,1,2【分析】由题意，分情况求得()Card B ，可得方程根的情况，可得答案．【详解】由题意，可知()2Card A =，当()()Card B Card A >时，()()1A B Card B Card A =-= ，则()3Card B =；当()()Card A Card B ≥时，()()1A B Card A Card B =-= ，则()1Card B =；故B 中元素最少个数为1，此时，方程()()2210x mx x mx +++=存在唯一根，由2()x mx x x m +=+知该方程必有一个根为0，故0m -=，即0m =；同时，也可知B 中元素最多个数为3，则方程()()2210x mx x mx +++=存在三个根，则0m ≠，此时，20x mx +=必定存在两个不等实根10x =和2x m =-，则方程210x mx ++=存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为m -，①当210x mx ++=存在唯一实根时，由240m ∆=-=得2m =±，当m ＝2时，方程为2210x x ++=，其根31x =-，同时22x =-，故此时{}0,2,1B =--；当m ＝－2时，方程为2210x x -+=，其根31x =，同时22x =，故此时{}0,2,1B =；②当210x mx ++=存在两个不相等的实根但其中一个为m -时，()()210m m m -+⋅-+=，不成立；综上，B 中元素最多个数为3时，{}0,2,1B =--或{}0,2,1．故答案为：0；{}0,2,1--或{}0,2,1．【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合二次方程的解法，可得答案．27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合{|}x a x b ≤≤，我们把b a -称为该集合的长度，设集合2{|1927},{|(21094)(1094)0}A x a x a B x x b x b b =≤≤+=--+-≤，且,A B 都是集合{|02022}U x x =≤≤的子集，则集合A B ⋂的长度的最小值是_______．【答案】999【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.【详解】()(){}{}221094109401094B xx b x b b x b x b =--+-≤=-≤≤∣，因为,A B 都是集合{}02022U xx =≤≤∣的子集，所以019272022001094109420222022a a ab b b ≤⎧⎪+≤≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎪≤⎩，所以{}10941927A B x b x a ⋂=-≤≤+或{}A B x a x b ⋂=≤≤，所以A B ⋂的长度为1927(1094)3021a b a b +--=-+或b a -，所以当0,2022a b ==时，或95,1094a b ==，A B ⋂的长度的最小值为999故答案为：99928．（2023·全国·高一专题练习）设S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）(){}T f x x S =∈；（ⅱ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①N A =，B 为正整数集；②{}13A x x =-≤≤，{}810B x x =-≤≤；③{}01A x x =<<，R B =．其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】①②③【分析】利用两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S 到T 的函数进行判断即可【详解】条件（ⅰ）（ⅱ）说明S 到T 是一个一一映射，且函数为单调递增函数.对于①，可拟合函数1()y x x N =+∈满足上述两个条件，故是保序同构；对于②，可拟合函数8,(1)5(1),(13)2x y x x -=-⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩满足上述两个条件，故是保序同构；对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；故答案为：①②③四、解答题29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M 包含元素1-；（2）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（3）根据定义确定M 包含元素y -，即得x y M +∈结论；根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得xy M ∈结论．【详解】（1）1M -∈正确，证明如下：由①知0M ∈，1M∈由②可得011M -=-∈；（2）证明：由（1）知1M -∈，又1M∈∴()112M --=∈，()213M--=∈由③得13M ∈；（3）证明：由①知0M∈由题知y M ∈，∴由②可得0y y M-=-∈又∵x M ∈，∴()x y M --∈，即x y M +∈；证明：由x M ∈，y M ∈，当0x =时，则0=∈xy M ；当1x =时，则=∈xy y M ；当0x ≠且1x ≠时，由②可得1x M -∈，再由③可得1M x∈，11M x ∈-∴111M x x -∈-即()11M x x ∈-，∴()1x x M -∈即2x x M -∈，∴2x M ∈即当x M ∈，2x M∈又因为当,x y M ∈，x y M +∈，∴112M x x x +=∈，∴2M x∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈∴()22222x y x y xy M ++-=∈．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A 是实数集的非空子集，称集合{},,B u v u v A u v =+∈≠且为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值．【答案】(1){}5,7,8(2)7【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解.【详解】（1）根据题意，{}2,3,5A =，235,257,358+=+=+=，{}5,7,8B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，12131415253545a a a a a a a a a a a a a a ∴+<+<+<+<+<+<+所以B 中元素个数大于等于7个，所以生成集合B 中元素个数最小值为7.。

15的正约数组成的集合描述法一、引言正约数是指一个数除了1和它本身之外的所有约数，而正约数组成的集合即为由正约数组成的集合。

本文将以15的正约数组成的集合为例，探讨其集合描述法及相关性质。

二、集合描述法15的正约数组成的集合可以用集合描述法表示为：{x | x是15的正约数}。

其中，x代表集合中的元素，竖线“|”表示“使得”的意思，即“x是15的正约数”。

三、集合元素根据15的因数，可以列举出15的正约数组成的集合的元素：{1, 3, 5, 15}。

四、集合性质1. 集合中的元素都是正整数，因为正约数是指除了1和本身之外的所有约数；2. 集合中的元素都是15的约数，即集合中的元素可以整除15；3. 集合中的元素都小于等于15，因为15的正约数不能大于15；4. 集合中的元素两两不相同，即集合中不会出现重复的元素。

五、集合运算1. 并集：对于两个集合A和B，它们的并集A∪B是指包含A和B中所有元素的集合。

对于15的正约数组成的集合，与其他集合的并集运算结果如下：- 与{1, 2, 3}的并集：{1, 2, 3, 5, 15}；- 与{2, 3, 4}的并集：{1, 2, 3, 4, 5, 15}；- 与{3, 4, 5}的并集：{1, 3, 4, 5, 15}。

2. 交集：对于两个集合A和B，它们的交集A∩B是指包含A和B 中共有元素的集合。

对于15的正约数组成的集合，与其他集合的交集运算结果如下：- 与{2, 3, 4}的交集：{3}；- 与{3, 4, 5}的交集：{3, 5}；- 与{4, 5, 6}的交集：{5}。

3. 差集：对于两个集合A和B，A-B是指包含A中有而B中没有的元素的集合。

对于15的正约数组成的集合，与其他集合的差集运算结果如下：- 与{2, 3, 4}的差集：{1, 5, 15}；- 与{3, 4, 5}的差集：{1, 15}；- 与{4, 5, 6}的差集：{1, 3, 15}。

1.1 集合的概念1．下列说法正确的有（ ）①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②*0N ∈；③集合{}2| 1 y y x =-与集合(){}2,| 1 x y y x =-是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：A解析：根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．详解：对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N *，错误；对于③，集合{}2|1{|1}y y x y y =-=≥-是数集，集合（x ，y ）|y=x 2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选A ．点睛：本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．2．设集合{|4},M x x a =≥= ）A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉答案：B 解析：首先确定是元素与集合的关系，然后根据4的大小关系即可完成判断. 详解： 因为4>a M ∉，故选：B.点睛：本题考查元素与集合的关系，难度较易.元素与集合的关系只有两种：属于和不属于，集合与集合之间不存在属于关系.3．下列能构成集合的是（ ）A ．中央电视台著名的节目主持人B ．我市跑得快的汽车C ．上海市所有的中学生D ．香港的高楼答案：C解析：根据集合的定义可直接确定结果.详解：构成集合的元素具有确定性 ,,A B D ∴中没有明确标准，不符合集合定义，C 正确故选：C点睛：本题考查集合的定义，属于基础题.4．集合{}|(31)(4)0x Z x x ∈--=可化简为（ ）A ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{}4 C ．1,43⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,43⎧⎫--⎨⎬⎩⎭答案：B解析：通过解方程，根据Z 的含义进行求解即可.详解：解方程(31)(4)0x x --=,得121,43x x ==，因为x ∈Z ，所以{}|(31)(4)0x Z x x ∈--={}4=，故选：B5．下列各组对象中能构成集合的是（ ）A B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品答案：C解析：根据集合中元素的确定性，即可得解.详解：选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.点睛：本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.6．设集合A=x|x 2–4≤0}，B=x|2x+a≤0}，且A∩B=x|–2≤x≤1}，则a=（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.详解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-.故选：B.点睛：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是①{}3,1M =-，(){}3,1P =-；②(){}3,1M =，(){}1,3P =； ③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-； ④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-. A ．①B ．②C ．③D ．④答案：C 解析：对四组集合逐一分析，可选出答案.详解：对于①，集合M 表示数集，集合P 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合. 故选：C.点睛：本题考查相同集合的判断，属于基础题.8．已知集合{21,}A xx x Z =-<≤∈∣，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：根据x ∈Z 求得集合A ，从而判定出集合中元素个数.详解：{21,}{1,0,1}A x x x Z =-<≤∈=-∣，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D.点睛：本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.9．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9答案：B 解析：根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 详解：因为x A ∈，y A ，x y∈N ， 所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.点睛：本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.10．下列对象能构成集合的是（ ）A ．2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目B ．我国从1991~2016年发射的所有人造卫星C ．2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员D ．5，4，4，7答案：B解析：对选项A ，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项B ,满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；对选项C ,“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项D ，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.详解：对选项A ，2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项B ,我国从1991~2016年发射的所有人造卫星，满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；对选项C ,2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员，“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项D ，5，4，4，7，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.故选：B点睛：本题主要考查集合的元素，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知集合2|10A x x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈②{1}A -∈③A ∅∈④{1,1}A -⊆A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：先求出集合A 中的元素，然后逐项分析即可.详解：因为{}2|10{1,1}A x x =-==-，则1A ∈，所以①正确；{1}A -⊆，所以②不正确；A ∅⊆，所以③不正确；{1,1}A -⊆，所以④正确，因此，正确的式子有2个.故选：B.12．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可以表示为( ) A ．(x ，y)|31x y x y +=⎧⎨-=-⎩ } B ．(x ，y)|12x y =⎧⎨=⎩} C ．1,2}D ．(1,2)}答案：C 解析：根据集合元素的特征进行判断求解可得结论．详解：由于方程组的解集中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，所以A,B,D 符合题意，C 不符合题意．故选C ．点睛：本题考查集合元素的特征，解题时要注意方程组的解的特点，属于基础题．13．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A∩B=A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅答案：C解析：本题借助于数轴，根据交集的定义可得．详解：由题知，(1,2)A B =-，故选C ．点睛：本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．14．有下列说法：（1）与表示同一个集合； （2）由组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1； （3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对答案：C详解：试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．考点：1元素与集合的关系；2集合元素的特性．15．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥ 答案：C详解： 试题分析：因为{}21log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元素，所以4216k >=，故选C.考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.16．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}0B ．{8x x >∣，且}5x <C ．{}210x x ∈-=N ∣D ．{}4x x >答案：B解析：根据空集的定义判断．详解：A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B ．17．下列说法中正确的有（ ）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R 表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：利用集合的元素的特征判断.详解：①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R 表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B18．已知集合M=1,2,3,4}，N=1,3,6}，P=M∩N，则P 的子集共有（ ）个.A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B解析：先求P M N =⋂,根据子集个数公式计算结果.详解：集合M=1,2,3,4}，N=1,3,6}，{}1,3P M N ∴==，共2个元素， 所以P 的子集共有224=个.故选：B19．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A ⋃答案：B解析：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.详解：由{}0,1,2A =，则0A ∈，{}1A ⊆故选：B20．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为 A ．12-B ．0或12C ．1-D ．1-或12-答案：D 解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解.详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解， 当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意；当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-，所以1a =-或12a =-.故选:D.点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题.。

集合中元素的个数问题
集合元素个数的问题主要取决于集合的性质和表示方式。

以下是几种常见的求解集合元素个数的方法：
1.直接数：对于有限集合，可以直接数出其中的元素个数。

2.使用数学定义或性质：无限集合的元素个数：对于无限集
合，由于无法直接数出其中的元素个数，可以使用数学定义或性质推导出集合的元素个数。

3.利用集合的性质：有些集合具有特定的性质，可以通过这
些性质来求解元素个数。

4.利用集合的表示法：集合可以通过不同的表示法进行描述，
例如列表、集合符号表示法、集合的定义性描述等。

针对不同的表示法，可以采用不同的方法来求解元素个数。

例如，利用集合符号表示法{x x 0} 表示的是大于0的实数集合，可以通过定义集合的性质推导出元素个数。

综上所述，求解集合元素个数的方法主要包括直接数出、利用集合的性质、以及根据集合的表示法来求解。

內容{2,4,5,9,11}4,6,}∈}x Z∈≥,y R y集合的元素個數表示法：集合A的元素個數記為的一個元素，則寫為：若集合B的元素皆為集合(2) {正，反} 註：集合的元素不見得是數字解：{2,3,5}A =(二) 有限集合、無限集合，可數集點，不可數集合(1)可數集合的意義：(a) 我們可以看出元素2為第1個元素，元素4為第2個元素，元素6為第3個元素，…，以此類推。

(b) 由此規律可以推得，任一元素，比如說246為第123個元素; 同時第312個元素為624。

(c)這樣的規律就是找到到了「偶數集合」與「自然數集合」間的「一對一關係」，其對應關係如下：2，4，6，8，10，12，…\1，2，3，4， 5， 6，…(2)較正式的証明：我們可到一個「一對一函數」，:f A N →，符合()2x f x =，即對每個A x ∈,可找到N x ∈2，所以「偶數集合」為一個可數函數。

(即每個A x ∈，為集合中的第2x 個)(1) 將集合新排列成{0,1,-1,2,-2,3,-3……}此時，每個元素為第幾個的對應關如下：整數集 0 1 -1 2 -2 3 -3 …次序(自然數集) 1 2 3 4 5 6 7 …依照這個規律，不難看出，正數x 為第2x 個，負數 -x 為第2x+1個(2)寫的正式一點，就是：我們可找到一個「1-1函數」:f Z N →，符合2if 0()21if 0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩一次函數為「1-1函數」，所以整數集合Z 為可數集合提示：將Q +寫為{1,,,,,,,,,,,,}21321432154，這個數列是有規律的，且包含了所有的正有理數。

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A B ⋃=(3) {1,2,3}A B -=(4) {7,8,9}B A -=(5) ()()A B B A -⋂-=∅所以兩集合互斥。

(6) ()(){4,5,6}A B A B A B ⋂⋂⋃=⋂=≠∅所以兩集合不互斥。