初二【数学(北京版)】分式复习

《分式》全章复习【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质 1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分ABAB利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质a b a b c c c±±=a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠1、在中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.52、当为何值时，分式的值为0？举一反三： 【变式】（1）若分式的值等于零，则＝_______；（2）当________时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：．举一反三： 【变式】化简：÷（﹣）ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++πx 293x x -+x x 2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-类型三、分式方程的解法4、解方程：．举一反三：【变式】，类型四、分式方程的应用5、某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【巩固练习】 一.选择题1．下列各式：（﹣m ）2，，，x 2+y 2，5，，中，分式有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个()1231244x x x -=---2.把分式中的都扩大3倍，则分式的值( )． A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的D.不变3．下列各式中，正确的是( )． A.B.C.D.4.式子的值为0，那么的值是（ ） A ．2 B ．－2C ．±2D ．不存在5．化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣6.下列分式中，最简分式是( )．A.B. C.D.7．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）．A ．B ．C ．D ．8.方程的解是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．无解二.填空题 9．若x ＞，那么的值是______________．yx x+2x y 、31y x yx y x y x +-=--+-y x yx y x y x ---=--+-yx yx y x y x -+=--+-yx yx y x y x ++-=--+-222x x x +--x 21521y xy y x y x +-22222x xy y x y-+-y x y x -+222514326242y yy y+-+=--()()2642y y --()23y -()()423y y --()()232y y --14233x x x -+=--10．当______时，分式有意义． 11．当______时，分式的值为正． 12．＝______．13.化简：（+）= ．14.写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）． 15．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 16．方程的解是______． 三.解答题17.计算；（2）．18.已知． 19. 已知，求的值．20.济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．x 121-+x x x 122+-x 2232)()(yx y x -÷2218324()m n m mn =2()a b ab a b -=22()x xy x yx --=1712112-=-++x x x 256x x x x -=--2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭222244244x x x x x x x +-++++1x =+2111242x x x +-+--345x y z ==23x y x y z+-+。

经济学模型：在经济学中，分式常用于建立各种经济模型，例如边际 效用函数、生产函数等，帮助我们了解经济现象和预测经济发展趋势。
生物学研究：在生物学中，分式也常用于表示生物种群数量变化、 生物体内生理指标等，帮助我们了解生物的生长和变化规律。
分式的易错点与难点解析
易错点解析
混淆分式与整 式的概念
运算过程中符 号错误
添加标题
添加标题
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分式的性质：分式的值不等于0， 分母不等于0
分式的通分：将几个分式化为同 分母，便于计算
分式的约分与通分
约分的概念：将 分式的分子和分 母进行因式分解， 然后约去公因式，
使分式简化。
约分的方法：找 出分子和分母的 公因式，然后将
公因式约去。
通分的概念：将 两个或多个分式 化为相同的分母， 以便进行加减运
分式方程
分式方程的解法
去分母法：将 分式方程转化 为整式方程，
消去分母
换元法：通过 引入新变量， 将分式方程转 化为更容易求
解的形式
参数方程法： 通过设定参数， 将分式方程转 化为参数方程，
然后求解
代数法：通过 代数运算，消 去分式方程中 的分母，将其 转化为整式方
程
分式方程的应用
分式方程在解决实际问题中的应用 分式方程在数学建模中的重要地位 分式方程的求解方法和步骤 分式方程在实际问题中的应用案例分析
算。
通分的方法：找 到各分式的最简 公分母，然后将 各分式的分子与 最简公分母进行 因式分解，最后 将各分式化为相
同的分母。
分式的运算
分式的加减法
定义：分式的加 减法是指将两个 分式相加或相减， 得到一个新的分
式
运算法则：分式 的加减法需要先 对分母进行通分， 然后对分子进行

的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.
三、分式方程
1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程； (2) 解这个整式方程； (3) 检验整式方程的解，判断是否存在增根.
3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，找出相等关系； (2) 设：设出未知数； (3) 列：列出方程； (4) 解：解这个分式方程； (5) 验：验根（包括两方面：①是否是分式方程的 根；②是否符合题意）；
经检验，x =﹣2 是增根，
故原分式方程无解．
考点三 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高 铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁 的行驶路程的 1.3 倍．
(1) 求普通列车的行驶路程； 解析：根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的 行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍，两数相乘即可. 解：根据题意得 400×1.3＝520 (千米). 答：普通列车的行驶路程是 520 千米.
练一练
x 2 4x
4. 有一道题：“先化简，再求值： x 2 x2 4
1
x2 4 ，
其中 x 3 ”. 小玲做题时把 x 3 错抄成 x 3 ，
但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事.
解： x 2 4x
x 2 x2 4
1 x2 4
(x
2)2 4x x2 4
(x2
4)
x2
4x x2
解：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，则 高铁的平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得
解得 x＝120，经检验 x＝120 是原方程的解，则 高铁的平均速度是 120×2.5＝300(千米/时)．

600 480 45 2x x
分 式 专 题 复 习
如 意 湖 中 学
知识回顾
D
D
A
1、分式的概念 一般地，用A、B表示两个整式， A A÷B就可以表示成 的形式， B A 如果B中含有字母，式子 就叫 B 做分式。其中，A叫做分式的分 子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
• 2、分式的性质 • （1）分式的基本性质：
2
知识点归纳
分 式
{
概念
{
A 的形式 B
B中含有字母B≠0
{
通分 解整式方程
分式有意义 分式的值为0
分式的加减
{
同分母相加减 异分母相加减 同分母相加减 最简分式 验根
分式的乘除 解分式方程 分式方程应用
约分
去分母
当堂达标
6x y
3 D
2 2
A
1 ab
x 2
解：设客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间 为ｘ小时．
注：分式的值为零、分式有意义、分式无意义是分式 概念中的三个常见的基本问题。
知识应用
• • • • • • 1.下列说法正确的是（ ） A A、形如 B 的式子叫做分式 B、分母不等于零，分式有意义 C、分式的值等于零，分式无意义 D、分子等于零，分式的值就等于零 2.约分
16x y (1) 20xy 4
2
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
a 6a 9 (3) a2 3
2
3.计算
1 1 (1) 2 2 2a b 3ab 1 1 ( 2) 2 2 x xy xy y 2a b (3) (2 xb) x 2 a (b a ) a b ( 4) 2 a b b b