宁夏银川一中2012届高三第三次月考理科数学试卷(附答案)

宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△AB C是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2015===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b 1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒b c+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于根据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n=|b n﹣a5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．又g′（x）=x﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．- 21 -。

2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}A x y x N==∈，则集合A 的子集个数为（）A.8B.16C.4D.7【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.【详解】因为{}{}{}420,24,x x A x y x N x x N x x N==∈=-≥∈=≤∈{}{}2,0,1,2x x x N =≤∈=，所以集合A 的子集个数为328=.故选：A.【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，属于基础题型.2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为i - B.||2z = C.2z 为纯虚数D.z 的共轭复数为1i--【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知复数，再由虚部的定义，模长计算方式与共轭复数定义分别判定即可.【详解】由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-．对于A ，由1z i =-得复数z 的虚部为1-，所以A 不正确．对于B，1||||i z -==B 不正确．对于C ，由于22(1)2z i i =-=-，所以2z 为纯虚数，所以C 正确．对于D ,1z i =-的共轭复数为1z i =+，所以D 不正确．故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了虚部的定义，求复数的模与共轭复数，属于基础题.3.已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A.a b c <<B.c a b <<C.b c a <<D.b a c<<【答案】D 【解析】【分析】根据()lg f x x =，()0.2xg x =，()cos h x x =的单调性，分别判断,,a b c 的大概范围，即可得出大小.【详解】由题知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，因为()lg f x x =在定义域内单调递增，所以()()1510f f >，即lg15lg101c =>=，因为()0.2xg x =在定义域内单调递减，所以()102g g ⎛⎫<⎪⎝⎭，即0.5000.20.21a <=<=，因为()cos h x x =在()0,π上单调递减，所以()π22h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即πcos2cos 02b =<=，综上：01b a c <<<<.故选：D4.下列说法正确的个数为（）①命题“ABC 中，若A B ∠=∠，则sin sin A B ∠=∠”的逆命题是真命题②若命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤③“命题p q ∧为真命题”是“命题p ⌝为假命题”的充要条件④设,a b 均为非零向量，则“0a b ⋅> ”是“a 与b的夹角为锐角”的必要不充分条件A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】①由正弦定理判断.②根据全称命题的否定是特称命题判断.③根据“命题p q ∧为真命题”则p ，q 都为真命题判断.④根据cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，当2πθ=时判断.【详解】①命题“ABC 中，若A B ∠=∠，则sin sin A B ∠=∠”的逆命题是：命题“ABC 中，若sin sin A B ∠=∠，则A B ∠=∠”，若sin sin A B ∠=∠，由正弦定理得a b =，所以A B ∠=∠，是真命题，故正确.②因为全称命题的否定是特称命题，故正确.③因为“命题p q ∧为真命题”，则p ，q 都为真命题，则“命题p ⌝为假命题”，故充分，因为“命题p ⌝为假命题”，说明p 为真命题，但q 的真假不确定，则p q ∧的真假不确定，故不必要，故错误.④因为cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> ，故必要，当0a b ⋅> 时，2πθ=满足条件，但不是锐角，故不充分，故必要不充分，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题判断真假，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由三角形面积为12，312022|33x ==，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率6.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A.1021B.919C.1123D.2021【答案】A 【解析】【分析】根据流程图模拟执行程序即得.【详解】()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，输入1,0n S ==，进入循环：11101,112101323S n ⎛⎫=+=-=+=< ⎪⨯⎝⎭，进入循环：1111111111111,2131023352323525S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-=+=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进入循环；1111111111111,3141025572525727S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-=+=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进入循环； 1111111,91102171719219S n ⎛⎫⎛⎫=-+=-=+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，进入循环；111111011,1011110219192122121S n ⎛⎫⎛⎫=-+=-==+=> ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，结束循环，所以输出的1021S =.故选：A.7.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若11AA AC BC ===，则异面直线1,A C AB 所成角的大小是（）A.6π B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】连接1B C ，则11B A C ∠即为异面直线1,A C AB 所成角，再分别求出11B AC 的边长即可求出11B A C ∠，得到答案【详解】如图所示，连接1B C11A B AB // ,11B A C ∴∠即为异面直线1,A C AB 所成角11AA AC BC === ，112,2AC B C ∴==又ACBC ⊥，112AB A B ∴==在11B AC 中，11112A B AC B C === 11B A C ∴ 是正三角形11π3B AC ∴∠=故选：C8.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是56π，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（）米．A.526B.524C.534D.536【答案】C 【解析】【分析】由已知结合弧长公式可求AD ，进而可得答案．【详解】根据题意作出下图，弧AC 的长为512π，5121.253AOC ππ∠==，所以5322 1.25sin 34AB AD π==⨯⋅=．故选：C ．9.设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（）A.（0，1]B.（0，1]∪[3，+∞）C.（0，1]∪[9，+∞）D.[9，+∞）【答案】C 【解析】【分析】可得当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】若椭圆焦点在x 轴上，即03m <<时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，则tan tan 60AMO∠=≥= ，解得01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即3m >时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，则tan tan 60AMO ∠=≥= ，解得9m ≥；综上，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ 故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ .10.()()()sin ,0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（）A.若圆C 的半径为5π12，则π()23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；B.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称；D.函数()f x 的最小正周期是10π9.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定D 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CMOM OC =+，求得A 的值，可判定A 正确.【详解】由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以D 不正确；又由2π2Tω==，且π(06f -=，即ππsin[2(]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,123(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12(3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π30sin32f A A ==，即32OM A =,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()1223A =+，解得3π6A =，所以()f x 的解析式为()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以A 正确.故选：A.11.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，AC 与EF 交于点G ，已知PEF !是CEF △绕EF 旋转过程中的一个图形﹐且P ∉平面ABCD .给出下列结论：①//BD 平面PEF ；②平面PAC ⊥平面ABCD ；③“直线PF ⊥直线AC ”始终不成立.其中所有正确结论的序号为（）A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】B 【解析】【分析】利用线面平行的判定判断①；利用面面垂直的判定推理判断②；举例说明判断③.【详解】菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，则//EF BD ，而EF ⊂平面PEF ，BD ⊄平面PEF ，因此//BD 平面PEF ，①正确；连接PG ，由BD AC ⊥，得,EF AG EF PG ⊥⊥，而,,AG PG G AG PG =⊂ 平面PAC ，则EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面ABCD ，因此平面PAC ⊥平面ABCD ，②正确；显然PGA ∠是二面角P EF A --的平面角，PEF !由CEF △绕EF 旋转过程中，PGA ∠从180 逐渐减小到0 （不包含180 和0 ），当90PGA ∠= 时，AG PG ⊥，,,PG EF G PG EF =⊂ 平面PEF ，则AG ⊥平面PEF ，而PF ⊂平面PEF ，于是PF AG ⊥，③错误，所以所有正确结论的序号为①②.故选：B12.已知对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()e 11ln 0kxkx x x +-+>恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.()e,+∞ B.1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为()e 1(1)ln kxkx x x +>+，所以()e 1ln e(1)ln kxkxx x +>+①，令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，设1()()1ln g x f x x x'==++，所以22111()x g x x x x-'=-+=，当01x <<时，()0g x '<，当x >1时，()0g x '>，所以()f x '在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()()12f x f ''≥=，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，因为①式可化为()e()kxf f x >，所以e kx x >，所以ln xk x>，令ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在(0,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，所以max 1()(e)e h x h ==，所以1ek >，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-= 故1λ=.故答案为：114.过点(4,0)-作直线L 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果8AB =，则L 的方程为_____.【答案】4x =-或512200x y ++=【解析】【分析】首先根据题意得到圆心(1,2)-，半径等于5，根据弦长公式得到圆心到直线的距离等于3，再分别讨论斜率是否存在，求直线方程即可.【详解】圆2224200xy x y ++--=，即22(1)(2)25x y ++-=，所以圆心(1,2)-，半径等于5，设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式得：8=，所以3d =.当直线L 的斜率不存在时，方程为4x =-，满足条件.当直线L 的斜率存在时，设斜率等于k ，直线L 的方程为0(4)y k x -=+，即40kx y k -+=，由圆心到直线的距离等于3得：3=，解得512k =-，直线L 的方程为512200x y ++=.综上，满足条件的直线L 的方程为4x =-或512200x y ++=，故答案为：4x =-或512200x y ++=【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，弦长公式为解题的关键，属于中档题.15.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第2层有3个球,第3层有6个球,…,则第10层球的个数______.【答案】55【解析】【分析】设第n 层的个数为n a ,根据题意可得11n n a a n +-=+,然后利用等差数列求和即可求解.【详解】设第n 层的个数为n a ,根据题意可得11n n a a n +-=+,所以()()()()101099887211a a a a a a a a a a =-+-+-+-+ ()10101109821552⨯+=+++++== ,故答案为：55.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.【答案】332【解析】【分析】由正弦定理可得1sin BD B =、1sin DC C =，即有113sin sin B C +=，而sin sin AB AC C B==可得32AB AC AC AB +=⋅，结合余弦定理求AC AB ⋅，再应用三角形面积公式求ABC 的面积即可.【详解】∴由正弦定理，sin sin 6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B B π=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C C π=⋅=，而3BC =，∴113sin sin B C+=，∵sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C AB =，123sin B AC =，∴112AC AB +=，即2AB AC AC AB +=⋅，又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅，∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去），∴133sin 22ABC S AC AB BAC =⋅⋅∠=.故答案为：332.【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求AC AB ⋅，根据三角形面积公式求面积.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析；()2413nn T =-【解析】【分析】（1）利用等差数列的求和公式及通项公式列方程求解即可；（2）先通过（1）求出数列{}n b 的通项公式，再通过证明1n nb b +为定值可得数列{}n b 是等比数列，最后利用等比数列的求和公式求和即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，2a 是1a 和5a 的等比中项，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+①，又5151025S a d =+=②，由①②得1a 1,d 2==，21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）可得212n n b -=，21121242n n n n b b ++-∴==，又12b =故数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列，()()214241143n nn T -∴==--.18.在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F-AE-P 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）先证明PA CD ⊥，然后可证明CD ⊥平面PAD ，从而得证面面垂直；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以,,AM AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求得二面角．【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．又因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，,AM AD ⊂平面ABCD ，所以PA AM ⊥，PA AD ⊥．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,．因为E 为PD 的中点，所以()0,1,1E ．所以(0,1,1)AE = ，(2,2,2)PC =-，(0,0,2)AP =uu u r ，所以1222(,,3333PF PC ==- ，所以224(,,)333AF AP PF =+= ．设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则02240333n AE y z n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =，则1y =-，=1x -．于是(1,1,1)n =-- ．又因为平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)p = ，所以3cos ,3||||p n n p p n ⋅〈〉==-．由题知，二面角F AE P --为锐角，所以其余弦值为3．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，证明面面垂直的关键是掌握面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系用向量法求二面角是立体几何中求空间角的常用方法，此方法用计算代替证明，考查学生的运算求解能力．19.移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日，lpsosChina 针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄段人数类型[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60使用移动支付45402515不使用移动支付102045（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[)40,50之间的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）75199；（2）分布列见解析，35.【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求解.（2）利用超几何分布的概率计算公式即可求解.【详解】（1）记事件A ：第1次抽到的人使用移动支付，事件B ：第2次抽到的人不使用移动支付，所以()()()1257575125199199n AB P B A n A ⨯===⨯.（2）在年龄段[)40,50中抽取的人数为25255125⨯=，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以()320325570115C P X C ===，()2120532519146C C P X C ===，()122053252223C C P X C ===，()0320532513230C C P X C ===，则X 的分布列为：X0123P5711519462231230故()571921693012311546232301155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.20.已知拋物线2:2(0)C ypx p =>，焦点为F ，点()()004,0M y y >在抛物线C 上，且5MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，点,,M A B 中任意两点不重合，且0MA MB ⋅=，判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）24y x=（2）直线AB 过定点，定点坐标为(8,4)-【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解即可；（2）由题意可知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为x my b =+，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量数量积的坐标表示求解即可.【小问1详解】因为点()04,M y 在抛物线C 上，且M 点到焦点F 的距离5MF =，所以452p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =【小问2详解】由（1）得M 点坐标为(4,4)，由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB 为x my b =+，联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，22(4)41(4)16160m b m b ∆=--⨯⨯-=+>，即20m b +>，124y y m +=，124y y b =-，所以21212()242x x m y y b m b +=++=+，221212()16y y x x b ==，因为11(4,4)MA x y =-- ，22(4,4)MB x y =--，所以121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()32MA MB x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++22224(42)44432161216320b m b b m b m b m =-+--⨯+=---+=，所以22123616164b b m m -+=++即22(6)(42)b m -=+，当6b -与42m +同号时，642b m -=+即48b m =+，此时22248(2)40m b m m m +=++=++>，所以直线AB 方程48(4)8x my m m y =++=++过定点(8,4)-，当6b -与42m +异号时，642b m -=+即44b m =-+，此时22244(2)0m b m m m +=-+=-≥，直线AB 方程44(4)4x my m m y =-+=-+过定点(4,4)与点,,M A B 中任意两点不重合矛盾；故直线AB 过定点，定点坐标为(8,4)-.21.已知函数()1()2ln f x a x x a x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个[]01,e x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）440x y --=（2）答案见详解（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当2a =时，可得()10f =，()12f '=，根据导数的几何意义结合直线的点斜式可求；（2）分类讨论,a ∆的符号，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解；（3）不等式等价于存在[]01,e x ∈，002ln x a x >，只需min2ln x a x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()2ln x F x x =，[]1,e x ∈，利用导数求出函数()F x 的最小值即可得出答案.【小问1详解】由题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，当2a =时，则1()22ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22222()x x f x x'-+=，可得()10f =，()12f '=，即切点坐标为()1,0，切线斜率2k =，所以切线方程为()021y x -=-，即220x y --=．【小问2详解】由（1）可知：222()ax x af x x -+'=，（ⅰ）当0a >时，对于方程220ax x a -+=，则244a ∆=-，①若01a <<，则2440a ∆=->，可知方程220ax x a-+=有两个不相等的实数根1a，11a a+，且110a a-<<，令()0f x '>，解得11a x a <或11a x a +>；令()0f x '<，解得1111a a x a a+<<；可知函数()f x 的单调递增区间为110,,a a ⎛⎛⎫-++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为11a a ⎛-+⎝⎭；②若1a ≥，则2440a ∆=-≤，可知220ax x a -+≥在()0,∞+上恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；（ⅱ）当0a ≤时，可知220ax x a -+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；综上所述：若01a <<，函数()f x 的单调递增区间为11110,,a a ⎛⎛⎫++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为1111a a ⎛-+⎝⎭；若1a ≥，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；若0a ≤，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无递增区间.【小问3详解】因为存在一个[]01,e x ∈，使得()()00f x g x >，则002ln ax x >，等价于02ln x a x >，令()2ln x F x x =，[]1,e x ∈，则()()221ln x F x x-'=，当[]1,e x ∈时，()0F x '≥，可知()F x 在[]1,e 上单调递增，则()()10F x F ≥=，可得0a >，所以实数a 的取值范围()0,∞+.【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4π3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线()π03θρ=≥与曲线1C 交于点A ，射线()06πp θ=≥与曲线2C 交于点B ，求AOB 的面积．【答案】（1）2ρ=，[]0,πθ∈80y +-=（2）2【解析】【分析】（1）先将1C 化为普通方程，再根据极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；先利用两角和的正弦公式化简整理2C ，再结合极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；（2）先求得2,3πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭和π4,6B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后结合三角形的面积公式以及点的极坐标的几何意义即可求解.【小问1详解】由题意得：1C 的普通方程为()2204y x y +=≥cos ,sin x y ρθρθ== 1C ∴的极坐标方程为2ρ=，[]0,πθ∈.由sin 4π3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13sin cos 422ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭134022y x ∴+-=即2C80y +-=．【小问2详解】射线()π03θρ=≥与曲线1C 交点A 的极坐标为2,3πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭由π 6πsin 43θρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得4ρ=，6π4,B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭AOB ∴ 的面积为124sin 2π2π36AOB S ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭△．[选修4—5：不等式选讲]23.已知关于x 的函数()223(R)f x x x x =-++∈.（1）求关于x 的不等式()7f x ≥的解集.（2）若函数()f x 的最小值为m ､且实数a ，b 满足222a b m +=，求2a b +的最大值.【答案】（1）{2x x ≤-或}2x ≥（2）【解析】【分析】（1）写出()f x 的分段形式，分类讨论，求出不等式的解集；（2）利用（1）中分段函数的单调性求出4m =，设2cos ,a b θθ==，[]0,2πθ∈，利用辅助角公式求出2a b +的最值.【小问1详解】31,3()2235,3131,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，317x --≥，解得：83x ≤-，与3x <-取交集得：3x <-，当31x -<<时，57x -+≥，解得：2x ≤-，与31x -<<取交集得：32x -<≤-，当1x >时，317x +≥，解得：2x ≥，与1x >取交集得：2x ≥，综上：不等式()7f x ≥的解集为{2x x ≤-或}2x ≥；【小问2详解】()f x 为连续函数，且当1x ≤时，()f x 单调递减，当1x >时，()f x 单调递增，故当1x =时，()f x 取得最小值，()()min 14f x f ==，则2224a b +=，设2cos ,a b θθ==，[]0,2πθ∈，则()24cos a b θθθϕ+=+=+，其中122cos ,sin 33ϕϕ==，当()sin 1θϕ+=时，2a b +取得最大值为。

1. (浙江省杭州市2012届高三第二次教学质量检测数学（理）试题2012.4)数列21111231{},2,()(*),555,5n n n n n n n a a a a n N S a a a a -+=+=∈=++++ 中则65n n nS a n-= ．12. (浙江省名校新高考研究联盟2012届高三第二次联考试题数学文)在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+*()n N ∈,则数列{}n a 的通项=n a ．1222 2n nn n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数3. (浙江省宁波市鄞州区2012届高三5月适应性考试题数学文) 已知数列{}n a ，对任意的,p q N *∈满足p q p q a a a +=⋅，且11a =-，那么9a 等于 ． -14. (浙江省五校2012届高三第二次联考试题word 版数学（文）试题)已知数列{}n a ，22n a n n λ=-+，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）DA. (],3-∞B. (],4-∞C. (),5-∞D. (),6-∞5. (宁夏银川一中2012届高三第三次模拟考试 数学（理）)已知有穷数列A ：na a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是A.34 B. 12C. 13D. 0【答案】A6. (辽宁省大连市庄河六高中2011-2012学年高二下学期期中考试试题（数学理）)在数列{}n a 中，若11a =，1130n n n n a a a a --+-=，（2,n n N *≥∈）,则 n a =A.213n + B. 23n + C. 121n - D. 132n - 【答案】D重庆市2012（春）高三考前模拟测试数学试题（理科）7．若数列1221{}:1,2,(3),n n n n a a a a a a n --===≥满足则2012a 的值为 CA ．1B ．12C ．2D ．22012玉溪一中高2013届下学期期中考试高二数学（文理科) 3.数列}{n a 的前n 项和,2n S n =则5a 的值是A. 9B. 10 C 16 D. 25 A甘肃兰州一中11-12学年度下学期高一期中考试14. 观察下列等式：332333233332123,1236,123410+=++=+++=根据以上规 律：第5个等式为____________________________________________________________. 【答案】333333212345621+++++=江西省重点中学盟校2012届高三第二次联考试卷理科数学 13、下表给出一个“直角三角形数阵”41 41,21163,83,43 ……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为83),,,(a N j i j i a ij 则+∈≥等于 .【答案】21江西师大附中2012届高三第三次模拟考试 数学理 10．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++ 成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列；② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列． 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C上海市浦东新区2012届高三第三次模拟考试（2012浦东三模）理科数学8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n -上海市徐汇区2012届高三第二次模拟 数学理 8、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式为n a = .*()n N ∈8．12n -南师大附中2011届高三第四次模拟考试14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1352n n n ka a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且na 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为___1或5___.山东省菏泽学院附中2012届高三下学期5月高考冲刺试题（数学理）B9．已知“整数对”按如下规律排成一列：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是 （ ）A ．()7,5B ． ()5,7C ．()2,10D ．()10,1山东省菏泽学院附中2012届高三下学期5月高考冲刺试题（数学文）A10．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 （ ） A ．2048 B ．2049 C ．2050 D ．2051 9．（2012浙江冲刺卷B 理科）如果有穷数列)(,...,,*21N n a a a n ∈满足条件:,,...,,1121a a a a a a n n n ===-即1+-=i n i a a ，),...,2,1(n i =我们称其为“对称数列”．例如:数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列}{n b 是项数不超过),1(2*N m m m ∈>的“对称数列”，并使得122,...,2,2,1-m 依次为该数列中连续的前m 项，则数列}{n b 的前2009项和2009S 所有可能的取值的序号为 ①122009-②)12(22009-③1223201021--⋅--m m ④122200921---+m mA ．①②③B ． ②③④C ．①②④D ． ①③④ 【答案】C10．（2012届安徽省淮北市第二次模拟文科）设函数xxx f -+=1lo g 21)(2，定义121()()()n n S f f f n n n -=++ ，其中，2,≥∈+n N n ，则=n S （ ） A ．(1)2n n - B ．21log (1)2n n --- C ．12n - D ．21log (1)2n n -+-【答案】C17．（2012上海市嘉定、黄浦区第二次模拟理科）已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式…………………（ ）A ．21n a n =-B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n = 【答案】B6、（2012天津市高考压轴卷理科）设x 、a 1、a 2、y 成等差数列，x 、b 1、b 2、y 成等比数列，则21212(a a )b b +的取值范围是A 、[4，+∞)B 、（0][4,+,-∞∞ ）C 、[0，4]D 、(4)[4,,-∞-+∞ )【答案】B（2012河北广宗中学第二次模拟考试数 学 试 题（理）） 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<； ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====； 123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{},{}n n a b 是否为集合W 的元素；（II ）设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =， 证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；（III ）设数列{},n d W ∈且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*n n d M n ≠∈N ． 求证：数列{}n d 单调递增． 【解析】 （I ）对于数列{}n a ，取13222a a a +==，显然不满足集合W 的条件，① 故{}n a 不是集合W 中的元素，对于数列{}n b ，当{1,2,3,4,5}n ∈时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，33432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②， 故{}n b 是集合W 中的元素．（II ）∵{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，3317,,44c S ==设其公比为0q >， ∴333274c c c q q ++=，整理得2610q q --=． ∴12q =，∴1111,2n n c c -==，1122n n S -=-对于*n ∀∈N ，有222111222222n n n n n n S S S ++++=--<-=，且2n S <，故{}n S W ∈，且[)2,M ∈+∞（III ）证明：（反证）若数列{}n d 非单调递增，则一定存在正整数k ， 使1k k d d +≥，易证于任意的n k ≥，都有1k k d d +≥，证明如下： 假设()n m m k =≥时，1k k d d +≥当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，212m m m d d d ++<-．而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-≥ 所以12,m m d d ++>所以对于任意的n k ≥，都有1m m d d +≥．显然12,,,k d d d 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以0*()n n d d n ∈N ≥，从而00n d M =与这题矛盾．所以假设不成立， 故命题得证．C7. （莱芜一中50级4月自主检测数学试题文科）已知数列}{n a 满足a 1=1,且1n n a a +=1n n+，则2012a =（ ） A.2010 B.2011 C.2012 D.2013安徽省芜湖一中2012届高三下学期第六次模拟考试数学（理）试卷14. 已知数列{}n a 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅…为整数的数* ()k k N ∈叫做幸运数，则[]1,2012内所有的幸运数之和为____________. 【答案】20261. （甘肃省西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科））6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于【答案】D17、莆田一中2012届高三第五次月考数学（文）试题 （本小题满分12分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。

七年级思品教案 ? 【教学目标】 1．知识目标 为树立自信和在实践中培养自信奠定基础。

2．能力目标 告别自负和自卑，在实践中注意培养自己自信的心理品质，迈开走向成功的步伐。

3．情感、态度与价值观目标 在帮助学生认识自信与成功关系的基础上，培养学生自信的生活态度，形成正确的人生观和价值观。

【教学重点】 自信者的哪些心理品质有助于成功。

【教学难点】 自信和成功的关系。

【教学方法】 讲授法。

【教学课时】 1课时。

自信是成功的基石（板书） 播放动画：小铭落选了 思考：小铭为什么未能当选？ 学生思考并回答。

教师分析： 小铭升入初中后，各科成绩都不错，还获得了跳高、跳远两个第一名，他有些飘飘然了，觉得班级的荣誉都是他的功劳。

小铭这时是一种什么心理？——自负。

小铭为什么未能当选？——因为自负心理的影响。

他认为谁都不如自己，甚至连老师也不放在眼里，所以他未能当选。

当选举结束之后，他垂头丧气地走出了教室，整个学期都再也没见到他的笑脸，这时的小铭还是自负吗？转化成了什么呢？——不是，他的自负转化成了自卑。

由此可见，自负、自卑都会导致人们失败。

自负者之所以必然失败，就是因为自负的人往往会过高地估计自己，只看到自己的优点，看不到缺点；而自卑的人往往会过低地估计自己，只看到自己的缺点，看不到优点。

自负和自卑常常会在一个人身上并存，是“一对孪生子”，它们都是以自我为中心，自负和自卑就像一根潮湿的火柴，自负的人和自卑的人永远也无法燃烧起成功的火焰！古今中外的无数事实说明，许多失败都与自负或自卑有关。

而自信则恰恰相反，有助于我们获得成功。

二、自信有助于成功（板书） 方法一： 播放动画：德摩斯梯尼的故事 思考：他成功的最基本的条件是什么？ 学生思考并回答。

教师：自信是一个人成功的基础，这是因为自信者的心理品质有助于成功。

你认为自信的人有哪些心理品质？ 学生思考并回答。

教师归纳：自信者具有如下一些心理品质：乐观豁达、坦率真诚、英勇果断、幽默大度、虚心谨慎、勤奋踏实、好奇乐学等等，这些都有助于他们取得事业的成功。

银川一中2012届高三年级第三次月考理科综合试卷2011.10本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷(共126分)以下数据可供解题时参考：相对原子质量(原子量)：Na-23 C-12 O-16一、选择题(本题包括13小题。

每小题6分，共78分，每小题只有一个选项符合题意)7. 近年我国北方多次发生强烈的沙尘暴，专家对沙尘褒贬不一，有专家研究表明，沙尘能减弱酸雨的酸性，减弱温室效应，也有专家研究表明，沙尘是形成酸雨的原因之一。

根据上述短文和你所学的知识判断，下列关于“沙尘”的说法中有错误的是 A ．沙尘已成为跨国境的环境问题B ．飘浮在空气中的沙尘属于空气质量周报时“首要污染物”中的可吸入颗粒物C ．沙尘形成酸雨，可能是沙尘吸收了经过地区被污染空气中的氮硫氧化物所致D ．沙尘都可用来改良酸性土壤8．右图为元素周期表短周期的一部分，下列有关A 、B 、C 、D 四种元素的叙述中正确的是A ．原子半径大小比较为A>B>C>DB ．A 、B 、C 、D 的单质在常温下均不导电 C ．生成氢化物的稳定性A>B>C>D D ．A 与C 形成的阴离子可能有AC 32—、A 2C 42—9．下列说法正确的是①活性炭、SO 2和HClO 都具有漂白作用，且漂白的化学原理相同 ②第IA 族元素铯的两种同位素137Cs 比133Cs 多4个质子， ③因为氧化性：HClO ＞稀H 2SO 4，所以非金属性：Cl ＞S ④泥水、淀粉溶液、盐酸分别属于悬浊液、胶体、溶液 ⑤碳酸氢根离子的电离方程式：⑥从上到下，卤族元素的非金属性逐渐减弱，故氢卤酸的酸性依次减弱⑦500℃、30MPa 下，将0.5mol N 2和1.5molH 2置于密闭的容器中充分反应生成NH 3(g)， 放热19.3kJ ，其热化学方程式为：N 2(g)+3H 2(g) 2NH 3(g) △H=-38.6kJ·mol -1A ．全部B ．④⑤C ．②③④⑦D ．②④⑦10.据报道，科学家开发出了利用太阳能分解水的新型催化剂。

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宁夏回族自治区银川一中2025届高三上学期第三次月考数学试卷一、单选题1．i 是虚数单位，复数2i12i-=+（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i2．若数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，则6a 等于（）A ．10B ．11C ．12D ．133．已知函数为()()2,0e ln 1,0x ax a xf x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩在上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．[)1,0-C ．[)1,-+∞D ．0,+∞4．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-5．已知数列{}n a 为等比数列，2462461118,2a a a a a a ++=++=，则4a =（）A．B．±C ．2D ．2±6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（）A ．15或16B ．13或14C ．16或17D ．14或157．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC V 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC V 的面积为（）AB ．CD ．8．已知函数()2ln ,021,0x x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩函数()()()()21g x f x a f x a =---⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（）A ．若1e<-a ，则()g x 恰有2个零点B ．若()g x 恰有2个零点，则a 的取值范围是()1,2,e ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．若()g x 恰有3个零点，则a 的取值范围是[)0,1D ．若12a ≤<，则()g x 恰有4个零点二、多选题9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,π0)ωϕ>-<<的部分图象如图所示，则（）A ．65ω=B ．π3ϕ=-C ．56ω=D ．(2π)2f =-10．下列说法正确的是（）A ．函数1cos 2y x =+的最小正周期是πB ．函数tan 2y x =的图像的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()ln 2cos 21y x =+的递增区间是ππ,π3k k ⎛⎤- ⎥⎝⎦，Zk ∈D ．函数sin 2y x =的图像可由函数πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位而得到11．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AD AE λμ=+，则（）A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2C ．存在P 使得1λμ+=D ．AP AD ⋅最大值是8三、填空题12．已知单位向量a b ，满足1a b -= ，则a b 在方向上的投影向量为.13．已知323a b =+，则2a b -的最小值为．14．设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为.四、解答题15．已知数()2π24cos 24f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴方程；(2)求()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．16．已知数列{}n a 满足112,32n n a a a +==+.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222tan tan c A B a c b+=+-．(1)求角A 的大小；(2)若2BC =，点D 是线段BC 的中点，求线段AD 长的取值范围．18．已知函数()e xf x ax =-和()()ln R g x ax x a =-∈(1)若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围.(2)若函数()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，求a 的值(3)若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列19．定义：若数列{}n a 满足()21,n n n a pa qa p q ++=+∈R ，则称数列{}n a 为“线性数列”.(1)已知{}n a 为“线性数列”，且12342,8,24,64a a a a ====，证明：数列{}12n n a a +-为等比数列.(2)已知11(1(1n n n a --=+.（i ）证明：数列{}n a 为“线性数列”.（ii ）记21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：18n S <.。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}4,3,2,1{=U ,}05|{2=+-=p x x x M ，若}3,2{=M C U ，则实数p 的值为 A. 6- B. 4- C. 4 D. 6 2．若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A. 6- B. 2- C. 4 D. 63．已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A. 21-B. 23-C. 21D. 234．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f fA. 4-B. 41- C. 4 D. 6 5．下列命题错误的是A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则022≠+y x ”；B. 若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ； C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的 充要条件；D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b的夹角为钝角.6. 执行右面的程序框图，如果输入,72==n m 则输出的n 是A . 12B . 6 C. 3 D . 0理科数学试卷 第1页(共6页) 理科数学试卷 第2页(共6页)7. 从5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”，=B “第二次取到的是奇数”，则=)|(A B P A.51 B. 103 C. 52 D. 218. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度9． 曲线c bx x y ++=2在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[B. ]21,0[ C. ]2||,0[b D. ]2|1|,0[-b 10. 若圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与圆2222:210,()C x y by b b R +--+=∈外切，则a b +的最大值为A. 23-B. 3-C. 3D. 2311．若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++= ，AB AC mAP +=，则实数m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 512. 函数)(x f y =的最小正周期为2，且)()(x f x f =-．当]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，那么在区间]4,3[-上，函数)(x f y =的图像与函数||)21(x y =的图像的交点个数是A. 8B. 7C. 6D. 5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线x y 82=有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5||=PF ，则双曲线方程为 ． 14．设等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，已知20111=a ，且)(0221∙++∈=++N n a a a n n n ，则=2012S ．15．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y xy 表示的平面区域S 的面积为4，点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .16. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑物，A 为塔的最高点．现需在对岸测出塔高AB ，甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B D C ,,三点不在同一 条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别 用βα,表示测得的数据）以及D C ,间的距离（用 s 表示测得的数据），另外需在点C 测得塔顶A 的 仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得塔高AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ，使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ．EDC B AFEDCBA18．（本小题满分12分）如图，四边形DCBE为直角梯形，90=∠DCB，CBDE//，2,1==BCDE，又1=AC，120=∠ACB，ABCD⊥，直线AE与直线CD所成角为60．（Ⅰ）求证：平面⊥ACD平面ABC；（Ⅱ）求BE与平面ACE所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）现有BA,两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量1X（万元），根据市场分析，1X的分布列为：投资B项目100万元，一年后获得的利润2X(万元)与B项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关, 已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是)10(<≤pp.经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：（Ⅰ）求1X的方差)(1XD；（Ⅱ）求2X的分布列；（Ⅲ）若3.0=p，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？（参考数据：555.909.08.942.07.049.02.1222=⨯+⨯+⨯）．20．（本小题满分12分）如图椭圆134:22=+yxC的右顶点是AOANB是矩形（O为原点），点ME,（Ⅰ）证明：直线DE与直线BM的交点在椭圆C上；（Ⅱ）若过点E的直线交椭圆于SR,两点，为R关于x轴的对称点（EKR,,问：直线KS是否经过x21．（本小题满分12分）设函数aaexxf x-++=-)1ln()(，Ra∈．（Ⅰ）当1=a时，证明)(xf在),0(+∞是增函数；（Ⅱ）若),0[+∞∈x，0)(≥xf，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EAEDEBEC，求ABDC的值；（Ⅱ）若FBFAEF⋅=2，证明：CDEF//．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsincosbyax（0>>ba，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点)23,1(M对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C交于点)3,1(πD．（I）求曲线1C，2C的方程；（II）若点),(1θρA，)2,(2πθρ+B在曲线1C上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x的解集是M，Mba∈,．（I）试比较1+ab与ba+的大小；（II）设max表示数集A的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=babbaah2,,2max22,求证：2≥h．理科数学试卷理科数学试卷第6页(共6页)图1 ----------4分 在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AFEF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分由直线AE 与直线CD 所成角为60，得60cos ||||=⋅，即3222+=a aa ，解得1=a ． ∴)1,1,0(=CE ，)0,21,23(-=CA ，)1,1,0(-=BE ， 设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CA n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-002123z y y x ，取,3=x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则742sin ==θ，于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742．---------12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）1X 的概率分布为则8.1137.1128.11612)(1=⨯+⨯+⨯=X E . 01.031)8.117.11(21)8.118.11(61)8.1112()(2221=⨯-+⨯-+⨯-=X D . ---------4分（Ⅱ）解法1: 由题设得),2(~p B X ,则X 的概率分布为故2X 的概率分布为---------8分解法2: 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下调”()2,1=i ,则)0(=X P = 212()()(1)P A P A p =-;)1(=X P =1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;)2(=X P =212()()P A P A p =故2X 的概率分布为（Ⅲ）当3.0=p 时. 12,由于01.0)(1=X D . 555.9)(2=X D .所以)()(12X D X D >,当投资两个项目的利润均值相同的情况下,投资B 项目的风险高于A 项目.从获得稳定收益考虑, 当3.0=p 时应投资A 项目. ---------12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得)23,2(),0,1(),3,0(),3,0(),0,2(M E D B A -， 所以直线DE 的方程33-=x y ，直线BM 的方程为343+-=x y ，------2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=34333x y x y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==53358y x ，所以直线DE 与直线BM 的交点坐标为)533,58(，---------------4分因为13)533(4)58(22=+，所以点)533,58(在椭圆134:22=+y x C 上．---------6分（2）设RS 的方程为)1(-=x k y ，代入134:22=+y x C ， 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x S y x R ，则),(11y x K -，2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+， 直线SK 的方程为)(212122x x x x y y y y --+=-，令,0=y 得121221y y x y x y x ++=，将)1(11-=x k y ，)1(22-=x k y 代入上式得 （9设42)(2212121=-++-=x x x x x x x ，所以直线SK 经过x 轴上的点)0,4(．---------12分21．（本小题满分12分）解：（1）)1()1(11)('x e x a e e a x x f xx x ++-=-+=， 当1=a 时, )1()1()('x e x e x f x x ++-=, ---------2分令x e x g x --=1)(，则1)('-=xe x g ，当),0(+∞∈x 时，01)('>-=x e x g ，所以)(x g 在),0(+∞为增函数， 因此),0(+∞∈x 时，0)0()(=>g x g ，所以当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ， 则)(x f 在),0(+∞是增函数. ---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f x x ++-=,由(1)知,,1x e x+≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f xx ++-=++-+≥, 从而当01≥-a ,即1≤a 时, 对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x , 从而当1>a 时,)1())(()1(2)1()(22222'x e a a a e a a a e x e aae e x e a ae a e x f x x x x x x xx x +----+-=++-=+-+-<-故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f ,于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f , 综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FEDCBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠， ∴C E D ∆∽A E B ∆， ABDCEB ED EA EC ==∴， 21,31==EA ED EB EC ， ∴66=AB DC ．（2） FB FA EF⋅=2， ∴FEFBFA EF =， 又 B F E E F A ∠=∠， ∴F A E ∆∽F E B ∆， ∴E B F F E A ∠=∠， 又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ，即⎩⎨⎧==12b a ，所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-).将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =,得3cos21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ), 所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x . （II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上,所以1s i n 4c o s 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ,所以45)c o s 4s i n ()s i n 4c o s (1122222221=+++=+θθθθρρ.。