高等数学复习提纲
一、 极限 （一）极限七大题型 1. 题型一
()
lim
()
m x
n P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。 2. 题型二
()lim x a a 有限分子
分母
将a 带入分母
3. 题型三（进入考场的主要战场）
()
lim v x x
a
u x
注：应首先识别类型是否为为“1”型！
公式：1
lim(1
)e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。
（三步曲） 4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→） （1）
A:同阶无穷小：lim
0()x
f
f g 是g 的同阶；
B:等价无穷小：lim
1(g )x
f f
g 和等价；
C:高阶无穷小：lim
0(g )x
f f g
是的高阶.注意：f g 和的顺序
（2）常用等价替换公式： sin ~
1~e -arcsin ~
0 直接带入a 求出结果就是要求的值
tan ~
)~+
arctan ~
cos ~
2
12 6 1~
+-1n
特别补充：21
sec 1~2
-
（3）等价替换的的性质： 1）自反性：~;αα
2）对称性：~~αββα若，则；
3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：
A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换
题型五
lim ()()
0(()0,())x a
x
f x
g x f x g x 不存在但有界
有界：,|()|M g x M
有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）
识别不存在但有界的函数：sin
,cos
,,2e
5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则
6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分
7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限
（1）极限存在条件 0
lim ()
(0)
(0)x
x f x A
f x f x A 左左右右
（2）极限的连续性 0
00lim ()
()()x
x f x f x f x x
x 即在连续
0(0)
(0)
()f x f x f x
（3）间断点及分类（★难点）
把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。 A:间断点：定义域不能取值的内点 B:间断点分类
lim ()x
x f x
二、 导
数（坚守的阵地）
（一） 导数定义 定义一
1、“陡”、“平”的形象叙述;
2、00()
'()df x f x dx 唯一切线斜率（）
; 3、00()()tan f x x f x y
x x
;
4、0000()()'()
lim
x f x x f x f x x
. 拓展：0
000()
()
lim '()f x f x A
f x
注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二
0000
()
()'()lim
()x
f x x f x f x x （左导）左支 0000
()()
'()
lim
()x f x
x f x f x x
（右导）右支
A,Ⅰ类可去
,Ⅱ类
不存在，不能分类，求左右极限
0)
(0)f x 有限
(0)
(0)f x f x
000'()'()'()f x f x f x 存在
（二） 导数常用公式
（三） 导数运算 1、乘法运算：()'
''uv u v
uv ()'
'''uvw u vw uv w uvw
2、除法运算：2
''
()'
u
u v uv v
v
（四） 复合函数求导（核心内容★★★）
1、 层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）
所谓的“则”是＋、-、×、÷ 2、几点性质：
（1）公式()ln x '=1
x
，推广为：11(ln ||)'
||
x x
x （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换
（3）奇偶性: ①()'y f x y 奇
偶 ②()'y
f x y 偶
奇
（五） 高阶导数
（六）微分
1、基本知识'
dy y dx注意求的时候要加“d x”.
2、参数方程求导（考试重点）
参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分
()
x t
=
()
y y t
=
公式：'
'
t
t
y
dy
dx x
2
2
()'
'
t
t
dy
d y dx
dx x
3、符号型求导""f层抽象符号层
4、隐函数求导（必考）
(),
y f x
=一元显函数(,),
u f x y
=二元显函数(),
y y x
=一元隐函数题目一般形式是:(,)(,),
f x y
g x y
=2
2
d d
,.
d d
y y
x x
求
5、对数法求导
巧用对数的性质，变形式子
（七）导数的应用
1、切线与法线
切线斜率就是在该点的导数值法线斜率×切线斜率=-1；
t为中间变量
