09中考数学试题分类8.一元二次方程解法及应用(学生版)

一元二次方程的应用知识要点：1、应用一元二次方程解决面积类的应用题。

2、应用一元二次方程解决平均增长（减少）类的应用题。

3、应用一元二次方程解决销售定价类的应用题。

典例精析：例1：如图，是上海世博园内一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草.已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？变式练习1：现有60米的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场的一边利用一面长度为20米的墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开．若养鸡场的面积为225平方米，那么与墙平行的一边长是多少？例2：(2010临沂市) 为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元.（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？变式练习2：（2012钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．例3：(2010 江苏省南京市) 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需化简）：（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？变式练习3：(2010 辽宁省铁岭市) 某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？例4：(2011淄博市) 已知：的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2的周长是多少？变式练习4：已知ABC △的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程 22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长．巩固练习： 1、（2012•湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．55002)1(x +=4000B ．55002)1(x -=4000C ．40002)1(x -=5500D ．40002)1(x +=55002、（2012•泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（ ）A ．362)1(x -=36-25B ．36（1-2x ）=25C ．362)1(x -=25D ．36)1(2x -=253、（2011•吉林）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为（ ） A ．x （x-10）=200 B ．2x+2（x-10）=200 C ．x （x+10）=200 D ．2x+2（x+10）=2004、(2011 吉林省) 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．(10)200x x -=B ．22(10)200x x +-=C ．(10)200x x +=D ．22(10)200x x ++=5、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或85C ．48D ．856、（2012佛山）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是________；7、如图（1），在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m 2,求道路宽为多少？设道路宽为x m ，8、如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是 _____m （可利用的围墙长度超过6m ）．9、我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有 ________人进入半决赛．10、等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是____________11、（2012•襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）12、（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．13、（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？14、（2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？15、（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？2、小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值．3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？初三承诺班数学课堂小测第四讲 一元二次方程的应用学号： 姓名： 得分：（限时10分钟） 1、（2012•娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2892)1(x -=256B ．2562)1(x -=289C ．289（1-2x ）=256D ．256（1-2x ）=2892．（2012•成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．100（1+x ）=121B ．100（1-x ）=121C ．1002)1(x +=121D ．1002)1(x -=1213、如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长（x ＞y ），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A ．x+y=7B ．x-y=2C ．22y x +=25D ．4xy+4=494、如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（ ）A ．5米B ．3米C ．2米D ．2米或5米5、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）A ．25B ．36C ．25或36D ．-25或-366、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，结果全组共送了贺年卡56卡，则这个小组共有（ ）A ．7人B ．8人C ．14人D ．4人7、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为_____8、若两数和为-7，积为12，则这两个数是_________9、随着近期国家抑制房价新政策的出台，某小区房价两次下跌，由原来的每平方米6000元降至每平方米4860元，则每次降价的百分率为 _______10、一个凸多边形共有9条对角线，则这个多边形的边数是_____参考答案：例1：解：设正方形观光休息亭的边长为x 米.依题意，有(1002)(502) 3 600.x x --=整理，得2753500.x x -+=解得12570.x x ==， 7050x => ，不合题意，舍去， 5.x ∴=答：矩形花园各角处的正方形观点休息亭的边长为5米.变式练习1：解这个方程得：45,1521==x x因为墙的长度仅有20米，因此与墙平行的一边长只可以取15米答：与墙平行的一边长为15米或45米。

一元二次方程及其应用一、选择题1. ( 2021•广东,第8题3分)关于x的一元二次方程x2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根,那么实数m的取值范围为()A．B．C．D．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先根据判别式的意义得到△ = (﹣3 )2﹣4m＞0 ,然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△ = (﹣3 )2﹣4m＞0 ,解得m＜．应选B．点评：此题考查了一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 )的根的判别式△ =b2﹣4ac：当△＞0 ,方程有两个不相等的实数根；当△ =0 ,方程有两个相等的实数根；当△＜0 ,方程没有实数根．2. ( 2021•广西玉林市、防城港市,第9题3分)x1 ,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx +m﹣2 =0的两个实数根,是否存在实数m使+=0成立?那么正确的选项是结论是()A．m =0时成立B．m =2时成立C．m =0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出,x1 +x2 =m ,x1x2 =m﹣2．假设存在实数m使+=0成立,那么=0 ,求出m =0 ,再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1 ,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx +m﹣2 =0的两个实数根, ∴x1 +x2 =m ,x1x2 =m﹣2．假设存在实数m使+=0成立,那么=0 ,∴=0 ,∴m =0．当m =0时,方程x2﹣mx +m﹣2 =0即为x2﹣2 =0 ,此时△ =8＞0 ,∴m =0符合题意．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1 ,x2是方程x2 +px +q =0的两根时,那么x1 +x2 =﹣p ,x1x2 =q．3．(2021年天津市,第10题3分)要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程方案安排7天,每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛,那么x满足的关系式为()A．x (x +1 ) =28 B．x (x﹣1 ) =28 C．x (x +1 ) =28 D．x (x﹣1 ) =28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2 =4×7 ,把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛(x﹣1 )场,但2队之间只有1场比赛,所以可列方程为：x (x﹣1 ) =4×7．应选B．点评：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决此题的关键是得到比赛总场数的等量关系,注意2队之间的比赛只有1场,最|后的总场数应除以2．4．(2021年云南省,第5题3分)一元二次方程x2﹣x﹣2 =0的解是() A．x1 =1 ,x2 =2 B．x1 =1 ,x2 =﹣2 C．x1 =﹣1 ,x2 =﹣2 D．x1 =﹣1 ,x2 =2考点：解一元二次方程－因式分解法．分析：直接利用十字相乘法分解因式,进而得出方程的根解答： 解：x 2﹣x ﹣2 =0(x ﹣2 ) (x +1 ) =0 ,解得：x 1 =﹣1 ,x 2 =2．应选：D ．点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程 ,正确分解因式是解题关键．5． (2021•四川自贡 ,第5题4分 )一元二次方程x 2﹣4x +5 =0的根的情况是 ( )A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 只有一个实数根D ． 没有实数根考点：根的判别式． 分析：把a =1 ,b =﹣4 ,c =5代入△ =b 2﹣4ac 进行计算 ,根据计算结果判断方程根的情况． 解答：解：∵a =1 ,b =﹣4 ,c =5 , ∴△ =b 2﹣4ac = (﹣4 )2﹣4×1×5 =﹣4＜0 ,所以原方程没有实数根．应选：D ．点评：此题考查了一元二次方程ax 2 +bx +c =0 (a ≠0 ,a ,b ,c 为常数 )的根的判别式△ =b 2﹣4ac ．当△＞0 ,方程有两个不相等的实数根；当△ =0 ,方程有两个相等的实数根；当△＜0 ,方程没有实数根．6. (2021·云南昆明 ,第3题3分 )1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根 ,那么21x x ⋅等于 ( )A . 4-B . 1-C . 1D . 47. (2021·云南昆明 ,第6题3分 )某果园2021年水果产量为100吨 ,2021年水果产量为144吨 ,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ,那么根据题意可列方程为 ( )A . 100)1(1442=-xB . 144)1(1002=-xC . 100)1(1442=+xD . 144)1(1002=+x考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．分析： 果园从2021年到2021年水果产量问题 ,是典型的二次增长问题．解答： 解：设该果园水果产量的年平均增长率为x ,由题意有144)1(1002=+x ,应选D ．点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程 ,理解二次增长是做此题的关键．8． (2021•浙江宁波 ,第9题4分 )命题 "关于x 的一元二次方程x 2 +bx +1 =0 ,当b ＜0时必有实数解〞 ,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 ( )9. (2021•益阳,第5题,4分)一元二次方程x2﹣2x +m =0总有实数根,那么m应满足的条件是()A．m＞1 B．m =1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式,令△≥0 ,建立关于m的不等式,解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x +m =0总有实数根,∴△≥0 ,即4﹣4m≥0 ,∴﹣4m≥﹣4 ,∴m≤1．应选D．点评：此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1 )△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2 )△ =0⇔方程有两个相等的实数根；(3 )△＜0⇔方程没有实数根．10．(2021•呼和浩特,第10题3分)函数y =的图象在第|一象限的一支曲线上有一点A (a ,c ) ,点B (b ,c +1 )在该函数图象的另外一支上,那么关于一元二次方程ax2 +bx +c =0的两根x1 ,x2判断正确的选项是()A．x1 +x2＞1 ,x1•x2＞0 B．x1 +x2＜0 ,x1•x2＞0C．0＜x1 +x2＜1 ,x1•x2＞0 D．x1 +x2与x1•x2的符号都不确定考点：根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据点A (a ,c )在第|一象限的一支曲线上,得出a＞0 ,c＞0 ,再点B (b ,c +1 )在该函数图象的另外一支上,得出b＜0 ,c＜﹣1 ,再根据x1•x2 =,x1 +x2 =﹣,即可得出答案．解答：解：∵点A (a ,c )在第|一象限的一支曲线上,∴a＞0 ,c＞0 ,∵点B (b ,c +1 )在该函数图象的另外一支上,∴b＜0 ,c +1＜0 ,∴c＜﹣1 ,∴x1•x2 =＞0 ,0＜x1 +x2＜1 ,应选C．点评：此题考查了根与系数的关系,掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是此题的关键；假设x1 ,x2是关于x的一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 ,a ,b ,c为常数)的两个实数根,那么x1 +x2 =﹣,x1x2 =．11. (2021•菏泽,第6题3分)关于x的一元二次方程x2 +ax +b =0有一个非零根﹣b ,那么a ﹣b的值为( )A．1B．﹣1 C．0D．﹣2考点：一元二次方程的解．分析：由于关于x的一元二次方程x2 +ax +b =0有一个非零根﹣b ,那么代入方程中即可得到b2﹣ab +b =0 ,再将方程两边同时除以b即可求解．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax +b =0有一个非零根﹣b ,∴b2﹣ab +b =0 ,∵﹣b≠0 ,∴b≠0 ,方程两边同时除以b ,得b﹣a +1 =0 ,∴a﹣b =1．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解,解题的关键是把方程的根直接代入方程进而解决问题．12．(2021年山东泰安,第13题3分)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元；假设每盆增加1株,平均每株盈利减少元,要使每盆的盈利到达15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,那么可以列出的方程是()A．(3 +x ) (4﹣x ) =15 B．(x +3 ) (x ) =15C．(x +4 ) (3﹣x ) =15 D．(x +1 ) (4﹣x ) =15分析：根据假设每盆花苗增加x株,那么每盆花苗有(x +3 )株,得出平均单株盈利为(4﹣x )元,由题意得(x +3 ) (4﹣x ) =15即可．解：设每盆应该多植x株,由题意得(3 +x ) (4﹣x ) =15 ,应选A．点评：此题考查了一元二次方程的应用,根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．二.填空题1. ( 2021•广西贺州,第16题3分)关于x的方程x2 + (1﹣m )x +=0有两个不相等的实数根,那么m的最|大整数值是0．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△ = (1﹣m )2﹣4×＞0 ,然后解不等式得到m的取值范围,再在此范围内找出最|大整数即可．解答：解：根据题意得△ = (1﹣m )2﹣4×＞0 ,解得m＜,所以m的最|大整数值为0．故答案为0．点评：此题考查了一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 )的根的判别式△ =b2﹣4ac：当△＞0 ,方程有两个不相等的实数根；当△ =0 ,方程有两个相等的实数根；当△＜0 ,方程没有实数根．2．(2021•舟山,第11题4分)方程x2﹣3x =0的根为．考点：解一元二次方程－因式分解法分析：根据所给方程的系数特点,可以对左边的多项式提取公因式,进行因式分解,然后解得原方程的解．解答：解：因式分解得,x (x﹣3 ) =0 ,解得,x1 =0 ,x2 =3．点评：此题考查了解一元二次方程的方法,当方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用．3. (2021•扬州,第17题,3分)a ,b是方程x2﹣x﹣3 =0的两个根,那么代数式2a3 +b2 +3a2﹣11a﹣b +5的值为23．考点：因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系专题：计算题．分析：根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3 =0 ,b2﹣b﹣3 =0 ,即a2 =a +3 ,b2 =b +3 ,那么2a3 +b2 +3a2﹣11a﹣b +5 =2a (a +3 ) +b +3 +3 (a +3 )﹣11a﹣b +5 ,整理得2a2﹣2a +17 ,然后再把a2 =a +3代入后合并即可．解答：解：∵a ,b是方程x2﹣x﹣3 =0的两个根,∴a2﹣a﹣3 =0 ,b2﹣b﹣3 =0 ,即a2 =a +3 ,b2 =b +3 ,∴2a3 +b2 +3a2﹣11a﹣b +5 =2a (a +3 ) +b +3 +3 (a +3 )﹣11a﹣b +5=2a2﹣2a +17=2 (a +3 )﹣2a +17=2a +6﹣2a +17=23．故答案为23．点评：此题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．4. (2021•呼和浩特,第15题3分)m ,n是方程x2 +2x﹣5 =0的两个实数根,那么m2﹣mn +3m +n =8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m +n =﹣=﹣2 ,m•n =﹣5 ,直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2 +2x﹣5 =0的两个实数根,且一元二次方程的求根公式是解得：m =﹣1 ,n =﹣1﹣或者m =﹣1﹣,n =﹣1 ,将m =﹣1、n =﹣1﹣代入m2﹣mn +3m +n =8；将m =﹣1﹣、n =﹣1代入m2﹣mn +3m +n =8；故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式,根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．5. (2021•德州,第16题4分)方程x2 +2kx +k2﹣2k +1 =0的两个实数根x1 ,x2满足x12 +x22 =4 ,那么k的值为1．考点：根与系数的关系分析：由x12 +x22 =x12 +2x1•x2 +x22﹣2x1•x2 = (x1 +x2 )2﹣2x1•x2 =4 ,然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程,从而求得k的值．解答：解；x12 +x22 =4 ,即x12 +x22 =x12 +2x1•x2 +x22﹣2x1•x2 = (x1 +x2 )2﹣2x1•x2 =4 ,又∵x1 +x2 =﹣2k ,x1•x2 =k2﹣2k +1 ,代入上式有4k2﹣4 (k2﹣2k +1 ) =4 ,解得k =1．故答案为：1．点评：此题考查了一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 )的根与系数的关系：假设方程的两根为x1 ,x2 ,那么x1 +x2 =﹣,x1•x2 =．6．(2021•济宁,第13题3分)假设一元二次方程ax2 =b (ab＞0 )的两个根分别是m +1与2m﹣4 ,那么=4．考点：解一元二次方程－直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得到x =±,得到方程的两个根互为相反数,所以m +1 +2m﹣4 =0 ,解得m =1 ,那么方程的两个根分别是2与﹣2 ,那么有=2 ,然后两边平方得到=4．解答：解：∵x2 =(ab＞0 ) ,∴x =±,∴方程的两个根互为相反数,∴m +1 +2m﹣4 =0 ,解得m =1 ,∴一元二次方程ax2 =b (ab＞0 )的两个根分别是2与﹣2 ,∴=2 ,∴=4．故答案为4．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2 =p或(nx +m )2 =p (p≥0 )的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2 =p的形式,那么可得x =±p；如果方程能化成(nx +m )2 =p (p≥0 )的形式,那么nx +m =±p．三.解答题1. ( 2021•广西玉林市、防城港市,第24题9分)我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆,为了缓解城区交通拥堵状况,今年年初,市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过万辆,估计每年|报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10% ,假定每年新增电动车数量相同,问：(1 )从今年年初起每年新增电动车数量最|多是多少万辆?(2 )在(1 )的结论下,今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少? (结果精确到0.1% )考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：(1 )根据题意分别求出今年将|报废电动车的数量,进而得出明年|报废的电动车数量,进而得出不等式求出即可；(2 )分别求出今年年底电动车数量,进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．解答：解：(1 )设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆,由题意可得出：今年将|报废电动车：10×10% =1 (万辆) ,∴[ (10﹣1 ) +x] (1﹣10% ) +x ,解得：x≤2．答：从今年年初起每年新增电动车数量最|多是2万辆；(2 )∵今年年底电动车拥有量为：(10﹣1 ) +x =11 (万辆) ,明年年底电动车拥有量为：万辆,∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y ,那么11 (1 +y ) ,解得：y≈0.082 =8.2%．答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用,分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．2．( (2021•新疆,第19题10分)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB ,BC各为多少米?考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：设AB的长度为x ,那么BC的长度为(100﹣4x )米；然后根据矩形的面积公式列出方程．解答：解：设AB的长度为x ,那么BC的长度为(100﹣4x )米．根据题意得(100﹣4x )x =400 ,解得x1 =20 ,x2 =5．那么100﹣4x =20或100﹣4x =80．∵80＞25 ,∴x2 =5舍去．即AB =20 ,BC =20．答：羊圈的边长AB ,BC分别是20米、20米．点评：此题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出适宜的等量关系,列出方程,再求解．年广东汕尾,第22题9分)关于x的方程x2 +ax +a﹣2 =0(1 )假设该方程的一个根为1 ,求a的值及该方程的另一根；(2 )求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根．分析：(1 )将x =1代入方程x2 +ax +a﹣2 =0得到a的值,再根据根与系数的关系求出另一根；(2 )写出根的判别式,配方后得到完全平方式,进行解答．解：(1 )将x =1代入方程x2 +ax +a﹣2 =0得,1 +a +a﹣2 =0 ,解得,a =；方程为x2 +x﹣=0 ,即2x2 +x﹣3 =0 ,设另一根为x1 ,那么1x1 =﹣,x1 =﹣．(2 )∵△ =a2﹣4 (a﹣2 ) =a2﹣4a +8 =a2﹣4a +4 +4 = (a﹣2 )2+4≥0 ,∴不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根．点评：此题考查了根的判别式和根与系数的关系,要记牢公式,灵活运用．4. (2021•毕节地区,第25题12分)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最|低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元．每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件．(1 )假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10 ) ,求出y关于x的函数关系式；(2 )假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用分析：(1 )每件的利润为6 +2 (x﹣1 ) ,生产件数为95﹣5 (x﹣1 ) ,那么y =[6 +2 (x﹣1 )][95﹣5 (x﹣1 )]；(2 )由题意可令y =1120 ,求出x的实际值即可．解答：解：(1 )∵第|一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润加2元,但一天生产量减少5件．∴第x档次,提高的档次是x﹣1档．∴y =[6 +2 (x﹣1 )][95﹣5 (x﹣1 )] ,即y =﹣10x2 +180x +400 (其中x是正整数,且1≤x≤10 )；(2 )由题意可得：﹣10x2 +180x +400 =1120整理得：x2﹣18x +72 =0解得：x1 =6 ,x2 =12 (舍去)．答：该产品的质量档次为第6档．点评：此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最|大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首|先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最|优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最|大值(或最|小值) ,也就是说二次函数的最|值不一定在x =时取得．5. (2021•襄阳,第16题3分)假设正数a是一元二次方程x2﹣5x +m =0的一个根,﹣a是一元二次方程x2 +5x﹣m =0的一个根,那么a的值是5．考点：一元二次方程的解分析：把x =a代入方程x2﹣5x +m =0 ,得a2﹣5a +m =0① ,把x =﹣a代入方程方程x2 +5x﹣m =0 ,得a2﹣5a﹣m =0② ,再将① +② ,即可求出a的值．解答：解：∵a是一元二次方程x2﹣5x +m =0的一个根,﹣a是一元二次方程x2 +5x﹣m =0的一个根,∴a2﹣5a +m =0① ,a2﹣5a﹣m =0② ,① +② ,得2 (a2﹣5a ) =0 ,∵a＞0 ,∴a =5．故答案为5．点评：此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6. (2021•湘潭,第26题)二次函数y =﹣x2 +bx +c的对称轴为x =2 ,且经过原点,直线AC解析式为y =kx +4 ,(1 )求二次函数解析式；(2 )假设= ,求k；(3 )假设以BC为直径的圆经过原点,求k．(第1题图)考点：二次函数综合题．分析：(1 )由对称轴为x =﹣,且函数过(0 ,0 ) ,那么可推出b ,c ,进而得函数解析式．(2 )= ,且两三角形为同高不同底的三角形,易得= ,考虑计算方便可作B ,C对x轴的垂线,进而有B ,C横坐标的比为=．由B ,C为直线与二次函数的交点,那么联立可求得B ,C坐标．由上述倍数关系,那么k易得．(3 )以BC为直径的圆经过原点,即∠BOC =90° ,一般考虑表示边长,再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂,根本不考虑,再考虑(2 )的思路,发现B ,C横纵坐标恰好可表示出EB ,EO ,OF ,OC．而由∠BOC =90° ,易证△EBO∽△FOC ,即EB•FC =EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去,进而可得k值．解答：解：(1 )∵二次函数y =﹣x2 +bx +c的对称轴为x =2 ,且经过原点,∴﹣=2 ,0 =0 +0 +c ,∴b =4 ,c =0 ,∴y =﹣x2 +4x．(2 )如图1 ,连接OB ,OC ,过点A作AE⊥y轴于E ,过点B作BF⊥y轴于F ,∵= ,∴= ,∴= ,∵EB∥FC ,∴==．∵y =kx +4交y =﹣x2 +4x于B ,C ,∴kx +4 =﹣x2 +4x ,即x2 + (k﹣4 )x +4 =0 ,∴△ = (k﹣4 )2﹣4•4 =k2﹣8k ,∴x =,或x =,∵x B＜x C ,∴EB =x B =,FC =x C =, ∴4•=,解得k =9 (交点不在y轴右边,不符题意,舍去)或k =﹣1．∴k =﹣1．(3 )∵∠BOC =90° ,∴∠EOB +∠FOC =90° ,∵∠EOB +∠EBO =90° ,∴∠EBO =∠FOC ,∵∠BEO =∠OFC =90° ,∴△EBO∽△FOC ,∴,∴EB•FC =EO•FO．∵x B =,x C =,且B、C过y =kx +4 ,∴y B =k•+4 ,y C =k•+4 ,∴EO =y B =k•+4 ,OF =﹣y C =﹣k•﹣4 , ∴•= (k•+4 )•(﹣k•﹣4 ) ,整理得16k =﹣20 ,∴k =﹣．点评：此题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的根本知识．题目特殊,貌似思路不难,但假设思路不对,计算异常复杂,题目所折射出来的思想,考生应好好理解掌握．7. (2021•株洲,第21题,6分)关于x的一元二次方程(a +c )x2 +2bx + (a﹣c ) =0 ,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1 )如果x =﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由；(2 )如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由；(3 )如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．考点：一元二次方程的应用．分析：(1 )直接将x =﹣1代入得出关于a ,b的等式,进而得出a =b ,即可判断△ABC的形状；(2 )利用根的判别式进而得出关于a ,b ,c的等式,进而判断△ABC的形状；(3 )利用△ABC是等边三角形,那么a =b =c ,进而代入方程求出即可．解答：解：(1 )△ABC是等腰三角形；理由：∵x =﹣1是方程的根,∴ (a +c )× (﹣1 )2﹣2b + (a﹣c ) =0 ,∴a +c﹣2b +a﹣c =0 ,∴a﹣b =0 ,∴a =b ,∴△ABC是等腰三角形；(2 )∵方程有两个相等的实数根,∴ (2b )2﹣4 (a +c ) (a﹣c ) =0 ,∴4b2﹣4a2 +4c2 =0 ,∴a2 =b2 +c2 ,∴△ABC是直角三角形；(3 )当△ABC是等边三角形,∴ (a +c )x2 +2bx + (a﹣c ) =0 ,可整理为：2ax2 +2ax =0 ,∴x2 +x =0 ,解得：x1 =0 ,x2 =﹣1．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识,正确由获取等量关系是解题关键．8. (2021年江苏南京,第22题,8分)某养殖户每年的养殖本钱包括固定本钱和可变本钱,其中固定本钱每年均为4万元,可变本钱逐年增长,该养殖户第1年的可变本钱为万元,设可变本钱平均的每年增长的百分率为x．(1 )用含x的代数式表示第3年的可变本钱为(1 +x )2万元．(2 )如果该养殖户第3年的养殖本钱为万元,求可变本钱平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实际问题的运用%]分析：(1 )根据增长率问题由第1年的可变本钱为万元就可以表示出第二年的可变本钱为(1 +x ) ,那么第三年的可变本钱为(1 +x )2 ,故得出答案；(2 )根据养殖本钱=固定本钱+可变本钱建立方程求出其解即可．解答：(1 )由题意,得第3年的可变本钱为：(1 +x )2 ,故答案为：(1 +x )2；(2 )由题意,得(1 +x )2 ,解得：x1 ,x2 =﹣(不合题意,舍去)．答：可变本钱平均每年增长的百分率为10%．点评：此题考查了增长率的问题关系的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．9. (2021年江苏南京,第24题)二次函数y =x2﹣2mx +m2 +3 (m是常数)．(1 )求证：不管m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点；(2 )把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?考点：二次函数和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用分析：(1 )求出根的判别式,即可得出答案；(2 )先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可．(1 )证明：∵△ = (﹣2m )2﹣4×1× (m2 +3 ) =4m2﹣4m2﹣12 =﹣12＜0 ,∴方程x2﹣2mx +m2 +3 =0没有实数解,即不管m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点；(2 )解答：y =x2﹣2mx +m2 +3 = (x﹣m )2 +3 ,把函数y = (x﹣m )2 +3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y = (x﹣m )2的图象,它的顶点坐标是(m ,0 ) ,因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,所以,把函数y =x2﹣2mx +m2 +3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．点评：此题考查了二次函数和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比拟好,有一定的难度．10. (2021•泰州,第17题,12分) (1 )计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°| + (π﹣)0；(2 )解方程：2x2﹣4x﹣1 =0．考点：实数的运算；零指数幂；解一元二次方程－公式法；特殊角的三角函数值．分析：(1 )原式第|一项利用乘方的意义化简,第二项化为最|简二次根式,第三项利用特殊角的三角函数值及绝|对值的代数意义化简,最|后一项利用零指数幂法那么计算即可得到结果；(2 )找出a ,b ,c的值,计算出根的判别式的值大于0 ,代入求根公式即可求出解．解答：解：(1 )原式=﹣16﹣2+2﹣1 +1 =﹣16；(2 )这里a =2 ,b =﹣4 ,c =﹣1 ,∵△ =16 +8 =24 ,∴x ==．点评：此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法那么是解此题的关键．11. (2021•扬州,第20题,8分)关于x的方程(k﹣1 )x2﹣(k﹣1 )x +=0有两个相等的实数根,求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义分析：根据根的判别式令△ =0 ,建立关于k的方程,解方程即可．解答：解：∵关于x的方程(k﹣1 )x2﹣(k﹣1 )x +=0有两个相等的实数根, ∴△ =0 ,∴[﹣(k﹣1 )]2﹣4 (k﹣1 )=0 ,整理得,k2﹣3k +2 =0 ,即(k﹣1 ) (k﹣2 ) =0 ,解得：k =1 (不符合一元二次方程定义,舍去)或k =2．∴k =2．点评：此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1 )△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2 )△ =0⇔方程有两个相等的实数根；(3 )△＜0⇔方程没有实数根．。

一元二次方程☞解读考点☞2年中考 1．（来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A ． 【解析】 试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系． 2．（河池）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．2+10x x += B ．24210x x ++= C ．212360x x ++= D ．220x x +-= 【答案】C ．考点：根的判别式．3．（贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】B ． 【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x += 【答案】A ． 【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．考点：解一元二次方程-配方法．5．（成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k ≥- C ．0k ≠ D ．1k >-且0k ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．考点：根的判别式．6．（攀枝花）关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．34m >B ．34m >且2m ≠C ．122m -<<D ．324m <<【答案】D ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ． 【解析】试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7． 故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论． 8．（巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ） A ．2560(1)315x += B ．2560(1)315x -= C ．2560(12)315x -= D ．2560(1)315x -= 【答案】B ．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（达州）方程21(2)04m x --+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0， A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确； B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确； C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确； D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确； 故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题． 12．（佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ． 【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ． 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（ ）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（ ）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ． 【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想 【答案】A ． 【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 【答案】A ．考点：根与系数的关系．17．（淄博）若a 满足不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程21(2)(21)02a x a x a ---++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能 【答案】C ． 【解析】试题分析：解不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a ＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a ---+=2a+2，∵a ＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a ---++=没有实数根，故选C ．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（烟台）如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（ ）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣1【答案】C ． 【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是 ． 【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ． 【答案】5． 【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ． 【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 【答案】2-． 【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根； 将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程； 将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根． 故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n m m n += ．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 ．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（绵阳）关于m2220n m --=的一个根为2，则22n n -+= ． 【答案】26．【解析】试题分析：把m=22220n m --=得022742=--n n ，整理得：n n 7212=+，所以721=+n n ，所以原式=21()2n n +-=22-=26．故答案为：26． 考点：一元二次方程的解．27．（内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是 ． 【答案】2． 【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k ++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（咸宁）将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m= ． 【答案】3．考点：配方法的应用．29．（荆州）若m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为 ． 【答案】0．【解析】试题分析：∵m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，21m m +=，则原式=2()()m m m n +++=1﹣1=0，故答案为：0． 考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数． 【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（呼和浩特）若实数a 、b 满足(44)(442)80a b a b ++--=，则a b +=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b +=x ，则由原方程，得：4(42)80x x --=，整理，得：(21)(1)0x x +-=，解得112x =-，21x =．则a b +的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是 （写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a= ．【答案】1． 【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论． 34．（毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ． 【答案】20． 【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++= ．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序）．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=； ③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③． 【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有292b ac -=；我们记292K b ac=-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确； 对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（黄石）解方程组：224 42 2x yy⎧+=⎪+=①②．【答案】111xy=⎧⎨=⎩，2212xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩．考点：高次方程．38．（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++．令111234t++=，则原式=11 (1)()(1)55 t t t t -+---=22 114555t t t t t +---+=1 5问题：（1）计算1111111111111111111 (1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014 -----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7 x x x x++++=．【答案】（1）12015；（2）10x=，25x=-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（十堰）已知关于x的一元二次方程()222320x m x m-+++=．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果． 试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（潜江）已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为1x ，2x ，且满足22521=+x x ，求实数m 的值． 【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（鄂州）关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求k 的值．【答案】（1）k ＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k ->，求出k 的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k +=+，结合k 的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k +-+=2244144k k k ++--=430k ->，解得：k ＞34；（2）∵k ＞34，∴12(21)0x x k +=-+<，又∵21210x x k =+>，∴10x <，20x <，∵1212x x x x +=，∴1212x x x x --=，∴2211k k +=+，∴10k =，22k =，又∵k ＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．1．（甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（ ）A. b2﹣4ac=0B. b2﹣4ac ＞0C. b2﹣4ac ＜0D. b2﹣4ac≥0 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ． 考点：一元二次方程根的判别式．2. （广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1 【答案】A ．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3. （内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（ ）A. x1=2，x2=1B. x1=﹣2，x2=1C. x1=2，x2=﹣1D. x1=﹣2，x2=﹣1 【答案】C ． 【解析】 试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4. （山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）A.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ 【答案】A ． 【解析】 试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得2b cx x a a +=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A ． 考点：配方法解一元二次方程．5. （甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ． 【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6. （广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，且()()112x 2x x 0--=，则k 的值是 ．【答案】2-或94-．【解析】 试题分析：∵()()112x 2x x 0--=，∴1x 2=或12x x =．∵关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，∴若1x 2=，则()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-；若12x x =，则方程()22x 2k 1x k 20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k 2=-或9k 4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用． 7. （湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为 ． 【答案】x1=0 或x2=2． 【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或 x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0 或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8. （江西省中考）若,a b 是方程2x 2x 30--=的两个实数根，则22a +b = ． 【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b 是方程2x 2x 30--=的两根，∴2,3a +b =a b =- ．∴()222222610a +b =a +b -a b =+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用． 9. （江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】12x x == ．考点：公式法解一元二次方程．10. （四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个． 【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x ﹣40）[180﹣10（x ﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x ﹣52）=200个，不符合题意舍去． 答：当该商品每个单价为60元时，进货100个． 考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念 基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A. 1或4B. ﹣1或﹣4C. ﹣1或4D. 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

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第1章（九上）一元二次方程解决问题一、选择1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36％， 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 ( )A 、10％ B 、20％ C 、120％ D 、180%2、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为 ( )A 、200（1+x ）2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D 、200[1+(1+x ）+（1+x)2]=10003、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的21．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）A 、20% B 、30％ C 、50% D 、120%4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A 、±15 B、15 C 、-15 D 、11二、填空5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。