浅谈函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用
摘要：函数是中职教育教学的重要学科，也是中职数学学科中较为难的部分，不仅函数逻辑性强，而且内容枯燥，理解难度大，更是让很多中职学生对函数学习产生乏味心理，特别是函数奇偶性、周期性与图象的对称性是函数的基本性质，更是把握好函数学习的基础。为此，本文对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用进行系列分析，加强对中职数学教学的学术研究，促进中职数学课程能够更好的传授给学生。
关键词：函数奇偶性周期性对称性
中图分类号：g421 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）03（b）-0094-01
随着我国教育改革制度的不断发展，中职学校的教育课程改革也要随之不断的创新，要适时的优化教学课程，进一步提高中职学校的教学质量。为此，中职学校就要从教学课程内容改革着手，数学是历来较难的教学学科，对学生来说更是及其厌烦学习的科目，其中函数的奇偶性、周期性与图象的对称性更是逻辑性强，复习资料少，更是成为了教学难点之一，为此，函数是现阶段中职教学研究的学术重点。只有对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系进行深入剖析，简化较难懂的逻辑关系，才能更好的服务于教学，培养学生对数学的探索能力和创新意识，激发中职学生对数学学科的学习兴趣。
1 函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的定义
（1）函数的周期性定义：若函数对定义域中任意x均有f（x+t）=f（x）（其中t是不等于0的常数），则f（x）是周期函数。这也是函数基础性质之一。
f（x）是t=2a的周期函数的充要条件是f（x+2a）=f（x-2a）
证明：当是必要条件时
∵t=2a是周期函数，
∴f（x）=f（x+2a），t=x+a
∴f（t-a）=f（t+a）
∴f（x-a）=f（x+a）
当是充分条件时
∵f（x）=f（x+a），t=x-a
∴f（t+2a）=f（t）
∴f（x）是t=2a的周期函数。
推论若f（x+a）=-f（x），则f（x）的周期t=2a
推论若f（x+a）=1/f（x），则f（x）的周期t=2a
（2）函数的奇偶性定义：如果对于函数f（x）定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1，关于y轴对称，f（-x）=f（x），函数f（x）就叫做偶函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）就叫做奇函数。如图1所示。
f（x）为奇函数，在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
（3）图象的对称性定义：函数对称性包括轴对称和中心对称两
种，其中轴对称：如果函数f（x）满足f（a-x）=f（x+a），那么f （x）的图像就是关于x=a对称；中心对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=-f（a-x），那么f（x）的图像就是关于（a，o）对称。
2 函数的奇偶性、周期性与图象的对称性之间的关系
2.1 通过函数对称性和奇偶性可以推出函数周期性
如果f（x）为奇函数，图像关于x=a对称，那么f（x）是以t=2a 为周期的周期函数。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（x）=f（a-x），f（-x）=f（a+x）
∴又奇函数
f（x）=f（-x），f（x）=f（2a+x）
∴f（x）是t=2a的周期函数。
2.2 函数的对称性和周期性还能推出函数对称性和奇偶性
设f（x）的图像关于x=a对称，且t=b的周期函数，那么f（x）的图像关于x=a+b对称。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（x）=f（2a-x）
∵t=b的周期函数
∴f（x）=f（2b+x）
∴f（2a-x）=f（2b+x）
∴f（x）的图像关于x=a+b对称
同时设f（x）的图像关于x=a对称，且t=2a是周期函数，则f （x）是偶函数。
证明：
∵f（x）图像关于x=a对称
∴f（a+x）=f（a-x）
∵t=2a是周期函数
∴f（a+x）=f（x-a）
∴f（a-x）=f（x-a），令a-x=t
∴f（t）=f（-t）
∴f（x）是偶函数。
2.3 函数周期性和奇偶性也可以推出函数对称性
设函数f（x）为偶函数，且t=2a（a>0），那么f（x）的图像关于x=a对称。
证明：
∵f（x）为偶函数
∴f（x）=f（-x）
∵t=2a是周期函数
∴f（x）=f（x+2a），f（-x）=f（2a-x）
∴f（x）=f（2a-x）
∴f（x）的图像关于x=a对称。
于此同理还可以推断出函数f（x）为奇函数，且-f（x）=f（x+2a），
那么f（x）的图像关于x=a对称。
3 结语
在中职数学教学中，教师的对学术研究的程度直接影响到教学的效果。通过以上对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用的分析，可以看出，对于函数并非是难懂部分，关键要激发学生在函数学习上的发散思维模式，要让学生带着问题加强对函数基础知识的研究，同时教师要及时纠正学生的研究偏差，加强学生对函数奇偶性、周期性与图象的对称性的关系的认识，打好函数学习的基础，为中职数学教学却得良好的教学效果。
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