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例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
x
2. 单调性
设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义, x1, x2I
一个偶函数与一个奇函数的积是一个奇函数.
在关于坐标原点对称的区间 I 内有定义的任何一个函数 f (x), 均可表示为区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和的形式.
2 则f (x ) g (x ) h (x )
令g (x )
f ( x ) f ( x )
, h (x )
f (x ) f ( x )
例1. 函数
x, x 0 y x (a R ). x x 0 定义域为（-，+),值域为[0.+).
例2.符号函数
o
y
○ ● ○
y
y x
x
1, x 0 y sgn x 0, x 0 1, x 0
该函数称为符号函数.
y = sgn x
例8 某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每 批生产准备费用为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即 生产下一批，即平均库存量为批量的一半。高每年每台库存费为c元。 显然，生产批量大则库存费用高；生产批量少则批数增多，因而生产 费用高。为了选择最优批量，谋求出一年中库存费与生产准备费的和 与批量的函数关系。 解：设批量为x，库存费与生产准备费的和为f(x)，则
若x2 > x1 f (x2) > f (x1), 则称在区间 I 上单调增加, 记为 f (x) I;
若x2 > x1 f (x2) < f (x1), 则称在区间 I 上单调减少, 记为 f (x) I;
若x2 > x1 f (x2) f (x1), 则称在区间 I 是不减少的; 若x2 > x1 f (x2) f (x1), 则称在区间 I 是不增加的; 函数的单调性是一个局部性的性质, 它与区间 I 有关.
a x ab cx f (x ) b c x 2 x 2
*2.依据经验数据建立近似函数关系
R : (, )
二、邻域
点a的 邻域: U(a, ) = { x | |x a|< , x R, > 0} 中心
= (a , a+)
( ) a a+ x a
x U(a, ) |x a|<
半径
点a的去心 邻域: Û (a, ) = { x | 0 < |x a|< , x R, > 0} = (a , a) ∪ (a, a+) x Û (a, ) 0 < |x a|<
第一章 函数、极限与连续
1.函数 2.极限的概念 3.极限的性质 4.收敛准则及应用 5.函数的连续性
§1.1 函数
一、实数与区间
有理数 的稠密性：任意两个有理数之间都包含着无数多个有理数
有序性：在数轴上有理点是从左到右按大小次序排列的 无理数：无限不循环小数 实数：有理数与无理数统称为实数
N Z Q R
四、函数特性 1. 函数的有界性 设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义. 若存在两 个数 A, B, 对一切 x I 恒有 A f (x) B, 则称函 数 y = f (x) 在区间 I 上有界, 否则, 称函数 y = f (x) 在区间I上无界. 函数 y = f (x) 在区间 I 上有界 M > 0, 使 | f (x) | M. y B y = f (x) y O B A x
O
A
x
y = f (x)
设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义. 若存在实数M (可正可负), 对一切 x I 恒有 f (x) M 成立, 则称函数
y = f (x) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界;若存 在实数m (可正可负),对一切 x I 恒有 f (x) m 成立,则 称函数 y = f (x) 在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界.
2
,
例6 判断函数y ln(x 1 x )的奇偶性。
2
4. 周期性
设函数 y = f (x) , x (, ), 若存在 T 0 , 对一切 x
(, ) 恒有y = f (x T) = f (x) , 则称 f (x) 为周期函
数, T为函数 f (x) 的一个周期. 如果一个周期函数有最小正周期存在, 记为 T, 则称 T 为周期函数的周期.
称(a , a) 为a的左邻域，简记为U-(a) 称(a, a+)为a的右邻域，简记为U+(a)
三、函数的概念
定义1.3.2 设D是非空数集, 若f:D→R为定义在D上 的映射,则称映射f为定义在D上的函数(Function),通 常记为 y=f(x),x∈D，或者y=f(x), (x∈D), 其中称x为自变量，y称为因变量， D称为函数的定义 域(Domain)，记作Df，即Df =D，集合{ f(x) : x ∈D} 称 为函数 f 的值域 (Range) ，记作 Rf 或 f(D). 两个要素 三种常用表示方法：图形法、表格法、解析法（公式法） 显函数：y=f(x) 分段函数： 隐函数：F(x,y)=0
0
1
x
例3.取整函数
xR, y = [x] = n, n x < n+1, nZ , 它是一
个分段函数. 表示不超过x的最大整数。 y 2 1 0 1 2 3 1 分段函数 2
x
分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不 同的对应关系的函数, 即在定义域的一些不相重叠 的真子集上, 用不同的表达式表示的函数.
某商店为了促销某种商品，作出了这样的安排，购买该 商品的重量若在4kg以下，则销售价格为1.5元/kg；若 在4kg 或4kg 以上，则销售价格为1.2元/kg，那么，顾 客购买该商品的费用（元）与重量（kg）的函数关系可 以表示为
1.5 x, 0 x 4 y 1.2 x, x 4
