示范教案一6.2 变化中的三角形
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变化中的三角形教学设计2.变化中的三角形沈阳市第99中学姜兴慧一、学生起点分析学生的知识技能基础:学生在前面差不多学习了变量之间的关系、在平常的生活中中又经常接触到一些具有变化关系的量,初步明白得了自变量及因变量之间的关系,具备了从一个具体问题中辨别自变量与应变量的能力。
学生活动体会基础:在相关知识的学习探究过程中,学生差不多经历了一些由于自变量发生变化而引起因变量变化的活动,解决了一些简单的现实问题,获得了一些数学活动体会的基础;同时在往常的数学学习和生活中学生差不多经历了专门多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的体会,具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本节内容是建立在学生已明白得变量、自变量、因变量的意义和体会到了因变量是随自变量变化而变化的基础上,教材通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变化问题的探究,探究出了变量间的变化规律可用关系式来表达,运用表达式能够描述出自变量和因变量具体变化的情形。
教材通过机器图直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系,即“输入”一个 x 值就能够“输出”一个 y 值,隐含了函数的思想。
教材通过“做一做”和“随堂练习”进一步地表达了这一数学思想,专门是教材通过“读一读”不仅深化了本节的数学思想,而且扩展了学生的知识面,让学生体会到变量与变量之间的相互依靠关系是生活中广泛存在的。
通过本节的学习,让学生学会了用数学工具直观地表示事物的变化情形。
本节的教学目标如下:1.知识与技能目标:(1) 经历探究某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的阻碍,进展符号感。
(2) 能依照具体情形,用关系式表示某些变量之间的关系。
(3) 能依照关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
2.过程与方法目标:(1) 如何将生活中的实际问题转化为数学问题。
(2) 如何用数学方法解决实际生活中的问题。
3.情感态度与价值观目标:培养学生动手的能力,探究问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。
CCCCBA 6.2.变化中的三角形(教案)一、教学目标:1、 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感。
2、 能根据具体情景,用关系式表示某些变量之间的关系。
3、 能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
二、教学的重点与难点:1、教学的重点:认识关系式是表示变量之间关系的另一种方法,学会用关系式表示某些变量之间的关系。
2、教学的难点:根据关系式找自变量与因变量之间的对应关系。
三、教学过程: (一)复习引入:(二)关系式的学习: 1、想一想:如果△ABC 底边BC 上的高是6厘米。
当三角形的顶点C 沿底边BC 所在直线向点B 运动时,三角形的面积发生了怎样的变化? (1)这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 。
(2)如果三角形的底边长为 x (厘米),那么三角形 的面积 y (厘米2)可以表示为 ________________。
(3)根据三角形的底边长为 x (厘米)和三角形的面积 y (厘米2)的关系式填表:(4)当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从 厘米 2变化到 厘米2。
小结: 是表示变量之间关系的另一种方法。
2、变式练习:提出问题:底面半径为r ,高为h 的圆锥的体积计算公式是 。
变式练习一:如图所示,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中,自变量是____________,因变量是_____________。
(2)如果圆锥底面半径为r (厘米),那么圆锥的体积V (厘米3)与 r 的关系式是____________。
(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3。
变式练习二:如图所示,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是_________。
§6.2变化中的三角形【目标导航】1. 能根据关系求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
2. 能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系。
【知识梳理】1.正方形边长是4,若边长增加,则面积增加,其中自变量是_________,因变量________,关系式为_________..【学法导航】本节重点是能根据关系求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系;本节难点是能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系。
我们可以通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变化问题的探索,探索出变量间的变化规律可用关系式来表达,运用表达式可以描述出自变量和因变量具体变化的情况。
【预习检查】1. 如图,长方形的长是16,宽为,周长是,面积为.(1)写出和之间的关系式;(2)写出和之间关系式;(3)当时,等于多少?等于多少?(4)当增加2时,增加多少?增加多少?分析:该题的关键是根据长方形周长和面积公式写出和,和之间的关系式.解:【课堂探究】一、课本探究1.课本p 194页有关变化中的三角形的问题,你能根据题意回答课本中提出的问题吗?说说你是怎么想的? (1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?(2)如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可以表示为 。
(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从 厘米2变化到 厘米22.完成课本p 195 “做一做” 2.问题一:如图所示,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是_________。
(2)如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与h 的关系式是____________。
(3)当高由1 厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到_______厘米3。
问题二:如图所示,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥体积也随之而发生了变化。
数学初一下册北师大版6.2变化中的三角形教案●教学目标〔一〕教学知识点1.经历探究某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的妨碍,进展符号感.2.能依照具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.3.能依照关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系. 〔二〕能力训练要求1.进展符号感和抽象思维能力.2.进展有条理的思考和表达能力,用变化的思想研究自变量和因变量的关系. 〔三〕情感与价值观要求接着体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,进展对数学的认识. ●教学重点1.列关系式表示两个变量的关系.2.依照图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式,会利用关系式依照任何一个自变量的值,求出相应因变量的值.●教学难点将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来. ●教学方法启发——自主探究相结合在教师的启发和学生已有基础知识下,鼓舞他们实践、探究变化过程中的变量关系、数量关系,体会自变量和因变量的依存关系,借助关系式表示变量之间的关系.●教具预备课件演示一:三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动; 课件演示二:圆锥的底面半径由小到大的变化; 课件演示三:圆锥的高由小到大的变化. ●教学过程Ⅰ.创设情景,引入新课[师]我们先来看下面的问题:1.〔1〕假如正方形的边长为a ,那么正方形的周长C =________;面积S =________; 〔2〕圆的半径为r,那么圆的面积S =________;〔3〕三角形的一边为a ,这边上的高为h ,那么三角形的面积S =________; 〔4〕梯形的上底、下底分别为a 、b ,高为h ,那么梯形的面积S =________; 〔5〕圆锥的底面的半径为r ,高为h ,那么圆锥的体积V =________; 〔6〕圆柱的底面半径为r ,高为h ,那么圆柱的体积V =________.〔1〕表格反映的是哪两个变量的关系?谁是自变量?谁是因变量? 〔2〕依照表格中的数据,说一说m 是怎么样随n 而变化的? [生]1.〔1〕C =4a ,S =a 2;〔2〕S =πr 2;〔3〕S =21ah ;〔4〕S =21〔a +b 〕h ;〔5〕V =31πr 2·h ;〔6〕V =πr 2·h .2.〔1〕表格中反映的是m 和n 这两个变量的关系,其中n 是自变量,m 是因变量. 〔2〕m 随n 的增大而逐渐增大.[师]在第2题中,我们借助于表格,反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m 和n 的关系呢?[生]从表格中我发明有一个规律,每一个m 的值都比对应的n 的值大3.因此用等式m =n +3能够反映两个变量m ,n 的关系.[师]真棒!往常我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式,现在我们又要用等式来表示两个变量的关系,你们认同吗?[生]认同![师]特别好.我们在那个地方就把m =n +3那个等式叫做m 随n 变化的关系式. Ⅱ.讲授新课——依照具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系. 1.变化中的三角形 看一看:课件演示一 看图回答以下问题:图6-2中的三角形ABC 底边BC 上的高是6厘米,当三角形的顶点C 沿着底边所在直线向B 点运动时,三角形的面积发生了变化.〔1〕在那个变化过程中,自变量、因变量分别是什么? 〔2〕假如三角形的底边长为x 〔厘米〕,那么三角形的面积y 〔厘米2〕能够表示为________.〔3〕当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.[师]从上面的课件演示过程来回答上面的问题. [生]〔1〕自变量是△ABC 的底边BC 的长,因变量是△ABC 的面积. [生]〔1〕中的自变量也能够是∠ACB . 〔2〕y =3x〔3〕当底边长是12厘米时,y =21×12×6=36〔平方厘米〕;当底边长是3厘米时,y =21×3×6=9〔平方厘米〕.因此当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.[师]从同学们的回答中能够看到y=3x 表示了三角形的底边长x 和面积y 之间的关系,它是变量y 随变量x 变化的关系式.因此,关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大伙能够比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.〔让同学们与同伴交流,教师可倾听一下同学们在下面的说法〕.[生]用表格法表示变量之间的关系,只有自变量和因变量对应的的有限个值,但较直观.而关系式表示变量之间的关系,依照自变量的任何一个值,便可求出相应的因变量的值.[师]同学的分析特别精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗?看图6-3:直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系,即“输入”一个x 的值就能够“输出”一个y 的值.例如:输入x =2,那么就可输出y =3×2=6.图6-32.变化中的圆锥 做一做:课件演示二如图6-4,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.〔1〕在那个变化过程中,自变量和因变量各是什么? 〔2〕假如圆锥底面半径为r 〔厘米〕,那么圆锥的体积V 〔厘米3〕与r 的关系式为________.〔3〕当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.图6-4[师]依照课件演示回答上述问题. [生]〔1〕自变量是圆锥的底面半径,因变量是圆锥的体积; 〔2〕V =34πr 2; 〔3〕当底面半径r 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积V 由34π厘米3→3400π厘米3. 做一做:课件演示三看图回答以下问题:如图6-5,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.〔1〕在那个变化过程中,自变量、因变量各是什么? 〔2〕假如圆锥的高为h 〔厘米〕,那么圆锥的体积V 〔厘米3〕与h 的关系式为________. 〔3〕当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.图6-5[生]〔1〕自变量是圆锥的高,因变量是圆锥的体积; 〔2〕V =34πh ; 〔3〕当h 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积是由34厘米3→340厘米3. [师]在课件演示二中,我们明白当底面半径即自变量r 由1厘米→10厘米时,因变量V 由34π厘米3→3400π厘米3;而在课件演示三中,当自变量h 也是由1厘米→10厘米时,因变量V 却是由34π厘米3→34π厘米3.什么原因呢?[生]这是由于它们的关系式不同.r 与V 的关系式是V =34πr 2;而h 与V 的关系式是V =34πh . Ⅲ.课堂练习1.随堂练习〔课本P 169第1题〕在地球某地,温度T 〔℃〕与高度d 〔m 〕的关系能够近似地用T =10-150d来表示.依照那个关系式,当d 的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T 值,并用表格表示所得结果.图6-6[分析]此题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系,体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中,学生可利用计算器,并保留两位小数.2.补充练习圆柱的高是10厘米,圆柱的底面半径为R 厘米,圆柱的侧面展开图的面积为S 平方厘米.〔1〕写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式.〔2〕用表格表示R从1厘米到10厘米〔每一次增加1厘米〕时,S相应的值.〔3〕R每增加1厘米,S如何变化?解:〔1〕S=20πR;〔3〕每增加1厘米,增加20π厘米.Ⅳ.课时小结[师]这节课,同学们有何体会和收获呢?[生]这节课,我们研究了某些图形中变量之间的关系,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的妨碍.[生]我们明白了变量之间的关系除了能够用表格表示外,还能够用关系式,同时初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.[生]课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.[生]用数学符号能表示现实世界中的一些规律,能用数学的角度去看世界.[师]看来,同学们的收获还真不小!祝你们生活的欢乐!Ⅴ.课后作业1.课本P169,读一读,去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在那个问题中,告诉我们随着地球内部厚度的增加,温度也在发生着变化.2.课本P1701、2.Ⅵ.活动与探究我省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采纳价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示:设某户该月用水量为〔立方米〕,应交水费y〔元〕.〔1〕求a、c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的关系式;〔2〕假设该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元?[过程]该题结合生活实际,立意新颖,能够培养学生节约用水的社会意识.在自变量和因变量的数值对应关系及依照题意,由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式,求a、c的值,只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.[结果]〔1〕依照题意,有当x≤6时,y=ax;当x>6时,y=6a+c〔x-6〕.由,得7.5=5a①27=6a+3c②由①得a=1.5把a=1.5代入②得c=6,因此y=1.5x〔x≤6〕;y=9+6〔x-6〕=6x-27〔x>6〕.〔2〕将x=8代入y=6x-27〔x>6〕得y=6×8-27=21〔元〕因此,该户5月份的水费是21元.。
教学设计思想:本节内容需一课时讲授;教师通过对以前所学知识的回顾导入课题,与学生一起探索变化过程中的变量关系、数量关系,体会自变量和因变量的依存关系,再通过课堂练习加深对知识的理解和巩固,掌握用关系式表示某些变量之间的关系.一、教学目标(一)知识与技能1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响,发展符号感.2.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.(二)过程与方法1.发展符号感和抽象思维能力.2.发展有条理的思考和表达能力,用变化的思想研究自变量和因变量的关系.二、教学重、难点重点:1.列关系式表示两个变量的关系.2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式,会利用关系式根据任何一个自变量的值,求出相应因变量的值.难点:将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.三、教学方法启发——自主探究相结合在教师的启发和学生已有基础知识下,鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系,体会自变量和因变量的依存关系,借助关系式表示变量之间的关系.四、教具准备直尺、幻灯片.五、教学过程Ⅰ.创设情景,引入新课[师]我们先来看下面的问题:1.(1)如果正方形的边长为a,则正方形的周长C=________;面积S=________;(2)圆的半径为r,则圆的面积S=________;(3)三角形的一边为a ,这边上的高为h ,则三角形的面积S=________; (4)梯形的上底、下底分别为a 、b,高为h ,则梯形的面积S=________; (5)圆锥的底面的半径为r,高为h ,则圆锥的体积V=________; (6)圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的体积V=________. 2.填写下表并回答问题:n 1 2 3 4 5 6 7 m45678910(1)表格反映的是哪两个变量的关系?谁是自变量?谁是因变量? (2)根据表格中的数据,说一说m 是怎样随n 而变化的? [生]1.(1)C=4a,S=a 2;(2)S=πr 2;(3)S=21ah ;(4)S=21(a+b )h ;(5)V=31πr 2·h ;(6)V=πr 2·h.2.(1)表格中反映的是m 和n 这两个变量的关系,其中n 是自变量,m 是因变量. (2)m 随n 的增大而逐渐增大.[师]在第2题中,我们借助于表格,反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m 和n 的关系呢?[生]从表格中我发现有一个规律,每一个m 的值都比对应的n 的值大3.因此用等式m=n+3可以反映两个变量m,n 的关系.[师]真棒!以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式,如今我们又要用等式来表示两个变量的关系,你们认同吗?[生]认同![师]很好.我们在这里就把m=n+3这个等式叫做m 随n 变化的关系式. Ⅱ.讲授新课——根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系. 1.变化中的三角形看图回答下列问题:图6-2中的三角形ABC 底边BC 上的高是6厘米,当三角形的顶点C 沿着底边所在直线向B 点运动时,三角形的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量、因变量分别是什么?(2)如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可以表示为________.(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.图6-2[师]从上面的课件演示过程来回答上面的问题.[生](1)自变量是△ABC 的底边BC 的长,因变量是△ABC 的面积. [生](1)中的自变量也可以是∠ACB. (2)y=3x(3)当底边长是12厘米时,y=21×12×6=36(平方厘米);当底边长是3厘米时,y=21×3×6=9(平方厘米).因此当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.[师]从同学们的回答中可以看到y=3x 表示了三角形的底边长x 和面积y 之间的关系,它是变量y 随变量x 变化的关系式.因此,关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.(让同学们与同伴交流,教师可倾听一下同学们在下面的说法).[生]用表格法表示变量之间的关系,只有自变量和因变量对应的的有限个值,但较直观.而关系式表示变量之间的关系,根据自变量的任何一个值,便可求出相应的因变量的值. [师]同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗?看图6-3:直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系,即“输入”一个x 的值就可以“输出”一个y 的值.例如:输入x=2,则就可输出y=3×2=6.图6-32.变化中的圆锥 做一做:如图6-4,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)如果圆锥底面半径为r (厘米),那么圆锥的体积V (厘米3)与r 的关系式为________. (3)当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.图6-4[师]根据课件演示回答上述问题.[生](1)自变量是圆锥的底面半径,因变量是圆锥的体积; (2)V=34πr 2; (3)当底面半径r 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积V 由34π厘米3→3400π厘米3.做一做:看图回答下列问题:如图6-5,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?(2)如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V (厘米3)与h 的关系式为________. (3)当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.图6-5[生](1)自变量是圆锥的高,因变量是圆锥的体积; (2)V=34πh ; (3)当h 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积是由34厘米3→340厘米3. [师]在课件演示二中,我们知道当底面半径即自变量r 由1厘米→10厘米时,因变量V 由34π厘米3→3400π厘米3;而在课件演示三中,当自变量h 也是由1厘米→10厘米时,因变量V 却是由34π厘米3→34π厘米3.为什么呢?[生]这是由于它们的关系式不同.r 与V 的关系式是V=34πr 2;而h 与V 的关系式是V=34πh. Ⅲ.课堂练习1.随堂练习(课本P 169第1题)在地球某地,温度T (℃)与高度d (m )的关系可以近似地用T=10-150d来表示.根据这个关系式,当d 的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T 值,并用表格表示所得结果.图6-6[分析]本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系,体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中,学生可利用计算器,并保留两位小数.解:计算出相应的T的值填入下表:高度d/m0 200 400 600 800 1000温度T/℃10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.332.补充练习圆柱的高是10厘米,圆柱的底面半径为R厘米,圆柱的侧面展开图的面积为S平方厘米.(1)写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式.(2)用表格表示R从1厘米到10厘米(每一次增加1厘米)时,S相应的值.(3)R每增加1厘米,S如何变化?解:(1)S=20πR;(2)表格如下底面半径R1 2 3 4 5 6 7 8 9 10侧面积S 20π40π60π80π100π120π140π160π180π200π(3)R每增加1厘米,S增加20π厘米2.Ⅳ.课时小结[师]这节课,同学们有何体会和收获呢?[生]这节课,我们研究了某些图形中变量之间的关系,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响.[生]我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外,还可以用关系式,并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.[生]课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.[生]用数学符号能表示现实世界中的一些规律,能用数学的角度去看世界.[师]看来,同学们的收获还真不小!祝你们生活的快乐!Ⅴ.课后作业1.课本P169,读一读,去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中,告诉我们随着地球内部厚度的增加,温度也在发生着变化.2.课本P170 1、2.Ⅵ.活动与探究我省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示:设某户该月用水量为x(立方米),应交水费y(元).(1)求a、c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的关系式;(2)若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元?[过程]该题结合生活实际,立意新颖,可以培养学生节约用水的社会意识.在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意,由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式,求a、c的值,只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.[结果](1)依照题意,有当x≤6时,y=ax;当x>6时,y=6a+c(x-6).由已知,得7.5=5a ① 27=6a+3c ②由①得a=1.5 把a=1.5代入②得c=6,所以y=1.5x(x≤6);y=9+6(x-6)=6x-27(x>6). (2)将x=8代入y=6x-27(x>6)得y=6×8-27=21(元)所以,该户5月份的水费是21元.六、板书设计。
第二节变化中的三角形第一课时,备课时间:开学第九周,上课时间:第十三周一、教学目的1、知识与技能目标经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感。
能根据具体情景,用关系式表示某些变量之间的关系。
2、过程与方法能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系,培养分析问题的能力。
3、情感态度与价值观经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,体会数学充满1着一定的艰难性,增强挑战困难的信心。
4、教学重点、难点重点找问题中的自变量和因变量;根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
难点根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
二、教学过程.根据现实情景,讲授新课(一)探索如图所示,△ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点C运动,三角形的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是__________.(2)如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可以表示为__________当底边长从12厘米变化到3厘米,三角形的面积从________厘米2变化到_______厘米2.(二).做一做如图所示,圆锥的底面半径是2 厘米,当圆锥的高由小到大变化,圆锥的体积也随之而发生了变化.(1) 在这个变化过程中,自变量是因变量是_________.(2) 如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与h 的关系式是_____________(3) 当高由1 厘米变化到10厘米,圆锥的体积由________厘米3变化到_______厘米3.2、如图所示,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化,圆锥的体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中,自变量是____________,因变量是______________.(2) 如果圆锥底面半径为r (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与r 的关系式是_____________(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米,圆锥的体积由_____厘米3变化到______厘米3.(三).练习1、如图所示,长方形的长为12,宽为x,则(1)若设长方形的面积S,则面积S与宽x之间有什么关系?(2)若用C表示长方形的周长,则周长C与宽x之间有什么关系?(3)当x增加一倍,长方形的面积S 是如何变化的?周长C又是如何变化的?说一说你为什么会这样认为?做一做P196 随练习(四)课堂小结自变量和因变量之间的关系;根据关系式找出与自变量相应的因变量的数值。
第二课时●课 题§6.2 变化中的三角形 ●教学目标(一)教学知识点1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响,发展符号感.2.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系. (二)能力训练要求1.发展符号感和抽象思维能力.2.发展有条理的思考和表达能力,用变化的思想研究自变量和因变量的关系. (三)情感与价值观要求继续体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,发展对数学的认识. ●教学重点1.列关系式表示两个变量的关系.2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式,会利用关系式根据任何一个自变量的值,求出相应因变量的值.●教学难点将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来. ●教学方法启发——自主探究相结合在教师的启发和学生已有基础知识下,鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系,体会自变量和因变量的依存关系,借助关系式表示变量之间的关系.●教具准备课件演示一:三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动; 课件演示二:圆锥的底面半径由小到大的变化; 课件演示三:圆锥的高由小到大的变化. ●教学过程Ⅰ.创设情景,引入新课[师]我们先来看下面的问题:1.(1)如果正方形的边长为a ,则正方形的周长C =________;面积S =________; (2)圆的半径为r,则圆的面积S =________;(3)三角形的一边为a ,这边上的高为h ,则三角形的面积S =________; (4)梯形的上底、下底分别为a 、b ,高为h ,则梯形的面积S =________; (5)圆锥的底面的半径为r ,高为h ,则圆锥的体积V =________; (6)圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的体积V =________.(2)根据表格中的数据,说一说m 是怎样随n 而变化的?[生]1.(1)C =4a ,S =a 2;(2)S =πr 2;(3)S =21ah ;(4)S =21(a +b )h ;(5)V =31πr 2·h ;(6)V =πr 2·h .2.(1)表格中反映的是m 和n 这两个变量的关系,其中n 是自变量,m 是因变量. (2)m 随n 的增大而逐渐增大.[师]在第2题中,我们借助于表格,反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m 和n 的关系呢?[生]从表格中我发现有一个规律,每一个m 的值都比对应的n 的值大3.因此用等式m =n +3可以反映两个变量m ,n 的关系.[师]真棒!以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式,如今我们又要用等式来表示两个变量的关系,你们认同吗?[生]认同![师]很好.我们在这里就把m =n +3这个等式叫做m 随n 变化的关系式. Ⅱ.讲授新课——根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系. 1.变化中的三角形 看一看:课件演示一 看图回答下列问题:图6-2中的三角形ABC 底边BC 上的高是6厘米,当三角形的顶点C 沿着底边所在直线向B 点运动时,三角形的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量、因变量分别是什么?(2)如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可以表示为________.(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.图6-2[师]从上面的课件演示过程来回答上面的问题.[生](1)自变量是△ABC 的底边BC 的长,因变量是△ABC 的面积. [生](1)中的自变量也可以是∠ACB . (2)y =3x(3)当底边长是12厘米时,y =21×12×6=36(平方厘米);当底边长是3厘米时,y =21×3×6=9(平方厘米).因此当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.[师]从同学们的回答中可以看到y=3x 表示了三角形的底边长x 和面积y 之间的关系,它是变量y 随变量x 变化的关系式.因此,关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.(让同学们与同伴交流,教师可倾听一下同学们在下面的说法).[生]用表格法表示变量之间的关系,只有自变量和因变量对应的的有限个值,但较直观.而关系式表示变量之间的关系,根据自变量的任何一个值,便可求出相应的因变量的值.[师]同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗?看图6-3:直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系,即“输入”一个x 的值就可以“输出”一个y 的值.例如:输入x =2,则就可输出y =3×2=6.图6-32.变化中的圆锥做一做:课件演示二如图6-4,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)如果圆锥底面半径为r (厘米),那么圆锥的体积V (厘米3)与r 的关系式为________.(3)当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.图6-4[师]根据课件演示回答上述问题.[生](1)自变量是圆锥的底面半径,因变量是圆锥的体积; (2)V =34πr 2;(3)当底面半径r 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积V 由34π厘米3→3400π厘米3.做一做:课件演示三 看图回答下列问题:如图6-5,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?(2)如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V (厘米3)与h 的关系式为________.(3)当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.图6-5[生](1)自变量是圆锥的高,因变量是圆锥的体积;(2)V =34πh ;(3)当h 由1厘米→10厘米时,圆锥的体积是由34厘米3→340厘米3.[师]在课件演示二中,我们知道当底面半径即自变量r 由1厘米→10厘米时,因变量V 由34π厘米3→3400π厘米3;而在课件演示三中,当自变量h 也是由1厘米→10厘米时,因变量V 却是由34π厘米3→34π厘米3.为什么呢?[生]这是由于它们的关系式不同.r 与V 的关系式是V =34πr 2;而h 与V 的关系式是V =34πh .Ⅲ.课堂练习1.随堂练习(课本P 169第1题)在地球某地,温度T (℃)与高度d (m )的关系可以近似地用T =10-150d 来表示.根据这个关系式,当d 的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T 值,并用表格表示所得结果.图6-6[分析]本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系,体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中,学生可利用计算器,并保留两位小数.圆柱的高是10厘米,圆柱的底面半径为R 厘米,圆柱的侧面展开图的面积为S 平方厘米.(1)写出圆柱的侧面展开图的面积S 与圆柱底面半径R 之间的关系式.(2)用表格表示R 从1厘米到10厘米(每一次增加1厘米)时,S 相应的值. (3)R 每增加1厘米,S 如何变化? 解:(1)S =20πR ;Ⅳ.课时小结[师]这节课,同学们有何体会和收获呢?[生]这节课,我们研究了某些图形中变量之间的关系,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响.[生]我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外,还可以用关系式,并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.[生]课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.[生]用数学符号能表示现实世界中的一些规律,能用数学的角度去看世界. [师]看来,同学们的收获还真不小!祝你们生活的快乐! Ⅴ.课后作业1.课本P 169,读一读,去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中,告诉我们随着地球内部厚度的增加,温度也在发生着变化.2.课本P 170 1、2. Ⅵ.活动与探究我省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a 元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a 元收费,超过的部分每立方米按c 元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费(1)求a 、c 的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y 与x 之间的关系式;(2)若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元? [过程]该题结合生活实际,立意新颖,可以培养学生节约用水的社会意识.在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意,由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式,求a 、c 的值,只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.[结果](1)依照题意,有 当x ≤6时,y=ax ;当x >6时,y=6a +c (x -6).由已知,得7.5=5a ① 27=6a +3c ② 由①得a =1.5 把a =1.5代入②得c =6,所以y=1.5x (x ≤6);y=9+6(x -6)=6x -27(x >6). (2)将x =8代入y=6x -27(x >6)得 y=6×8-27=21(元)所以,该户5月份的水费是21元. ●板书设计§6.2 变化中的三角形 一、看一看课件演示一:变化中的三角形①关系式表示变量之间关系的又一种方法.②根据任何一个自变量的值,利用关系式,便可求出相应的因变量的值. 二、做一做课件演示二:高为4厘米时,圆锥的体积与底面半径R 的关系:V =34πr 2.课件演示三:V =34πh .三、练习(由学生板演) 四、小结。