由图形的对称性讲_函数的奇偶性_一课_陈姝妮

五 、 进一步探究 既是偶函数又是奇 函数的 函数
教 师可 以提 示 学 生 可 以 从 两 个 方 面 研 究
第 一 , 从 函 数奇 偶性 的 定 义 出 发 对任 意 , 满足 一 一 门
一一
一 ·
, 了 一一 曰, ' 因此 , 若 一 个 函数 既 是 偶 函 数 又 是奇 函 数 则 其 函 数值 始终 为 这样 的 函 数 可 根据 定 义 域
上海 中学 数学 ·
年第
期
追 求本 质 简 单 自然 的数 学 教 学
“一元 二次 不 等 式 的解 法 ”教 学分 析
“一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ”具 有 以下 三 个 特 点
张红梅
二 、 课堂 实录
笔 者 在研 究 教 材 、教 参 的基 础 上 , 立 足 于 课 题 特 征 , 以 “追 求 本 质 、简 单 、自然 的 数 学 教 学 ” 的理 念 为 指 导 , 设 计 并 实 施 了 “一 元 二 次 不 等 式 的解 法 ”的 教 学 学程 定 义 、理 解 、 辨 析 “一 元 二 次 不 等 式” 教师 不 等 式 一 我们很熟悉 ,是
'
达式都有意义 二是两边数值相等 此处 一 不存 在 所 以等 式 当然 就 不 成 立 由此 引 出 要 成 立 厂一 门 一 , 一 。和 必 须 先在 定 义域 内 , 从 而 得 到 函 数 的定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 必 要性 , 即 函 数 的 定 义域 关 于 原 点 对 称 是 函 数 为
义
有
因此 , 如果 一 个 定 义域 为 的 函数 一 图 像 关 于 轴 对 称 , 那 么 对 于 任 意 二任 一, 一 上述命 题 的逆命 题 是 否成
立 即如果 一个 定义域为 的函数 一 满 足 对于任意 二 任 有了 一门 “ 了 ,那 么它的 图像 是 否 关 于 轴 对 称 证 明图 像 关 于 轴 对 称 是 一 个 难 点 , 需 要 提示学生证 明图像关于
一 元 二 次 不 等 式 的 解法 是一 元 一 次 不 等 式 的 解法 的 延 续 和 深 化 , 它 对 集 合 知 识 起 到 重 要 的巩 固 和运 用 的作 用 , 也 与 后 继 的 函 数 、 三角 函数 、 线性规划 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 以及 导 数 等 内
石 出 上 引 导 学 生 进 一 步 观 察一 一 令 的 图 像· 发
现 图 像 关 于 原 点 对 称 , 从 而 引人 下 面 的研 究
三 、 函数 图像 关 于原点 对 称的 自主研 究
如果一个函数 一 门 图像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 那 么这 个 函 数 会 有 怎样 的特 征 参照前面研 究偶 函数 的方法 此处 可以让 学 生 进 行 自主研 究 , 引 导 学 生 将 “图 像 关 于 原 点 对称 ”转 化 为 “ 图 像 上 每 一 个点 关 于 原 点 的 对 称 的点都在图像上 ” 过程如下 在 函数 一 门上 任 取点 尸 , 则有
一 共 , 所 以此 函数 不是 偶 函 数 , 在 此 基
“奇 ”主要 是 指 奇 次 幂 , 即 一 般 奇 次 幂 的 函 数 是 奇 函数 例 判 断 下 列 函数 的 奇 偶 性
,, 一 万 、 下了
丫 丁 二 丁
丫 一巨 二 定 义 域 不 关 于原 点 对 称 二, 此 函数 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函数
一一` ,, 结论
此 题 是 一 个 难 点 学 生 很 可 能 盲 目套 用 定
一、 一 一、 门业 一 厂一 , 此时 可向学 生指 出 是 否 真 的对 于 定 义 域 内 任 意 ` 都 有 厂 一 曰 一` 比如 , 一 任 , 是 否成 立 ` 一 一 ` 显然不是 等式 的成 立 包 含两 层 含 义 一 是 两 边 的 表
一个点关于 在 函数
轴 对称 即证 图像上每
, 则有
,即
轴 对 称 的点 都 在 图 像 上 一 上任取点 尸 , ,
一
一 、 函数 图像 关 于
如果一个 函数
轴 对称 的引导 研 究
一厂 约 图像 关 于 轴对
这 个 问题
二 ,设 点
` 一 ,右 , `
关于
轴 对 称 的点 为
, · '· 一
称 , 那 么这 个 函 数 会 有 怎 样 的 特 征
义 , 写成 '
` ,一 年片 ,
, 厂 … 对于 任 意 任 ,有
一 ,设 点 尸 , 关 于 原 点 对 称 的 点 为 ' 一 ,一 , ' 函数 一 ` 。 图像 关 于原 点 对 称 , …' 一 , 一 也 在 函数 一了 ` ·的 图 像 上 , 即有 一 一 … 一 一厂 由 点 尸的 任 意性 可 得 , 对 于 任 意 。 有 、 一`
图像 关 于 原点 对称 命题 定义域为
的 函数
一 任
图像 有
关 于 原 点 对称 的充 要 条件 是 , 对 于 任 意
一门 一`
首 先 , 函 数 的 定 义域
`· 门 一 牛
四 、 奇 函数概 念的 引 出
一 一刃 , 。, 将 满 足 以 上性 质 的 函数 称 为奇 函 数 例如下 列定 义域 为 的 函数 尸 厂 , 一 己 … … , 一 户一 ' 任' 奇 函数 中的
。 一, 一 ,设点 一 , ' 尸 。 一
关 原 点 ,对 一于 一、 ' 称 、 的 一点 为 一
一 即有 ' 一 一 也在 函数 一 门的图 像 上 , …由点 尸的 任 意 性 可 得 , 函数 夕 一 曰的
偶函数的必要条件 , 因此 , 在判断 函数 是否 为偶 函 数 时 , 可 先 检 验定 义域 是 否 关 于 原 点 对 称 若 不 对 称 ,则 函 数 不 是 偶 函 数 若 对 称 , 也 不 意 味 着 一 定 是偶 函 数 必 须再 用定 义 加 以判 断
实际上 , 图像是 由点构成 的 , 将 图像 沿 轴 折 叠 后 , 所 谓 “图 像 的 重 合 ” , 本 质 上 是 “点 与 点 的重 合 ” 进 一 步 , “图像 沿 轴 折 叠 ”就 是 “将 图 像 上 的点 关 于 轴 对 称 ” , 而 “和 它 的 另 一 部 分 图 像 完 全 重 合 ”就 是 “对 称 点 仍 然 在 原 图 像 上 ” 综 合 起 来 , “图 像 关 于 轴 对 称 ”的 含 义 就 是 图 像上每一 个点关 于 轴 对称 的点都 在 图像上 , 即点 的坐 标 满 足 函 数 的 解 析 式 , 至 此 图 像 对 称
二二 、
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动 一 厂一 了 丫 一 , 定 义域 关于原 点 对 称 ` 、 , 一 一 … 一 共 不是 偶 函数 , , 一 笋一 不 是 奇 函数 在 此 题 的基 础 上 教 师可 引 导 学 生 探 究 既 然存 在既 不 是 偶 函 数 又 不 是 奇 函 数 的 函 数 那 么是 否存 在 既 是 偶 函 数 又 是 奇 函数 的 函数
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能从本质上反映函数的特点 例 判 断 下 列 函数 是 否为 偶 函 数
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川 明 一
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此例 旨在 让学 生根 据 偶 函 数定 义 进 行证
`'
的 本 质 被 揭 示 了 出来 , 函 数 图像 — 点 的 坐 标 — 函数解析式 三者之 间便建立起 了联系 在 函数 一 川 上任 取 点 尸 , ,则有
。 一 ,设点 。, 关 于 轴 对称 的 点 为 尸' 一 , , ' 函 数 一 门 图像 关 于 轴 对 称 , …' 一 , 也 在 函数 一 的 图像 上 , 即有 一 ,· '· 一 又 由点 尸的 任 意 性 可 得 , 对 于 任 意 任 , 有 一、 ,·
看 似 简 单 ,设 间 的 目 的 是 引 导 学 生 将 观 察 到 的
· 有 尸` 一 , 也 在 函 数 点 尸 的任 意 性 可 得 , 函数
一
的 图像 上 , …由 动 的 图像 关 于 轴对称的 图像 关 〔 有
图像特征 感性 认识 转化 为 函数 特 征 理性 认 识 ,将 “形 ”转 化 为 “数 ” 教 师 可 引 导 学 生 观 察 函数 一 犷 的 图像 , 进一 步 思 考 到 底 什 么 叫做 图 像 关 于 轴 对 称 初 中数 学 教 材 中 将 “轴 对 称 图 形 ”描 述 为 “沿 某
如 果一 个 定 义 域 为
的 函数
动图像 关 于 原 点 对 称 , 那 么 对 于 任 意 任 有 一。 一 动 反之 , 如 果 一 个 定 义 域 为 的函数 一 满 足 对 于任 意 。 任 有 一 。 一一 那 么它 的 图像 是 否 关 于 原点 对称 在 函数 一 曰 上 任取 点 尸 , 则有
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由图形 的对 称 性 讲 “函数 的 奇 偶 性 ”一 课
。。 复旦 大 学 附属 中学 陈妹 妮
对 称 性 是 图形 的一 个 重 要 特 性 学 生 在 进 人 高 中 前 己 知 晓 ,对 称 图 形 有 轴 直 线 对 称 图 形 和 中心 点 对 称 图形 两 种 对 于 具 有 对 称 性 的 图形 , 只需 要 研 究 它 的 对 称 部 分 就 可 以 获 得
化
轴对称 至此 , 就 得 到 了 函 数 图 像 关 于