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【工程数学课件】算子范数

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范数

范数
p p p
常用的算子范数： n
j 1 n
可证（例6）。 || A || m ax | aij | （行和范数） 1 i n
i 1
|| A ||1 m ax | aij | （列和范数） 1 j n
|| A ||2
max ( AT A) （谱范数 ( spectral norm ) ）
( Error Analysis for Linear system of Equations )
思考:求解 A x b 时, A 和 b 的误差对解 x 有何影响？ 设 A 精确，b 有误差 b ，得到的解为 x x ，即
A( x x) b b
1
绝对误差放大因子
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
Rn空间的向量范数
n || · ,对任意 x , y R 满足下列条件 ||

i1
n
| xi |
|| x ||
2

i1
n
| x |
i
2
|| x || max | x i |
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
|| A || 1

② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I

数值计算方法-范数

数值计算方法-范数

0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2

Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n


x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0

第五章 范数,序列,级数

第五章 范数,序列,级数

第五章范数,序列,级数§5.1 向量范数Holder不等式与Minkowski不等式/p+v/q
Holder不等式Minkowski不等式
∞-范数的性质同一向量的三种范数之间的大小关系向量范数的等价
按范数收敛按范数收敛续§5.2 矩阵范数
矩阵的向量范数不一定是矩阵范数矩阵范数的例子
矩阵Frobenius范数Frobenius范数与向量2-范数相容矩阵范数的等价性§5.3 诱导范数(算子范数)
向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)向量范数诱导的矩阵范数(算子范数)矩阵p-范数矩阵谱范数
矩阵的谱半径矩阵的范数和谱半径的关系正规矩阵的谱范数等于其谱半径矩阵范数小于1的方阵§5.4 矩阵序列与极限
矩阵(向量)序列极限的性质矩阵序列极限的性质(4)的证明矩阵序列按范数收敛的概念矩阵序列收敛与按范数收敛等价
方阵收敛于零的充要条件续判断矩阵序列X的敛散性§5.5 矩阵序列与极限正项级数的一些性质
矩阵级数绝对收敛的充要条件矩阵幂级数的概念
矩阵幂级数绝对收敛的充分条件矩阵幂级数收敛判别举例
矩阵幂级数绝对收敛的充要条件的注矩阵幂级数收敛的充要条件应用举例。

范数及条件数PPT课件

范数及条件数PPT课件

定义 设λi(i 1,2,...,n)为矩阵A的特 征值, 则称
(
A)
max{|
1in
i
|}
为矩阵A的谱半径。
矩阵A的谱半径 ( A)不是A的一种范数,
但可能与A的任何一种范数有某种关系。
第16页/共34页
例题
求矩阵A
2 2
41的谱半径。
解：由|| I A || 2
1 0
2 4
特征值 1 3 3, 2 3 3。
第4页/共34页
例 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算
x ,x ,x
1
2
解:
x 1
=1+0+|-1|+2=4
x 12 02 (1)2 22 6 2
x max(1,0, 1,2) 2
第5页/共34页
• 有了范数的概念，就可以讨论向量序列的收敛性问题。
• 定义2：设给定Cn中的向量序列{xk}，即x0，x1，…，xk，…
第8页/共34页
定理 设x Rn , A Rnn ,并在Rn上定义向量范数 || x ||,
则
|| A || max || Ax || max || Ax ||
x0 || x || ||x||1
为R nn上的矩阵范数, 且称其为算子范数。
证：设A (aij )为任意n阶方阵，x为任意
n维非零向量。因为
A1 || ||A ||
|| A||
|| A1 || ||A
||
|| A||
第29页/共34页
注: cond (A) 的具体大小与 || ·|| 的取法有关，但相对
大小一致。
cond (A) 取决于A，与解题方法无关

4-1-2-3-4向量范数

4-1-2-3-4向量范数

A 0 且 A 0 A 0 A A C, A C mn
（3）三角不等式
AB A B
(4)相容性
AB A B A, B C mn
则 A 称为A的范数。
第17页，共50页。
矩阵范数的性质： (1) A A
(2) A B A B
矩阵范数同向量范数具有类似的性质，比如等价性：
Dn x x1, x2 ,, xn T x 1
知 A在x D n上取到最大值。
第22页，共50页。
最后证明 A 成为矩阵范数
正定性: 设 A 0, 则存在 x0 0 C n , 使 Ax0 0,
于是
A Ax0 0;
x0
Ax
Ax
齐次性: 由 A max
max
x0 x
x0
x
第8页，共50页。
定理 在向量空间C n中, 向量范数满足
lim X X
p
p
证明 当X=0时，结论显然成立。设
则
X
n
(
p i 1
xk
p
xi xk
p1
)p
xk
X
0, xk
max i
xi
n
(
xi
p1
)p
i1 xk
因为
n
xk p xi p n xk p i 1
故
n
1 (
xi
p1
1
) p n p 1( p )
则称矩阵范数与向量范数是相容的。
定理2 设 是 C上n的n 相容矩阵范数，则在 上存C 在n 与
相容 的向量范数
证明：任取一非零向量 C n 定义向量X的范数为
X X H X Cn
容易验证 是 C n 上的向量范数，并且

数值分析12-范数

数值分析12-范数
第六章 线性方程组的迭代解法
第二节 向量和矩阵的范数
向量范数
定义 对 xRn，若存在对应的非负实数 ||x||，满足
1) ||x|| 0，且等号当且仅当 x=0 时成立； ( 正定性 ) 2) 对任意实数 ，有 ||x||＝||· ； ( 齐次性 ) ||x|| 3) 对任意 x 和 y，有 ||x+y|| ||x|| + ||y|| ； ( 三角不等式 ) 则称 ||x|| 为向量 x 的范数。
迭代过程的收敛性
迭代法的收敛条件
X ( k 1) GX k d
定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式
收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(G) < 1。
定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数
G 1 则上述
确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组
X = GX + d的唯一解x*。
迭代收敛的充分条件
定理 3
对给定方阵 G，若 G 1 ，则矩阵 I-G 为非奇异.
证 用反证法. 若 I-G 为奇异阵，则存在非零向量 x，使 （I- G）x = 0 即有 x = Gx 于是据式（17）得 由于 x≠ 0，又按题设 G <1，故上式不可能成立. 命题得证.
收敛性的证明
定理 4 若迭代矩阵 G 满足 则迭代公式（23）对于任意初值 x（0）均收敛. 证 由于 ，据定理 3知 I-G 为非奇异阵， 因此 方程组（22）有唯一解 x*： 得
常见向量范数： x 1 | x1 | | x2 | | xn |
x
p
| xi | p i 1
n
1 p
x 2 | x1 |2 | x2 |2 | xn |2 x

工程数学第6讲-资料.ppt


定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得
AB=BA=I,
(2.22)
就称A为可逆矩阵, (简称A可逆), 并称B是A的
逆矩阵, 记作A-1, 即A-1=B.
由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于(2.22)式中, A与B的地位是平等的, 所以 也可称A是B的逆矩阵.
定理1 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一 的. 证 设B和C都是A的逆矩阵, 则由
用高斯消元法解线性方程组, 其消元步骤是对 增广矩阵做三类行变换: (i) 以非零常数c乘矩阵的某一行; (ii) 将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行; (iii) 将矩阵的某两行对换位置. 这三类行变换统称为矩阵的初等行变换, (i)称 为倍乘变换, (ii)称为倍加变换, (iii)称为对换 变换. 在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列 式), 也要对矩阵作上述三类初等列变换, 初等 行,列变换统称为初等变换.
初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作 用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表达, 而 且可用矩阵的乘法运算来表示, 为此要引入初 等矩阵的概念. 定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵 称为初等矩阵.
A
a11
a
2
1
a12
a
2
2
的行列式det A=a11a12-a12a21=d0, 则其逆矩阵
A-1
1A* d
d1-aa2221
-a12
a11
例3 设方阵满足方程A2-3A-10I=O, 证明A, A+4I都可逆, 并求它们的逆矩阵.
A110
(
A
-
3I
)
I
,故A可逆,
A-1
1 10

9-5自伴算子、酉算子和正常算子 ppt课件

§9.5 自伴算子、酉算子和正常算子 主要内容
1.自伴算子、酉算子和正常算子的定义 2.自伴算子、酉算子和正常算子的性质
PPT课件
1
一 自伴算子、酉算子和正常算子的定义
定义1 设 T为Hilbert空间 X 到 X 中的 有界线性算子,若 T T*，则称 T 为 X上的 自伴算子；若 TT * T *T,则称 T 为 X 上的
设 T为 X到 X上的保范算子，所以 T 是一
PPT课件
15
对一的，并且对任何 x X ，有
T*Tx, x Tx, Tx x, x ,
所以 (T *T I )x , x 0 .由引理1，T*T I. 又因 T是映射到 X上的，故 T 1 在全空间 X 上有定义，由于 T *T I，所以 T*TT 1 T 1. 即 T* T 1 .所以 T是酉算子.证毕.
PPT课件
16
下面介绍正常算子的一些基本性质.
设 T是复 Hilbert 空间 X 上的有界算子,令
A T T* ,B T T*
2
2i
容易证明 A和 B是自伴算子,并且有 T A iB
称 A和 B分别为算子 T 的实部和虚部，并称
T A iB 为算子 T的笛卡尔分解.
PPT课件
T *T TT * I
(2)
其中 I为 X上恒等算子；
PPT课件
3
X
反之,若（2）式成立,则 T为 X 上的酉算子.
所以 T为酉算子的充要条件是（2）式成立.
又由（2）式知，酉算子必为正常算子，但
正常算子不一定是酉算子.
例如 T 2iI ，则 T * 2iI ，所以
TT* T*T 4I，即 T是正常算子,但显然 T 不是自伴算子和酉算子.

算子范数


A H Ax x
若 0
A A非满秩
H
H
AA 非满秩
H
0 也是AA 的特征值
若 0
y Ax 0
AAH y AAH Ax A(x ) Ax y
也是AA H 的特征值
A 同理可证: AA 的特征值也是 A的特征值
|| A ||2 r ( A A) r ( AA ) || A
|| Bx ||a || A ||a max || A ||a || B ||a x 0 || x ||a
算子范数的特性：
1) 它是所有与向量范数 x ||a 相容的矩阵范数中 ||
最小的.
证
|| Ax ||a || A || || x ||a
x P n
|| Ax ||a || A || 0 x P n || x ||a
证
f ( X ) X H ( AH A) X ( AX ) H AX 0
1 2 n 0; X i是对应i的单位正交特征向量
设 u P 且 || u || 2 1
n
u a1 X 1 a2 X 2 an X n
|| u || 2 u u || a1 || || a2 || || an || 1
i j 1 n
被称为极大行和范数 .
证
|| Ax || max {|
i k 1 n
aik xk |}
n
max { | a ik | | x k |}
i k 1
max{ | aik | max | xk |}
i k 1 i
n
max{ | aik |} max{| xk |}

有界线性算子和连续线性泛函.ppt


t nd ,t [a, a 1 ]
a
n
a
1 n
n
d
,
t
(a
1
,b]
a
n
因此
n(t a),t [a,
1,t (a 1
a ,b]
1 n
]
n
bt
Tfn 1 a a fn ( )d dt
a1 t
bt
a n a fn ( )d dt a1 a fn ( )d dt
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3
有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数大意
第一节 有界线性算子与 连续线性泛涵
1 线性算子和线性泛函的定义
设X和Y是两个同为实或复的线性空间, DT 是X的线
性子空间,T : DT Y ,x,y X ,及数α, β,成立 T αx βy αTx βTy,
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
证明 若 T 有界，由（3）式，当 xn x(n ) 时，因为 Txn Tx c xn x
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
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k1 k1
i 1
nn
n
( | aik |) • | xk |
i1k 1
k 1
|| A ||m1 • || x ||1
例 2 设 x Pn, A Pnn，则|| A ||m2 是与|| x ||2
相容的矩阵范数.
证: || Ax ||22 n | ai1x1 ai2 x2 ainxn |2
3)
||
A
B
||a
max
x
||
(
A B)x || x ||a
||a
max || Ax ||a || Bx ||a
x
|| x ||a
max || Ax ||a max || Bx ||a x || x ||a x || x ||a
|| A ||a || B ||a
推论 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数, A、B P nn , || A ||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相容的 矩阵范数，即
|| AB ||a || A ||a || B ||a
证:
||
AB
||a
max
x
||
ABx ||a || x ||a
max || A ||a || Bx ||a
x
|| x ||a
||
A ||a
max
x
|| Bx ||a || x ||a
|| A ||a || B ||a
算子范数的特性：
三、 谱范数的性质
定理 6 设 A C nn，则 (1) || A ||2 || AH ||2 (2) 对任何 n 阶酉矩阵 U及V都有 || UA||2 || AV ||2 || UAV ||2 || A ||2
证
(1) AH Ax x 若 0 AH A非满秩 AAH非满秩
0 也是AAH的特征值
n
max{ | aik | max | xk |}
i k 1
i
n
max{ | aik |} max{| xk |}
i k 1
k
|| A || || x ||
|| Ax || || x ||
||
A ||
(1)
n
n
令 | asj | max (| aij |) 1 s n
j 1
i j1
1 || a1 ||2 2 || a2 ||2 n || an ||2
1(|| a1 ||2 || a2 ||2 || an ||2 ) 1
max || Au ||2 1
||u||2 1
又 || AX1 ||22 X1H AH AX1 X1H 1X1 1
|| A ||2 max || Au ||2 1 ||u||2 1
设 u Pn 且 || u ||2 1
u a1X1 a2 X2 an Xn || u ||2 uH u || a1 ||2 || a2 ||2 || an ||2 1
AH Au a11X1 a22 X2 ann Xn
|| Au ||22 ( Au)H Au uH AH Au
一、 算子范数
定义 1 设 || • ||a 是Pn上的向量范数，|| ||m 是 P nn上的矩阵范数，且
|| Ax ||a || A ||m|| x ||a 则称|| ||m 为与向量范数|| • ||a 相容的矩阵范数.
例 1 设 x Pn, A Pnn，则
nn
|| A ||m1
max || Ax ||1
x || x ||1
n
max | aij
j i1
| ||
A ||1
例 5 从属于|| | max ( | aij |) i j1
被称为极大行和范数.
n
证 || Ax || max{| aik xk |}
i
k 1
n
max{ | aik | | xk |} i k 1
i1 j1
nn
| aij | | x j |
i1 j1
nn
| aij | | x j |
j1 i 1
nn
( | aij |) | x j |
j1 i 1
n
n
(max | aij |) | x j |
j1 j i 1
n
n
(max | aij |) | x j |
j i 1
j 1
|| Ax0 ||a 0, || x0 ||a 0
||
A ||a
|| Ax0 ||a || x0 ||a
0
2)
||
A
||a
max
x
||
Ax ||a
|| x ||a
max | | || Ax ||a
x || x ||a
| | max || Ax ||a
x || x ||a
| | || A ||a
|| A ||2 || AH ||2
(2) || UA ||22 r[(UA)H (UA)] r[AHU HUA] r( AH A) || A ||22
(
max
||u||a 1
||
Au
||a
)
是与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数.
证:
||
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
||
A
||a
|| Ax ||a || x ||a
|| A ||a || x ||a || Ax ||a
1) A 0 Pn中存在 x0 0 Ax0 0
1) 它是所有与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数中 最小的.
证
|| Ax ||a || A || || x ||a x Pn
|| Ax ||a || A || x Pn
|| x ||a
||
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
||
A ||
2) 它的两种表达形式
||
若 0 y Ax 0 AAH y AAH Ax A(x) Ax y 也是AAH的特征值
同理可证: AAH的特征值也是AH A的特征值
|| A ||2 r( AH A) r( AAH ) || AH ||2
| E ( AT )H AT || E ( AAH )T || E AAH |
|| A ||1 || x ||1
|| Ax ||1 || x ||1
||
A ||1
n
n
令 | ais | max ( | aij |)
i 1
j i 1
A (1,2 , ,n )
1 s n
|| s ||1
第s个
取 s 0 0 1 0 0
|| s ||1 1
|| A s ||1 || s ||1 || s ||1
i 1
nn
n
[( | aij |2 ) • ( | x j |2 )]
i1 j1
j 1
nn
n
( | aij |2 ) • | x j |2
i1 j1
j 1
|| A ||2m2 • || x ||22
定理 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数, A P nn ,则
||
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
| aij |
j1 i1
是与向量范数|| • ||1 相容的矩阵范数.
nn
证 || Ax ||1 | aik xk |
i1 k1
nn
| aik || xk |
i1 k1
nn
| aik || xk |
k1 i1
n
n
(| xk | | aik | )
k 1
i 1
nn
n
( | xk | | aik | )
记 asj | asj | ei j ( j 1,2, , n)
z (ei1 , ei2 , , ein )
|| z || 1
|| Az || |
n asj e i j |
n
| asj |
j 1
j 1
|| z ||
|| Az || || z ||
||
A ||
(2)
n
|| A || max ( | aij |) i j1
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
(
max
u1
||
Au ||a )
3) 它是自相容矩阵范数(推论1).
例 4 从属于向量范数|| x ||1 的算子范数为
n
|| A ||1 max ( | aij |) j i 1
被称为极大列和范数.
nn
证 || Ax ||1 | aij x j |
定义 2 设 A C nn，i是A的特征值，则 r( A) max | i |称为A的谱半径.
i
例 6 设 A Pmn，则从属于|| x ||2 的算子 范数（又称为谱范数）为
|| A ||2 r( AH A) 证 f ( X ) X H ( AH A)X ( AX )H AX 0
1 2 n 0; X i是对应i的单位正交特征向量